Tout écrire en sinus et cosinus

Simplifie $\dfrac{\tan x}{\sec x}$.

Écrire la tangente et la sécante en sinus et cosinus: $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ et $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ = $\dfrac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{1}{\cos x}}$

Diviser par une fraction : multiplier par son inverse: $\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\cos x}{1}$ = $\frac{\sin x \cos x}{\cos x}$

Simplifier par le facteur commun $\cos x$: $\frac{\sin x \cancel{\cos x}}{\cancel{\cos x}}$ = $\sin x$

Answer: $\dfrac{\tan x}{\sec x} = \sin x$

Facteur commun et identité pythagoricienne

Simplifie $\cos^2 x \tan^2 x + \cos^2 x$.

Les deux termes contiennent $\cos^2 x$ : on le met en facteur: $\cos^2 x \tan^2 x + \cos^2 x = \cos^2 x(\tan^2 x + 1)$ = $\cos^2 x(\tan^2 x + 1)$

Utiliser l'identité pythagoricienne $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$: $\cos^2 x \cdot \sec^2 x$ = $\cos^2 x \sec^2 x$

Utiliser l'identité réciproque $\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$: $\cos^2 x \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$ = $1$

Answer: $\cos^2 x \tan^2 x + \cos^2 x = 1$ (pour tout $x$ où $\tan x$ est définie)

Différence de deux carrés

Simplifie $\dfrac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos x - \sin x}$.

Reconnaître au numérateur une différence de deux carrés $a^2 - b^2$: $a = \cos x$, $b = \sin x$ = $\cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)$

Écrire le numérateur factorisé au-dessus du dénominateur: $\dfrac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{\cos x - \sin x}$ = Le facteur $\cos x - \sin x$ apparaît en haut et en bas

Simplifier par le facteur commun: Permis, car c'est un facteur de tout le numérateur = $\cos x + \sin x$

Answer: $\dfrac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos x - \sin x} = \cos x + \sin x$ (là où $\cos x \neq \sin x$)

Additionner des fractions au même dénominateur

Simplifie $\dfrac{1}{1 + \cos x} + \dfrac{1}{1 - \cos x}$.

Prendre le dénominateur commun $(1 + \cos x)(1 - \cos x)$: $\dfrac{(1 - \cos x) + (1 + \cos x)}{(1 + \cos x)(1 - \cos x)}$ = Une seule fraction

Simplifier le numérateur: $1 - \cos x + 1 + \cos x = 2$ = $\dfrac{2}{(1 + \cos x)(1 - \cos x)}$

Développer le dénominateur (différence de deux carrés): $(1 + \cos x)(1 - \cos x) = 1 - \cos^2 x$ = $\dfrac{2}{1 - \cos^2 x}$

Utiliser l'identité pythagoricienne $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$: $\dfrac{2}{\sin^2 x}$ = $\dfrac{2}{\sin^2 x}$

Utiliser l'identité réciproque $\frac{1}{\sin^2 x} = \csc^2 x$: $2 \cdot \frac{1}{\sin^2 x}$ = $2\csc^2 x$

Answer: $\dfrac{1}{1 + \cos x} + \dfrac{1}{1 - \cos x} = 2\csc^2 x$

Vérifier une simplification avec un angle

Une camarade affirme que $\dfrac{\sin x + \tan x}{\tan x} = \cos x + 1$. Vérifie-le pour $x = 60°$, puis confirme-le par le calcul algébrique.

Calculer le membre de gauche pour $x = 60°$: $\dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2} + 1$ = $1{,}5$

Calculer le membre de droite pour $x = 60°$: $\cos 60° + 1 = 0{,}5 + 1$ = $1{,}5$

Même valeur, l'affirmation passe le test. Un seul angle ne prouve rien, donc place à l'algèbre : séparer la fraction: $\dfrac{\sin x}{\tan x} + \dfrac{\tan x}{\tan x} = \sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} + 1$ = $\cos x + 1$

Answer: La simplification est correcte : $\dfrac{\sin x + \tan x}{\tan x} = \cos x + 1$. Si les deux valeurs pour $60°$ avaient été différentes, elle aurait été fausse à coup sûr.

Mistake: Simplifier un terme au lieu d'un facteur : $\dfrac{\sin x + \cos x}{\sin x} = \cos x$

Why: On ne simplifie que des facteurs de TOUT le numérateur et de tout le dénominateur. Ici $\sin x$ n'est qu'un terme de la somme $\sin x + \cos x$. Pour $x = 45°$, le membre de gauche vaut $2$, alors que $\cos 45° \approx 0{,}71$.

Correct: Sépare la fraction : $\dfrac{\sin x}{\sin x} + \dfrac{\cos x}{\sin x} = 1 + \cot x$.

Mistake: Oublier les carrés : écrire $1 - \sin x = \cos x$

Why: L'identité pythagoricienne porte sur des carrés : $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Sans les carrés, c'est faux : pour $x = 30°$, $1 - \sin 30° = 0{,}5$ mais $\cos 30° \approx 0{,}87$.

Correct: Seule l'égalité $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$ est vraie. Si tu vois $1 - \sin x$, pense plutôt à la différence de deux carrés ou à une expression conjuguée.

Mistake: Additionner des fractions en additionnant les dénominateurs : $\dfrac{1}{\sin x} + \dfrac{1}{\cos x} = \dfrac{2}{\sin x + \cos x}$

Why: Les fractions trigonométriques suivent les mêmes règles que les fractions de nombres, et $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ n'est pas égal à $\frac{2}{5}$.

Correct: Prends le dénominateur commun $\sin x \cos x$ : $\dfrac{\cos x + \sin x}{\sin x \cos x}$.

Mistake: Se fier à une vérification avec un seul angle particulier comme $45°$

Why: Pour $x = 45°$, on a $\sin x = \cos x$, donc beaucoup de simplifications fausses (comme $\sin x\tan x = \cos x$) y donnent le même nombre par hasard.

Correct: Vérifie avec un ou deux angles "ordinaires", par exemple $20°$ et $50°$. Une différence prouve une erreur ; des valeurs égales rendent seulement le résultat probable, c'est l'algèbre qui le démontre.

Formules d'ingénierie

Les ingénieurs obtiennent souvent des formules de forces et de contraintes sous forme de longues expressions trigonométriques après avoir combiné plusieurs parties. Simplifier d'abord rend les calculs faciles et réduit les erreurs.

La force sur une poutre inclinée s'écrit $F = 50(1 - \cos^2\theta)\csc\theta$ newtons. Comme $(1 - \cos^2\theta)\csc\theta = \sin\theta$, c'est simplement $F = 50\sin\theta$.

Du code plus rapide pour les jeux et le graphisme

Les moteurs de jeu calculent des expressions trigonométriques des millions de fois par seconde. Chaque appel de fonction économisé grâce à la simplification rend le programme plus rapide.

Une routine de rotation calcule $\dfrac{\sin x}{\tan x}$ à chaque image. Comme $\dfrac{\sin x}{\tan x} = \sin x \cdot \dfrac{\cos x}{\sin x} = \cos x$, deux appels de fonction et une division deviennent un seul appel.

Rampes et pentes sur les chantiers

Les artisans du bâtiment et les géomètres travaillent avec la hauteur d'une rampe sur une distance horizontale. Les formules de tableur construites en plusieurs étapes cachent souvent une simple tangente.

Un tableur calcule la hauteur d'une rampe par $h = d\sin x\sec x$, où $d$ est la longueur horizontale. Comme $\sin x \sec x = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$, la formule est en réalité $h = d\tan x$.

Q: Comment savoir si une expression est complètement simplifiée ?

A: En général quand elle a le moins de termes et le moins de fonctions différentes possible, sans fraction dans une fraction. Si l'énoncé fixe une cible ("en fonction de $\sin x$", "en une seule fonction"), arrête-toi dès que tu l'atteins.

Q: Faut-il toujours tout écrire en sinus et cosinus ?

A: C'est la stratégie générale la plus sûre, car il ne reste que deux fonctions et l'identité pythagoricienne $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ s'applique. Parfois un raccourci est plus rapide, par exemple directement $\sec^2 x - 1 = \tan^2 x$.

Q: Une vérification à la calculatrice suffit-elle ?

A: C'est un excellent moyen de repérer les erreurs : si les deux formes donnent des valeurs différentes pour le même angle, il y a un problème. Mais des valeurs égales pour un ou deux angles ne démontrent pas la simplification, ce sont les étapes algébriques qui le font.

Q: Pourquoi certains résultats simplifiés ont-ils des conditions comme "là où $\cos x \neq \sin x$" ?

A: On ne peut simplifier par un facteur que là où il n'est pas nul. À ces angles, l'expression de départ n'est pas définie alors que la forme simplifiée peut l'être, donc les deux ne sont égales qu'en dehors de ces angles.