Rette parallele e perpendicolari

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Quale coppia di rette è parallela?
1. a) $y = 2x + 3$ e $y = -2x + 3$
2. b) $y = 2x + 3$ e $y = 2x - 5$
3. c) $y = 2x + 3$ e $y = -\frac{1}{2}x + 1$
4. d) $y = 2x + 3$ e $y = \frac{1}{2}x + 3$
Risposta: $y = 2x + 3$ e $y = 2x - 5$
Entrambe le rette hanno coefficiente angolare $m = 2$ , quindi sono parallele. Le diverse ordinate all'origine ( $3$ e $-5$ ) confermano che sono rette parallele distinte.
2.
Quale coppia di rette è perpendicolare?
1. a) $y = 3x + 1$ e $y = 3x - 4$
2. b) $y = 3x + 1$ e $y = -\frac{1}{3}x + 2$
3. c) $y = 3x + 1$ e $y = \frac{1}{3}x + 5$
4. d) $y = 3x + 1$ e $y = -3x + 2$
Risposta: $y = 3x + 1$ e $y = -\frac{1}{3}x + 2$
I coefficienti angolari sono $3$ e $-\frac{1}{3}$ . Poiché $3 \times (-\frac{1}{3}) = -1$ , le rette sono perpendicolari.
3.
Qual è il coefficiente angolare di una retta parallela a $y = 5x - 7$ ?
Risposta: 5
Il coefficiente angolare di $y = 5x - 7$ è $5$ . Le rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare, quindi la risposta è $5$ .
4.
Qual è il coefficiente angolare di una retta perpendicolare a $y = 4x + 2$ ?
Risposta: -1/4
Il coefficiente angolare è $4$ . L'antireciproco è $-\frac{1}{4}$ .
5.
Le rette $y = -x + 4$ e $y = x + 1$ sono:
1. a)Né parallele né perpendicolari
2. b)La stessa retta
3. c)Perpendicolari
4. d)Parallele
Risposta: Perpendicolari
I coefficienti angolari sono $-1$ e $1$ . Poiché $(-1) \times 1 = -1$ , le rette sono perpendicolari.
6.
Qual è il coefficiente angolare di una retta perpendicolare a $y = -\frac{2}{3}x + 5$ ?
Risposta: 3/2
Il coefficiente angolare è $-\frac{2}{3}$ . L'antireciproco è $-\frac{1}{-\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$ .
7.
Scrivi l'equazione di una retta parallela a $y = 3x - 4$ che passa per $(1, 7)$ .
Risposta: $y = 3x + 4$
1. Qual è il coefficiente angolare della retta data? 3
2. Quale coefficiente angolare dovrebbe avere la retta parallela? 3
3. Usando la forma punto-pendenza $y - 7 = 3(x - 1)$ , qual è l'ordinata all'origine? 4
8.
Scrivi l'equazione di una retta perpendicolare a $y = 2x + 3$ che passa per $(4, 1)$ .
Risposta: $y = -\frac{1}{2}x + 3$
1. Qual è il coefficiente angolare della retta data? 2
2. Qual è l'antireciproco di $2$ ? -1/2
3. Usando la forma punto-pendenza con $(4, 1)$ e $m = -\frac{1}{2}$ , qual è l'ordinata all'origine? 3
9.
Qual è la relazione tra $3x - 6y = 12$ e $x - 2y = 5$ ?
1. a)Perpendicolari
2. b)Stessa retta
3. c)Nessuna delle due
4. d)Parallele
Risposta: Parallele
Prima equazione: $y = \frac{1}{2}x - 2$ . Seconda equazione: $y = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}$ . Stesso coefficiente angolare ( $\frac{1}{2}$ ), ordinate all'origine diverse, quindi parallele.
10.
La retta $A$ passa per $(0, 4)$ e $(2, 8)$ . La retta $B$ è perpendicolare alla retta $A$ . Qual è il coefficiente angolare della retta $B$ ?
Risposta: -1/2
Coefficiente angolare di $A$ : $\frac{8-4}{2-0} = \frac{4}{2} = 2$ . Coefficiente angolare perpendicolare: $-\frac{1}{2}$ .
11.
Trova l'equazione di una retta passante per $(-2, 3)$ perpendicolare a $y = -\frac{1}{4}x + 5$ .
Risposta: $y = 4x + 11$
1. Qual è il coefficiente angolare della retta data? -1/4
2. Qual è l'antireciproco di $-\frac{1}{4}$ ? 4
3. Sviluppa $y - 3 = 4(x + 2)$ e ricava $y$ per ottenere $y = 4x + q$ . Quanto vale $q$ ? 11
12.
La retta $L_1$ ha equazione $2x + 5y = 10$ . Trova l'equazione della retta $L_2$ che è perpendicolare a $L_1$ e passa per $(5, -1)$ .
Risposta: $y = \frac{5}{2}x - \frac{27}{2}$
1. Converti $2x + 5y = 10$ in forma esplicita. Qual è il coefficiente angolare? -2/5
2. Qual è il coefficiente angolare perpendicolare? 5/2
3. Usando la forma punto-pendenza con $(5, -1)$ e $m = \frac{5}{2}$ , qual è l'equazione? y = 5/2x - 27/2
13.
Quale valore di $k$ rende le rette $y = kx + 3$ e $y = \frac{3}{4}x - 2$ perpendicolari?
1. a) $k = -\frac{4}{3}$
2. b) $k = -\frac{3}{4}$
3. c) $k = \frac{3}{4}$
4. d) $k = \frac{4}{3}$
Risposta: $k = -\frac{4}{3}$
Per rette perpendicolari: $k \times \frac{3}{4} = -1$ , quindi $k = -1 \div \frac{3}{4} = -\frac{4}{3}$ .
14.
Una retta parallela a $y = -\frac{3}{5}x + 2$ passa per $(10, 4)$ . Qual è l'ordinata all'origine di questa retta?
Risposta: 10
Coefficiente angolare parallelo: $-\frac{3}{5}$ . Usando $(10, 4)$ : $y - 4 = -\frac{3}{5}(x - 10)$ , quindi $y = -\frac{3}{5}x + 6 + 4 = -\frac{3}{5}x + 10$ . L'ordinata all'origine è $10$ .
15.
Trova l'equazione della retta passante per $(3, 2)$ che è parallela alla retta passante per $(-1, 4)$ e $(3, -2)$ .
Risposta: $y = -\frac{3}{2}x + \frac{13}{2}$
1. Trova il coefficiente angolare della retta passante per $(-1, 4)$ e $(3, -2)$ . -3/2
2. Quale coefficiente angolare ha la retta parallela? -3/2
3. Usando $(3, 2)$ e $m = -\frac{3}{2}$ , trova l'equazione. y = -3/2x + 13/2
16.
Se due rette sono perpendicolari e una ha coefficiente angolare $-1$ , qual è il coefficiente angolare dell'altra?
Risposta: 1
L'antireciproco di $-1$ è $-\frac{1}{-1} = 1$ .
17.
Determina se il triangolo con vertici $A(0, 0)$ , $B(4, 0)$ e $C(4, 3)$ ha un angolo retto.
Risposta: Sì, in $B$
1. Qual è il coefficiente angolare del lato $AB$ ? 0
2. Qual è il coefficiente angolare del lato $BC$ ? non definito
3. Le linee orizzontali e verticali sono perpendicolari? sì
18.
Le rette $ax + 2y = 6$ e $3x - y = 4$ sono perpendicolari. Qual è il valore di $a$ ?
1. a) $a = \frac{2}{3}$
2. b) $a = -6$
3. c) $a = 6$
4. d) $a = -\frac{2}{3}$
Risposta: $a = \frac{2}{3}$
Prima retta: $y = -\frac{a}{2}x + 3$ , coefficiente angolare $= -\frac{a}{2}$ . Seconda retta: $y = 3x - 4$ , coefficiente angolare $= 3$ . Per rette perpendicolari: $(-\frac{a}{2}) \times 3 = -1$ , quindi $-\frac{3a}{2} = -1$ , dando $a = \frac{2}{3}$ .