Seguire la regolarità fino a $3^0$

Usa la regolarità delle potenze di $3$ per trovare $3^0$.

Parti da una potenza che conosci: $3^3 = 3 \times 3 \times 3$ = $3^3 = 27$

Abbassa l'esponente di 1: dividi per 3: $27 \div 3 = 9$ = $3^2 = 9$

Abbassalo ancora: dividi per 3: $9 \div 3 = 3$ = $3^1 = 3$

Un ultimo passo fino all'esponente 0: $3 \div 3 = 1$ = $3^0 = 1$

Answer: $3^0 = 1$

Con il quoziente di potenze

Calcola $\frac{7^4}{7^4}$ in due modi.

Un numero diverso da zero diviso per sé stesso: $\frac{7^4}{7^4} = \frac{2401}{2401}$ = $1$

Applica la regola del quoziente di potenze con la stessa base: $\frac{7^4}{7^4} = 7^{4-4}$ = $7^0$

I due risultati devono essere uguali: $7^0 = \frac{7^4}{7^4} = 1$ = $7^0 = 1$

Answer: $\frac{7^4}{7^4} = 7^0 = 1$

$5x^0$ a confronto con $(5x)^0$

Calcola $5x^0$ e $(5x)^0$ per $x = 2$.

In $5x^0$ l'esponente si riferisce solo a $x$: $5x^0 = 5 \times x^0 = 5 \times 2^0$ = $5 \times 1$

Moltiplica: $5 \times 1 = 5$ = $5x^0 = 5$

In $(5x)^0$ l'esponente si riferisce a tutta la parentesi: $(5 \times 2)^0 = 10^0$ = $(5x)^0 = 1$

Answer: $5x^0 = 5$ e $(5x)^0 = 1$

$-3^0$ a confronto con $(-3)^0$

Calcola $-3^0$ e $(-3)^0$.

Senza parentesi l'esponente si riferisce solo al $3$: $-3^0 = -(3^0)$ = $-(1)$

Applica il segno meno: $-(1) = -1$ = $-3^0 = -1$

Con le parentesi la base è $-3$: $(-3)^0$ ha una base diversa da zero = $(-3)^0 = 1$

Answer: $-3^0 = -1$ e $(-3)^0 = 1$

Un'espressione con più esponenti zero

Calcola $4^0 + 2^3 \times 6^0 - \left(\frac{1}{2}\right)^0$.

Sostituisci ogni potenza con esponente zero con 1: $4^0 = 1$, $6^0 = 1$, $\left(\frac{1}{2}\right)^0 = 1$ = $1 + 2^3 \times 1 - 1$

Calcola la potenza rimasta: $2^3 = 8$ = $1 + 8 \times 1 - 1$

Prima moltiplica: $8 \times 1 = 8$ = $1 + 8 - 1$

Somma e sottrai da sinistra a destra: $1 + 8 - 1$ = $8$

Answer: $8$

Mistake: Scrivere $a^0 = 0$, per esempio $9^0 = 0$

Why: L'esponente $0$ non significa moltiplicare per zero. Scendendo nella regolarità si divide per la base, e $9 \div 9 = 1$.

Correct: $9^0 = 1$, perché $\frac{9^1}{9^1} = 9^0$ e $\frac{9}{9} = 1$

Mistake: Scrivere $a^0 = a$, per esempio $9^0 = 9$

Why: Questa è la regola dell'esponente $1$: $9^1 = 9$. L'esponente $0$ è un passo più in basso, quindi si divide ancora una volta per $9$.

Correct: $9^1 = 9$ ma $9^0 = 1$

Mistake: Scrivere $5x^0 = 1$

Why: L'esponente si riferisce solo a $x$, non al coefficiente $5$. Solo $x^0$ diventa $1$.

Correct: $5x^0 = 5 \times 1 = 5$, mentre $(5x)^0 = 1$

Mistake: Scrivere $-3^0 = 1$

Why: Senza parentesi la base è $3$, non $-3$. Il segno meno resta davanti al risultato.

Correct: $-3^0 = -(3^0) = -1$, mentre $(-3)^0 = 1$

Valore posizionale e potenze di dieci

Ogni posizione del nostro sistema di numerazione è una potenza di dieci. Le unità corrispondono a $10^0 = 1$.

$6072 = 6 \times 10^3 + 0 \times 10^2 + 7 \times 10^1 + 2 \times 10^0$, e l'ultimo termine vale $2 \times 1 = 2$.

Numeri binari nei computer

I computer memorizzano i numeri in binario. Ogni posizione binaria è una potenza di due, e quella più a destra vale $2^0 = 1$.

Il numero binario $1011$ significa $1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11$.

Valore iniziale di un modello di crescita

I biologi descrivono una popolazione che raddoppia ogni ora con $P = P_0 \times 2^t$, dove $t$ è il tempo in ore.

Per $P = 200 \times 2^t$, dopo 3 ore $P = 200 \times 2^3 = 1600$, e all'inizio $P = 200 \times 2^0 = 200$.

Q: Perché $a^0$ vale 1 e non 0?

A: Perché ogni volta che l'esponente scende di 1 si divide per la base. Da $5^1 = 5$, un altro passo in basso dà $5 \div 5 = 1$. La regola del quoziente dice la stessa cosa: $\frac{5^3}{5^3} = 5^0$, e qualsiasi numero diverso da zero diviso per sé stesso fa $1$.

Q: Quanto vale $0^0$?

A: A questo livello $0^0$ resta non definito. L'argomento della regolarità richiede di dividere per la base, e non si può dividere per $0$. Per questo la regola si scrive $a^0 = 1$ per $a \neq 0$.

Q: La regola vale anche per numeri negativi e frazioni?

A: Sì, purché la base non sia zero e tutta la base sia tra parentesi: $(-8)^0 = 1$ e $\left(\frac{3}{4}\right)^0 = 1$.

Q: Perché la mia calcolatrice dà $-1$ per $-3^0$?

A: La calcolatrice segue l'ordine delle operazioni: la potenza viene prima del segno meno, quindi calcola $-(3^0) = -1$. Scrivi $(-3)^0$ con le parentesi per ottenere $1$.