Risolvere equazioni per scomposizione

Impara a risolvere equazioni quadratiche scomponendole in prodotti di binomi e applicando la proprietà del prodotto nullo.

Intermedio25 minLezione
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Definizione

Risolvere equazioni per scomposizione usa la proprietà del prodotto nullo: se a⋅b=0a \cdot b = 0, allora a=0a = 0 oppure b=0b = 0 (o entrambi).
Per risolvere un'equazione quadratica per scomposizione:
  1. 1.Scrivi l'equazione in forma standard: ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0
  2. 2.Scomponi il lato sinistro in un prodotto di binomi
  3. 3.Poni ogni fattore uguale a zero
  4. 4.Risolvi ogni equazione risultante
Esempio:
x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0
(x−2)(x−3)=0(x - 2)(x - 3) = 0
x−2=0 oppure x−3=0x - 2 = 0 \text{ oppure } x - 3 = 0
x=2 oppure x=3x = 2 \text{ oppure } x = 3

Prova subito

Cos'è la proprietà del prodotto nullo?

Esempi svolti

Risolvi: x2+7x+12=0x^2 + 7x + 12 = 0
1

Identifica la forma dell'equazione

Già in forma standard: x2+7x+12=0x^2 + 7x + 12 = 0 → a=1a = 1, b=7b = 7, c=12c = 12
2

Scomponi il trinomio

Trova due numeri che moltiplicati danno 12 e sommati danno 7: 3×4=123 \times 4 = 12 e 3+4=73 + 4 = 7 → (x+3)(x+4)=0(x + 3)(x + 4) = 0
3

Applica la proprietà del prodotto nullo

Se (x+3)(x+4)=0(x + 3)(x + 4) = 0, allora x+3=0x + 3 = 0 oppure x+4=0x + 4 = 0 → Due equazioni da risolvere
4

Risolvi ogni equazione

x+3=0⇒x=−3x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 e x+4=0⇒x=−4x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4 → x=−3x = -3 oppure x=−4x = -4

Errori comuni

Dividere entrambi i lati per xx (perde la soluzione x=0x = 0)

Perché è sbagliato: Quando dividi per xx, assumi che x≠0x \neq 0. Ma x=0x = 0 potrebbe essere una soluzione valida!

Corretto: Metti in evidenza xx invece: x2−5x=0⇒x(x−5)=0x^2 - 5x = 0 \Rightarrow x(x - 5) = 0, dà x=0x = 0 oppure x=5x = 5

Dimenticare di mettere l'equazione uguale a zero prima

Perché è sbagliato: La proprietà del prodotto nullo funziona solo quando il prodotto è uguale a zero, non a un altro numero.

Corretto: Riscrivi sempre come espressione=0\text{espressione} = 0 prima di scomporre. Per esempio: x2=9x^2 = 9 diventa x2−9=0x^2 - 9 = 0

Scrivere solo una soluzione quando ce ne sono due

Perché è sbagliato: Le equazioni quadratiche possono avere due soluzioni distinte, ed entrambe sono valide.

Corretto: Verifica sempre entrambi i fattori. (x−2)(x−3)=0(x - 2)(x - 3) = 0 dà DUE soluzioni: x=2x = 2 E x=3x = 3

Errori di segno nella scomposizione

Perché è sbagliato: I segni nella forma scomposta determinano i segni delle soluzioni.

Corretto: (x+3)=0(x + 3) = 0 dà x=−3x = -3 (segno opposto). (x−3)=0(x - 3) = 0 dà x=3x = 3 (stesso segno)

Visuale interattivo

Risolutore di equazioni

Risolvi per xx:

x2+7x+12=0x^{2} + 7x + 12 = 0
1
x2+7x+12=0x^{2} + 7x + 12 = 0
Scomponi il lato sinistroUn prodotto si pone facilmente uguale a zero

Suggerimenti:

  • • Quello che fai da un lato, fallo dall'altro
  • • Annulla le operazioni in ordine inverso
  • • Verifica la risposta sostituendo

Segui mentre risolviamo l'equazione passo dopo passo.

Esploratore quadratico

y = x² + 7x + 12

Controlla larghezza e direzione

Sposta la parabola

Intercetta Y

xy

Vertice

(-3.5, -0.25)

Asse di simmetria

x = -3.5

Radici (intersezioni con asse X)

x = -3, x = -4

Intercetta Y

(0, 12)

Direzione

Apre verso l'alto

Discriminante

b² - 4ac = 1

Tabella dei valori

x-3-2-10123
y02612203042
VerticeRadiciIntercetta YAsse di simmetria

Sandbox interattivo

Graficatore interattivo

-8-6-4-202468-30-20-100102030xy

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

Prova questi esempi:

y = 2x + 1

m=2, b=1

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

15 esercizi
Problema 1 di 15
Facile
Cos'è la proprietà del prodotto nullo?

Perché è importante

Risolvere equazioni per scomposizione è uno dei metodi più eleganti dell'algebra perché trasforma problemi complessi in problemi più semplici:
  • Fisica: Equazioni di moto proiettile (quando la palla tocca il suolo?)
  • Business: Analisi del punto di pareggio (quando il profitto è zero?)
  • Ingegneria: Trovare dimensioni che soddisfano requisiti di area
  • Architettura: Calcolare misure per progetti strutturali
Mentre la formula quadratica funziona sempre, la scomposizione è spesso più veloce e dà più insight sulla struttura dell'equazione!

Applicazioni nel mondo reale

Moto proiettile

Quando un oggetto viene lanciato verso l'alto, la sua altezza segue un'equazione quadratica. Trovare quando tocca il suolo significa risolvere quando l'altezza è zero.

Esempio:

L'altezza di una palla è h=−t2+4t+5h = -t^2 + 4t + 5 metri dopo tt secondi. Quando tocca il suolo? Risolvi −t2+4t+5=0-t^2 + 4t + 5 = 0, o equivalentemente t2−4t−5=0t^2 - 4t - 5 = 0. Scomposizione: (t−5)(t+1)=0(t - 5)(t + 1) = 0, quindi t=5t = 5 secondi (ignoriamo t=−1t = -1 poiché il tempo non può essere negativo).

1Provaci tu stesso

L'altezza di un razzo è data da h=−2t2+12th = -2t^2 + 12t metri, dove tt è il tempo in secondi.

Quando il razzo torna al suolo?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Poni l'altezza uguale a zero e risolvi:

Problemi di area

Trovare dimensioni quando si conosce l'area porta spesso a equazioni quadratiche.

Esempio:

Un giardino rettangolare ha lunghezza 3 metri più della sua larghezza. Se l'area è 40 metri quadrati, trova le dimensioni. Sia larghezza = xx. Allora: x(x+3)=40x(x + 3) = 40, quindi x2+3x−40=0x^2 + 3x - 40 = 0. Scomposizione: (x+8)(x−5)=0(x + 8)(x - 5) = 0, dà x=5x = 5 metri (larghezza). Lunghezza = 8 metri.

2Provaci tu stesso

Una cornice ha larghezza xx cm e lunghezza (x+4)(x + 4) cm. L'area della cornice è 45 centimetri quadrati.

Quali sono le dimensioni della cornice?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Imposta e risolvi l'equazione dell'area:

Punti chiave

  • 1La proprietà del prodotto nullo afferma: se ab=0ab = 0, allora a=0a = 0 oppure b=0b = 0
  • 2Scrivi sempre l'equazione in forma standard (ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0) prima di scomporre
  • 3Scomponi l'espressione, poi poni ogni fattore uguale a zero
  • 4Le equazioni quadratiche possono avere zero, una o due soluzioni
  • 5Verifica le tue risposte sostituendo nell'equazione originale
  • 6Non dividere mai per una variabile - potresti perdere soluzioni!

Domande frequenti

Non tutte le equazioni quadratiche possono essere scomposte con numeri interi. In quei casi, usa la formula quadratica: x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. La scomposizione funziona meglio quando le soluzioni sono numeri razionali.
Non tutte le equazioni quadratiche possono essere scomposte con numeri interi. In quei casi, usa la formula quadratica: x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. La scomposizione funziona meglio quando le soluzioni sono numeri razionali.
Sì! Questo succede quando il trinomio è un quadrato perfetto. Per esempio, x2−6x+9=0x^2 - 6x + 9 = 0 si scompone come (x−3)2=0(x - 3)^2 = 0, dando solo x=3x = 3 (una radice doppia).
Lo zero è speciale: è l'unico numero dove, se un prodotto gli è uguale, almeno un fattore deve essergli uguale. Se ab=6ab = 6, ci sono infinite possibilità. Ma se ab=0ab = 0, allora a=0a = 0 oppure b=0b = 0.

Glossario

Proprietà del prodotto nullo
Se a⋅b=0a \cdot b = 0, allora a=0a = 0 oppure b=0b = 0 (o entrambi)
Forma standard
Un'equazione quadratica scritta come ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0
Radice/Soluzione
Un valore di xx che rende l'equazione vera
Scomposizione
Scrivere un'espressione come prodotto di espressioni più semplici
Sfida di oggiUn problema, tre tentativi

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