Perché si sottraggono gli esponenti?

Perché $10^m$ è il prodotto di $m$ fattori 10. Dividere per $10^n$ semplifica $n$ di questi fattori: $\frac{10^5}{10^2} = \frac{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}{10 \cdot 10} = 10^3$. È la regola del quoziente $10^m \div 10^n = 10^{m-n}$.

E se i due numeri hanno lo stesso esponente?

Allora le potenze si semplificano in $10^0 = 1$ e contano solo i coefficienti: $(9 \times 10^4) \div (3 \times 10^4) = 3 \times 10^0 = 3$.

Quante cifre significative devo tenere?

Di solito tante quante ne ha il dato meno preciso del problema. Se i dati hanno 2 o 3 cifre significative, arrotonda anche il coefficiente a 2 o 3. Tenere più cifre di quante ne abbiano i dati dà un'impressione di precisione che non c'è.

Risorse per insegnanti

Dividere in notazione scientifica

Dividi numeri in notazione scientifica: dividi i coefficienti, sottrai gli esponenti e normalizza il risultato in modo che il coefficiente sia tra 1 e 10.

Avanzato25 minLezione

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Definizione

Per dividere numeri in notazione scientifica, spezza il calcolo in due parti semplici: dividi i coefficienti e dividi le potenze di dieci sottraendo gli esponenti (regola del quoziente

10^m \div 10^n = 10^{m-n}

\frac{a \times 10^m}{b \times 10^n} = \frac{a}{b} \times 10^{m-n}

Poi controlla il coefficiente. In notazione scientifica deve valere

1 \le a < 10

. Quando dividi, il nuovo coefficiente può risultare minore di 1: allora devi normalizzarlo. Sposta la virgola di un posto verso destra (coefficiente per

10

) e togli

1

all'esponente.

\frac{1{,}2 \times 10^5}{3 \times 10^2} = 0{,}4 \times 10^3 = 4 \times 10^2

Altre due cose a cui fare attenzione:

Esponenti negativi: sottrarre un numero negativo significa sommare, quindi $10^{-4} \div 10^{-7} = 10^{-4-(-7)} = 10^3$ .
Quozienti che non finiscono: $7 \div 3 = 2{,}333\ldots$ , quindi arrotondi il coefficiente, per esempio a $3$ cifre significative: $2{,}33$ .

Prova subito

Calcola

(6 \times 10^8) \div (2 \times 10^3)

Esempi svolti

Calcola

(8 \times 10^9) \div (2 \times 10^3)

Dividi i coefficienti

8 \div 2 = 4

Sottrai gli esponenti (regola del quoziente)

10^9 \div 10^3 = 10^{9-3} = 10^6

Unisci le parti e controlla il coefficiente

4 \times 10^6

, e

1 \le 4 < 10

→ Già normalizzato

Risposta: $(8 \times 10^9) \div (2 \times 10^3) = 4 \times 10^6$

Errori comuni

Dividere gli esponenti: $10^8 \div 10^2 = 10^4$

Perché è sbagliato: L'esponente conta quanti fattori 10 sono moltiplicati. Dividendo si semplificano fattori 10, quindi l'esponente si sottrae, non si divide.

Corretto: Sottrai: $10^8 \div 10^2 = 10^{8-2} = 10^6$ (otto fattori 10 diviso due fattori 10 ne lascia sei).

Sottrarre nell'ordine sbagliato: $10^3 \div 10^7 = 10^4$

Perché è sbagliato: Nella divisione l'ordine conta. L'esponente del numero PER cui dividi si sottrae dall'esponente in alto.

Corretto: Sempre sopra meno sotto: $10^3 \div 10^7 = 10^{3-7} = 10^{-4}$ , un numero piccolo, come ci si aspetta dividendo per qualcosa di più grande.

Normalizzare nella direzione sbagliata: $0{,}4 \times 10^3 = 4 \times 10^4$

Perché è sbagliato: Se il coefficiente diventa 10 volte più grande, la potenza di dieci deve diventare 10 volte più piccola, altrimenti il valore passa da $400$ a $40\,000$ .

Corretto: Coefficiente su di un posto, esponente giù di uno: $0{,}4 \times 10^3 = 4 \times 10^2$ . Verifica: entrambi valgono $400$ .

Perdere un segno con gli esponenti negativi: $10^5 \div 10^{-3} = 10^2$

Perché è sbagliato: Il secondo segno meno è andato perso. Sottrarre $-3$ è come sommare $3$ .

Corretto: $10^5 \div 10^{-3} = 10^{5-(-3)} = 10^{5+3} = 10^8$ . Dividere per un numero minuscolo dà un risultato grande.

Visuale interattivo

Dividi, sottrai gli esponenti, poi normalizza 0,4 × 10³

Dividi

(1{,}2 \times 10^{5}) \div (3 \times 10^{2})

1Raggruppa i coefficienti e le potenze di 10.
$\dfrac{1{,}2}{3} \times \dfrac{10^{5}}{10^{2}}$

Dividi i coefficienti. Che cosa ottieni?

Un quoziente che non finisce mai: arrotonda a 3 cifre significative

Dividi

(7 \times 10^{8}) \div (3 \times 10^{3})

1Raggruppa i coefficienti e le potenze di 10.
$\dfrac{7}{3} \times \dfrac{10^{8}}{10^{3}}$

Dividi i coefficienti. Che cosa ottieni?

Esponenti negativi: sottrarre un negativo significa sommare

Dividi

(6 \times 10^{-4}) \div (2 \times 10^{-7})

1Raggruppa i coefficienti e le potenze di 10.
$\dfrac{6}{2} \times \dfrac{10^{-4}}{10^{-7}}$

Dividi i coefficienti. Che cosa ottieni?

Coefficiente a6Esponente m−4Coefficiente b2Esponente n−7

Sandbox interattivo

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

18 esercizi

Problema 1 di 18

Facile

Calcola

(6 \times 10^8) \div (2 \times 10^3)

Perché è importante

La divisione risponde a domande come "quanto tempo?", "quanti per ...?" e "quanto a testa?". Nella scienza e nelle notizie i numeri di queste domande sono spesso enormi o minuscoli:

La luce del Sole: il Sole dista circa $1{,}5 \times 10^{11}$ m e la luce percorre $3 \times 10^8$ m ogni secondo. Dividendo scopri che la luce del Sole ha circa $500$ secondi quando ti raggiunge.
Densità di popolazione: la popolazione di un paese divisa per la sua superficie dà gli abitanti per km², il numero che i geografi usano per confrontare i paesi.
Quota pro capite: un bilancio o un debito nazionale diviso per la popolazione mostra che cosa significa per una singola persona.
Biologia e chimica: la massa di una goccia d'acqua divisa per la massa di una molecola dice quante molecole contiene (circa $10^{21}$ ).

Scrivere questi numeri per intero vorrebbe dire contare lunghe file di zeri. In notazione scientifica dividi due numeri piccoli, sottrai due esponenti e hai finito.

Applicazioni nel mondo reale

Astronomia: tempo di viaggio della luce

Gli astronomi dividono una distanza per la velocità della luce per sapere da quanto tempo la luce sta viaggiando. Per questo vediamo il Sole com'era qualche minuto fa e le stelle lontane com'erano anni fa.

Esempio:

La Luna dista circa $3{,}84 \times 10^8$ m. La luce impiega $(3{,}84 \times 10^8) \div (3 \times 10^8) = 1{,}28 \times 10^0 = 1{,}28$ secondi per arrivarci.

1Provaci tu stesso

Il Sole dista circa $1{,}5 \times 10^{11}$ m dalla Terra, e la luce percorre $3 \times 10^8$ m al secondo.

Quanti secondi impiega la luce per andare dal Sole alla Terra?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Tempo = distanza ÷ velocità:

Geografia: densità di popolazione

La densità di popolazione è il numero di abitanti diviso per la superficie. Mostra quanto è affollato un paese o una città, ed è così che gli urbanisti confrontano luoghi di dimensioni molto diverse.

Esempio:

La Germania ha circa $8{,}4 \times 10^7$ abitanti su circa $3{,}5 \times 10^5$ km². Densità: $(8{,}4 \div 3{,}5) \times 10^{7-5} = 2{,}4 \times 10^2$ , cioè circa $240$ abitanti per km².

2Provaci tu stesso

Una grande città ha $3{,}6 \times 10^6$ abitanti su $9 \times 10^2$ km².

Quante persone vivono in un chilometro quadrato?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Densità = abitanti ÷ superficie:

Economia: quota pro capite

Le notizie danno i dati nazionali (bilanci, debiti, spesa totale) in miliardi o migliaia di miliardi. Dividendoli per la popolazione si ottiene un importo a persona facile da immaginare.

Esempio:

Un paese di $4 \times 10^7$ abitanti spende $1{,}2 \times 10^{11}$ € all'anno in cibo: $(1{,}2 \div 4) \times 10^{11-7} = 0{,}3 \times 10^4 = 3 \times 10^3$ , cioè circa 3000 € a persona.

3Provaci tu stesso

Il debito pubblico di un paese è di $2{,}4 \times 10^{12}$ €, e ci vivono $3 \times 10^8$ persone.

Qual è la quota di debito di ogni persona, in euro?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Quota = debito ÷ abitanti:

Punti chiave

1Dividi separatamente i coefficienti e le potenze di dieci: $\frac{a \times 10^m}{b \times 10^n} = \frac{a}{b} \times 10^{m-n}$
2Regola del quoziente: sottrai gli esponenti, sempre sopra meno sotto ( $10^3 \div 10^7 = 10^{-4}$ )
3Se il nuovo coefficiente è minore di 1, normalizza: virgola di un posto a destra, esponente meno 1 ( $0{,}4 \times 10^3 = 4 \times 10^2$ )
4Sottrarre un esponente negativo significa sommare: $10^{-4} \div 10^{-7} = 10^{3}$
5Quando la divisione dei coefficienti non è esatta, arrotonda il coefficiente (per esempio a 3 cifre significative) e scrivi $\approx$
6La divisione risponde a domande su "quanto tempo", "quanti per" e "quanto a testa": viaggio della luce, densità di popolazione, quota pro capite

Domande frequenti

No. Entrambi i coefficienti sono tra 1 e 10, quindi il loro quoziente è sempre maggiore di

0{,}1

e minore di

10

. Per questo, nella divisione, normalizzi sempre in una sola direzione: un coefficiente minore di 1 avanza di un posto a destra e l'esponente scende di 1.

Glossario

Coefficiente (mantissa): Il numero $a$ in $a \times 10^n$ ; in notazione scientifica $1 \le a < 10$
Quoziente: Il risultato di una divisione, per esempio $4 \times 10^2$ in $(1{,}2 \times 10^5) \div (3 \times 10^2)$
Regola del quoziente: Per dividere potenze con la stessa base si sottraggono gli esponenti: $10^m \div 10^n = 10^{m-n}$
Normalizzare: Riscrivere un risultato in modo che il coefficiente sia tra 1 e 10 senza cambiarne il valore, per esempio $0{,}4 \times 10^3 = 4 \times 10^2$
Cifre significative: Le cifre di un numero che dicono qualcosa sulla sua precisione; $2{,}33$ ha 3 cifre significative

Scheda formule

Dividere in notazione scientifica

\frac{a \times 10^m}{b \times 10^n} = \frac{a}{b} \times 10^{m-n}

Dividi i coefficienti e sottrai gli esponenti (sopra meno sotto).

Regola del quoziente

10^m \div 10^n = 10^{m-n}

Vale anche con esponenti negativi: $10^{-4} \div 10^{-7} = 10^{-4+7} = 10^3$.

Normalizzare un coefficiente piccolo

c \times 10^k = (10c) \times 10^{k-1}

Usala quando il coefficiente $c$ è minore di 1: $0{,}4 \times 10^3 = 4 \times 10^2$.

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Regola del quoziente

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