Introduzione alle funzioni lineari
Impara cosa sono le funzioni lineari, come identificarle e come creano rette su un grafico.
Definizione
- è la pendenza (quanto è ripida la retta)
- è l'intercetta y (dove la retta interseca l'asse y)
- è l'input (variabile indipendente)
- è l'output (variabile dipendente)
Prova subito
Esempi svolti
è una funzione lineare?
Verificare la forma
Confronta con → Corrisponde al modello
Identificare la pendenza
Il coefficiente di è →
Identificare l'intercetta y
Il termine costante è →
Verificare la linearità
Nessun esponente su , nessun al denominatore → È lineare
Risposta: Sì, è una funzione lineare con pendenza e intercetta y .
Errori comuni
Pensare che sia lineare perché ha una
Perché è sbagliato: L'esponente conta! significa moltiplicato per se stesso, il che crea una curva, non una retta.
Corretto: Le funzioni lineari hanno solo alla prima potenza. Verifica che non ci sia , , , o .
Confondere pendenza e intercetta y in
Perché è sbagliato: È facile confonderle. La pendenza () è il coefficiente di , mentre è il termine costante.
Corretto: In , la pendenza è (moltiplica ) e l'intercetta y è (sta da sola).
Pensare che non sia una funzione lineare
Perché è sbagliato: Questa è in realtà , una retta orizzontale con pendenza .
Corretto: è lineare - è un caso speciale con pendenza zero. Il grafico è una retta orizzontale a .
Visuale interattivo
Esplora funzioni lineari
| x | y |
|---|---|
| -2 | -2 |
| -1 | -1 |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
Sandbox interattivo
Graficatore interattivo
Prova questi esempi:
y = 2x + 1
m=2, b=1
Calcolatrice di espressioni
Prova questi:
Cronologia
Ancora nessun calcolo
Esercizi pratici
16 eserciziQuale delle seguenti è una funzione lineare?
Perché è importante
- Piani telefonici: Un piano che costa 20€ al mese più 5 centesimi per SMS è lineare:
- Distanza e tempo: Guidare a una velocità costante di 90 km/h crea una relazione lineare:
- Conversione di temperatura: Da Celsius a Fahrenheit è lineare:
- Business: I costi di un'azienda spesso includono costi fissi più costi variabili per articolo
Applicazioni nel mondo reale
Piani telefonici
Molti piani telefonici hanno una tariffa base più un costo per utilizzo, creando una funzione lineare.
Esempio:
Un piano costa 25€ al mese più 10 centesimi al minuto oltre il limite. Se sono i minuti extra, allora .
Un piano telefonico addebita 30€ al mese più 5 centesimi per messaggio di testo.
Quanto costerebbero 100 messaggi di testo in un mese?
Passo 1: Scrivi l'espressione matematica
Scrivi la funzione come e sostituisci:
Distanza e velocità
Viaggiando a velocità costante, la distanza è una funzione lineare del tempo.
Esempio:
Guidando a 90 km/h: , dove è la distanza in km e è il tempo in ore.
Un ciclista viaggia a una velocità costante di 15 km/h.
Che distanza percorrerà in 3 ore?
Passo 1: Scrivi l'espressione matematica
Usa :
Guadagni e ore lavorate
I salari orari creano una relazione lineare tra le ore lavorate e il denaro guadagnato.
Esempio:
Guadagnare 12€ all'ora: , dove sono le ore e sono i guadagni in euro.
Uno studente guadagna 15€ all'ora dando ripetizioni, più un bonus di 20€ per ogni nuovo studente.
Se ha dato 4 ore di ripetizioni a un nuovo studente, quanto ha guadagnato?
Passo 1: Scrivi l'espressione matematica
Calcola i guadagni:
Punti chiave
- 1Una funzione lineare ha la forma , dove è la pendenza e è l'intercetta y
- 2Il grafico di una funzione lineare è sempre una retta
- 3Le funzioni lineari hanno un tasso di variazione costante - quando aumenta di 1, cambia sempre di
- 4Per identificare una funzione lineare, verifica che non abbia esponente diverso da 1 e non appaia in un denominatore o sotto un radicale
Domande frequenti
Glossario
- Funzione lineare
- Una funzione il cui grafico è una retta, scritta come
- Pendenza
- Il tasso di variazione di una retta, rappresentato da in . Misura la ripidezza.
- Intercetta y
- Il punto dove la retta interseca l'asse y, rappresentato da in
- Tasso di variazione
- Di quanto cambia l'output () per ogni cambiamento unitario nell'input ()
- Tasso di variazione costante
- Quando il tasso di variazione è lo stesso tra due punti qualsiasi - la caratteristica distintiva delle funzioni lineari