Risolvere equazioni per scomposizione
Impara a risolvere equazioni quadratiche scomponendole in prodotti di binomi e applicando la proprietà del prodotto nullo.
Definizione
Prova subito
Esempi svolti
Risolvi:
Identifica la forma dell'equazione
Già in forma standard: → , ,
Scomponi il trinomio
Trova due numeri che moltiplicati danno 12 e sommati danno 7: e →
Applica la proprietà del prodotto nullo
Se , allora oppure → Due equazioni da risolvere
Risolvi ogni equazione
e → oppure
Risposta: oppure
Errori comuni
Dividere entrambi i lati per (perde la soluzione )
Perché è sbagliato: Quando dividi per , assumi che . Ma potrebbe essere una soluzione valida!
Corretto: Metti in evidenza invece: , dà oppure
Dimenticare di mettere l'equazione uguale a zero prima
Perché è sbagliato: La proprietà del prodotto nullo funziona solo quando il prodotto è uguale a zero, non a un altro numero.
Corretto: Riscrivi sempre come prima di scomporre. Per esempio: diventa
Scrivere solo una soluzione quando ce ne sono due
Perché è sbagliato: Le equazioni quadratiche possono avere due soluzioni distinte, ed entrambe sono valide.
Corretto: Verifica sempre entrambi i fattori. dà DUE soluzioni: E
Errori di segno nella scomposizione
Perché è sbagliato: I segni nella forma scomposta determinano i segni delle soluzioni.
Corretto: dà (segno opposto). dà (stesso segno)
Visuale interattivo
Esplora funzioni lineari
| x | y |
|---|---|
| -2 | -2 |
| -1 | -1 |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
Bilancia
Soluzione: x = 4
Sandbox interattivo
Graficatore interattivo
Prova questi esempi:
y = 2x + 1
m=2, b=1
Calcolatrice di espressioni
Prova questi:
Cronologia
Ancora nessun calcolo
Esercizi pratici
15 eserciziCos'è la proprietà del prodotto nullo?
Perché è importante
- Fisica: Equazioni di moto proiettile (quando la palla tocca il suolo?)
- Business: Analisi del punto di pareggio (quando il profitto è zero?)
- Ingegneria: Trovare dimensioni che soddisfano requisiti di area
- Architettura: Calcolare misure per progetti strutturali
Applicazioni nel mondo reale
Moto proiettile
Quando un oggetto viene lanciato verso l'alto, la sua altezza segue un'equazione quadratica. Trovare quando tocca il suolo significa risolvere quando l'altezza è zero.
Esempio:
L'altezza di una palla è metri dopo secondi. Quando tocca il suolo? Risolvi , o equivalentemente . Scomposizione: , quindi secondi (ignoriamo poiché il tempo non può essere negativo).
L'altezza di un razzo è data da metri, dove è il tempo in secondi.
Quando il razzo torna al suolo?
Passo 1: Scrivi l'espressione matematica
Poni l'altezza uguale a zero e risolvi:
Problemi di area
Trovare dimensioni quando si conosce l'area porta spesso a equazioni quadratiche.
Esempio:
Un giardino rettangolare ha lunghezza 3 metri più della sua larghezza. Se l'area è 40 metri quadrati, trova le dimensioni. Sia larghezza = . Allora: , quindi . Scomposizione: , dà metri (larghezza). Lunghezza = 8 metri.
Una cornice ha larghezza cm e lunghezza cm. L'area della cornice è 45 centimetri quadrati.
Quali sono le dimensioni della cornice?
Passo 1: Scrivi l'espressione matematica
Imposta e risolvi l'equazione dell'area:
Punti chiave
- 1La proprietà del prodotto nullo afferma: se , allora oppure
- 2Scrivi sempre l'equazione in forma standard () prima di scomporre
- 3Scomponi l'espressione, poi poni ogni fattore uguale a zero
- 4Le equazioni quadratiche possono avere zero, una o due soluzioni
- 5Verifica le tue risposte sostituendo nell'equazione originale
- 6Non dividere mai per una variabile - potresti perdere soluzioni!
Domande frequenti
Glossario
- Proprietà del prodotto nullo
- Se , allora oppure (o entrambi)
- Forma standard
- Un'equazione quadratica scritta come
- Radice/Soluzione
- Un valore di che rende l'equazione vera
- Scomposizione
- Scrivere un'espressione come prodotto di espressioni più semplici