Introduzione alle funzioni lineari

Impara cosa sono le funzioni lineari, come identificarle e come creano rette su un grafico.

Intermedio25 minLezione
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Definizione

Una funzione lineare è una funzione il cui grafico è una retta. Può essere scritta nella forma:
y=mx+qy = mx + q
Dove:
  • mm è il coefficiente angolare, detto anche pendenza (quanto è ripida la retta)
  • qq è l'ordinata all'origine (dove la retta interseca l'asse y)
  • xx è l'input (variabile indipendente)
  • yy è l'output (variabile dipendente)
La caratteristica chiave di una funzione lineare è che ha un tasso di variazione costante - per ogni aumento di un'unità in xx, il valore di yy cambia della stessa quantità (mm).

Prova subito

Quale delle seguenti è una funzione lineare?

Esempi svolti

y=3x−2y = 3x - 2 è una funzione lineare?
1

Verificare la forma

Confronta con y=mx+qy = mx + q → Corrisponde al modello
2

Identificare la pendenza

Il coefficiente di xx è 33 → m=3m = 3
3

Identificare l'ordinata all'origine

Il termine costante è −2-2 → q=−2q = -2
4

Verificare la linearità

Nessun esponente su xx, nessun xx al denominatore → È lineare

Errori comuni

Pensare che y=x2y = x^2 sia lineare perché ha una xx

Perché è sbagliato: L'esponente conta! x2x^2 significa xx moltiplicato per se stesso, il che crea una curva, non una retta.

Corretto: Le funzioni lineari hanno xx solo alla prima potenza. Verifica che non ci sia x2x^2, x3x^3, x\sqrt{x}, o 1x\frac{1}{x}.

Confondere pendenza e ordinata all'origine in y=mx+qy = mx + q

Perché è sbagliato: È facile confonderle. La pendenza (mm) è il coefficiente di xx, mentre qq è il termine costante.

Corretto: In y=3x+5y = 3x + 5, la pendenza è 33 (moltiplica xx) e l'ordinata all'origine è 55 (sta da sola).

Pensare che y=5y = 5 non sia una funzione lineare

Perché è sbagliato: Questa è in realtà y=0x+5y = 0x + 5, una retta orizzontale con pendenza 00.

Corretto: y=5y = 5 è lineare - è un caso speciale con pendenza zero. Il grafico è una retta orizzontale a y=5y = 5.

Visuale interattivo

Esplora funzioni lineari

y = 2x + 1
Pendenza (m)2
Intercetta Y (b)1
b
corsa
salita
xy
-2-3
-1-1
01
13
25

Grafico della funzione

Disegna questi punti:

  • (-1; -1)
  • (0; 1)
  • (1; 3)
  • (2; 5)
-3-2-11234-3-2-112345670xy

Tocca la griglia per mettere un punto. Toccalo di nuovo per toglierlo.Metti almeno 2 punti per vedere la retta che passa per essi.

Sandbox interattivo

Graficatore interattivo

-10-50510-10-50510xy

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

Prova questi esempi:

y = 2x + 1

m=2, b=1

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

16 esercizi
Problema 1 di 16
Facile
Quale delle seguenti è una funzione lineare?

Perché è importante

Le funzioni lineari appaiono ovunque nella vita reale:
  • Piani tariffari: Un piano tariffario che costa 20€ al mese più 5 centesimi per SMS è lineare: y=0,05x+20y = 0{,}05x + 20
  • Distanza e tempo: Guidare a una velocità costante di 60 km/h crea una relazione lineare: d=60td = 60t
  • Conversione di temperatura: Da Celsius a Fahrenheit è lineare: F=1,8C+32F = 1{,}8C + 32
  • Economia: I costi di un'azienda spesso includono costi fissi più costi variabili per articolo
Capire le funzioni lineari ti aiuta a prevedere risultati, confrontare opzioni e prendere decisioni migliori!

Applicazioni nel mondo reale

Piani tariffari

Molti piani tariffari hanno una tariffa base più un costo per utilizzo, creando una funzione lineare.

Esempio:

Un piano costa 25€ al mese più 10 centesimi al minuto oltre il limite. Se xx sono i minuti extra, allora y=0,10x+25y = 0{,}10x + 25.

1Provaci tu stesso

Un piano tariffario addebita 30€ al mese più 5 centesimi per SMS.

Quanto costerebbero 100 SMS in un mese?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Scrivi la funzione come y=mx+qy = mx + q e sostituisci:

Distanza e velocità

Viaggiando a velocità costante, la distanza è una funzione lineare del tempo.

Esempio:

Guidando a 50 km/h: d=50td = 50t, dove dd è la distanza in km e tt è il tempo in ore.

2Provaci tu stesso

Un ciclista viaggia a una velocità costante di 15 km/h.

Che distanza percorrerà in 3 ore?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Usa d=15td = 15t:

Guadagni e ore lavorate

I salari orari creano una relazione lineare tra le ore lavorate e il denaro guadagnato.

Esempio:

Guadagnare 12€ all'ora: y=12xy = 12x, dove xx sono le ore e yy sono i guadagni in euro.

3Provaci tu stesso

Uno studente guadagna 15€ all'ora dando ripetizioni, più un bonus di 20€ per ogni nuovo allievo.

Se ha dato 4 ore di ripetizioni a un nuovo allievo, quanto ha guadagnato?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola i guadagni:

Punti chiave

  • 1Una funzione lineare ha la forma y=mx+qy = mx + q, dove mm è la pendenza e qq è l'ordinata all'origine
  • 2Il grafico di una funzione lineare è sempre una retta
  • 3Le funzioni lineari hanno un tasso di variazione costante - quando xx aumenta di 1, yy cambia sempre di mm
  • 4Per identificare una funzione lineare, verifica che xx non abbia esponente diverso da 1 e non appaia in un denominatore o sotto un radicale

Domande frequenti

Una funzione è lineare se il suo grafico è una retta. Matematicamente, questo significa che l'equazione può essere scritta come y=mx+qy = mx + q senza esponenti sulle variabili, senza variabili ai denominatori e senza variabili sotto radicali.
Una funzione è lineare se il suo grafico è una retta. Matematicamente, questo significa che l'equazione può essere scritta come y=mx+qy = mx + q senza esponenti sulle variabili, senza variabili ai denominatori e senza variabili sotto radicali.
Sì! Una pendenza di 0 dà una retta orizzontale (y=qy = q). Una pendenza negativa significa che la retta scende da sinistra a destra (come una pista da sci).
Un'equazione lineare in due incognite, come 2x+y=72x + y = 7, ha come grafico una retta. Se ricavi yy, ottieni una funzione lineare: qui y=−2x+7y = -2x + 7. Una retta verticale come x=3x = 3 è un'equazione lineare ma non una funzione, perché all'unico valore x=3x = 3 corrispondono infiniti valori di yy.

Glossario

Funzione lineare
Una funzione il cui grafico è una retta, scritta come y=mx+qy = mx + q
Pendenza
Il tasso di variazione di una retta, rappresentato da mm in y=mx+qy = mx + q. Misura l'inclinazione.
Ordinata all'origine
Il punto dove la retta interseca l'asse y, rappresentato da qq in y=mx+qy = mx + q
Tasso di variazione
Di quanto cambia l'output (yy) per ogni cambiamento unitario nell'input (xx)
Tasso di variazione costante
Quando il tasso di variazione è lo stesso tra due punti qualsiasi - la caratteristica distintiva delle funzioni lineari
Sfida di oggiUn problema, tre tentativi

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