Un prodotto già normalizzato

Calcola $(2 \times 10^3) \times (4 \times 10^5)$.

Raggruppa i coefficienti e le potenze di dieci: $(2 \times 4) \times (10^3 \times 10^5)$ = Due prodotti separati

Moltiplica i coefficienti: $2 \times 4 = 8$ = $8$

Somma gli esponenti: $10^3 \times 10^5 = 10^{3+5} = 10^8$ = $10^8$

Controlla il coefficiente: $1 \le 8 < 10$, non c'è niente da correggere = $8 \times 10^8$

Answer: $(2 \times 10^3)(4 \times 10^5) = 8 \times 10^8$

Un prodotto da normalizzare

Calcola $(4 \times 10^3) \times (3 \times 10^5)$.

Moltiplica i coefficienti: $4 \times 3 = 12$ = $12$

Somma gli esponenti: $3 + 5 = 8$ = $12 \times 10^8$

Il coefficiente è compreso tra 1 e 10?: $12 \ge 10$, quindi non è ancora notazione scientifica = Normalizzare

Scrivi $12$ come $1{,}2 \times 10^1$: $12 \times 10^8 = 1{,}2 \times 10^1 \times 10^8$ = $1{,}2 \times 10^9$

Answer: $(4 \times 10^3)(3 \times 10^5) = 1{,}2 \times 10^9$

Due esponenti negativi

Calcola $(2 \times 10^{-5}) \times (7 \times 10^{-3})$.

Moltiplica i coefficienti: $2 \times 7 = 14$ = $14$

Somma gli esponenti (con il loro segno): $-5 + (-3) = -8$ = $14 \times 10^{-8}$

Normalizza il coefficiente: $14 = 1{,}4 \times 10^1$ = Aggiungi $1$ all'esponente

Metti insieme: $-8 + 1 = -7$ = $1{,}4 \times 10^{-7}$

Answer: $(2 \times 10^{-5})(7 \times 10^{-3}) = 1{,}4 \times 10^{-7}$

Un esponente negativo e uno positivo

Calcola $(2{,}5 \times 10^{-4}) \times (6 \times 10^7)$.

Moltiplica i coefficienti: $2{,}5 \times 6 = 15$ = $15$

Somma gli esponenti: $-4 + 7 = 3$ = $15 \times 10^3$

Normalizza: $15 = 1{,}5 \times 10^1$, quindi l'esponente diventa $3 + 1 = 4$ = $1{,}5 \times 10^4$

Verifica con i numeri in forma decimale: $0{,}00025 \times 60.000.000 = 15.000$ = $1{,}5 \times 10^4 = 15.000$

Answer: $(2{,}5 \times 10^{-4})(6 \times 10^7) = 1{,}5 \times 10^4$

Elevare a potenza

Calcola $(5 \times 10^3)^3$.

Eleva ogni fattore alla potenza: $(5 \times 10^3)^3 = 5^3 \times (10^3)^3$ = Potenza di un prodotto

Eleva il coefficiente al cubo: $5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$ = $125$

Moltiplica gli esponenti (potenza di potenza): $(10^3)^3 = 10^{3 \times 3} = 10^9$ = $125 \times 10^9$

Normalizza: $125 = 1{,}25 \times 10^2$, quindi l'esponente diventa $9 + 2 = 11$ = $1{,}25 \times 10^{11}$

Answer: $(5 \times 10^3)^3 = 1{,}25 \times 10^{11}$. Con una potenza il coefficiente può arrivare a $100$ o più, e allora forse devi spostare la virgola di due posti.

Mistake: Moltiplicare gli esponenti: $10^3 \times 10^5 = 10^{15}$

Why: Quando moltiplichi potenze con la stessa base conti i fattori $10$: tre dieci e cinque dieci fanno otto dieci, non quindici.

Correct: Somma gli esponenti: $10^3 \times 10^5 = 10^{3+5} = 10^8$. Gli esponenti si moltiplicano solo nella potenza di potenza, come $(10^3)^2 = 10^6$.

Mistake: Fermarsi a $12 \times 10^8$

Why: Il valore è giusto, ma $12$ non è compreso tra $1$ e $10$, quindi il risultato non è ancora in notazione scientifica.

Correct: Normalizza: $12 \times 10^8 = 1{,}2 \times 10^9$.

Mistake: Normalizzare nella direzione sbagliata: $12 \times 10^8 = 1{,}2 \times 10^7$

Why: Se il coefficiente diventa $10$ volte più piccolo, la potenza di dieci deve diventare $10$ volte più grande, altrimenti il valore cambia.

Correct: Coefficiente più piccolo, esponente più grande: $12 \times 10^8 = 1{,}2 \times 10^9$.

Mistake: Perdere il segno meno: $10^{-4} \times 10^7 = 10^{-11}$ oppure $10^{11}$

Why: Gli esponenti sono numeri relativi, e la loro somma segue le regole dei numeri interi relativi.

Correct: $-4 + 7 = 3$, quindi $10^{-4} \times 10^7 = 10^3$. Quando i segni sono misti, scrivi la somma con le parentesi: $(-4) + 7$.

Astronomia: quanto è lungo un anno luce?

Un anno luce è la distanza che la luce percorre in un anno. Gli astronomi la calcolano moltiplicando la velocità della luce per il tempo, entrambi scritti in notazione scientifica.

In $500 = 5 \times 10^2$ secondi la luce percorre $(3 \times 10^5)(5 \times 10^2) = 15 \times 10^7 = 1{,}5 \times 10^8$ km, più o meno la distanza dal Sole alla Terra.

Biologia: contare i batteri

I microbiologi contano i batteri in un piccolo campione e moltiplicano per il volume per stimare il totale. I numeri crescono così in fretta che in pratica si possono scrivere solo in notazione scientifica.

Una goccia di $5 \times 10^{-2}$ mL presa da una coltura con $2 \times 10^6$ batteri per mL contiene $(2 \times 10^6)(5 \times 10^{-2}) = 10 \times 10^4 = 1 \times 10^5$ batteri.

Informatica: riempire una scheda di memoria

La dimensione dei file e lo spazio di archiviazione si misurano in byte, e i numeri arrivano presto ai miliardi. Gli ingegneri moltiplicano la dimensione di un file per il numero di file per pianificare la memoria di un dispositivo.

$2 \times 10^3$ canzoni da $4 \times 10^6$ byte ciascuna occupano $8 \times 10^9$ byte, cioè 8 gigabyte.

Q: Perché gli esponenti si sommano invece di moltiplicarsi?

A: Un esponente conta quanti dieci vengono moltiplicati. $10^3 \times 10^5$ sono tre dieci per cinque dieci, cioè $3 + 5 = 8$ dieci di fila: $10^8$.

Q: Non posso semplicemente scrivere i numeri per intero e moltiplicarli?

A: Sì, il valore è lo stesso. Ma con $3 \times 10^5 \times 3{,}15 \times 10^7$ dovresti moltiplicare $300.000$ per $31.500.000$ e contare molti zeri. In notazione scientifica calcoli solo $3 \times 3{,}15$ e $5 + 7$.

Q: Il prodotto dei coefficienti può essere 100 o più?

A: Non quando moltiplichi due numeri in notazione scientifica: entrambi i coefficienti sono minori di $10$, quindi il prodotto è minore di $10 \times 10 = 100$. Sposti la virgola al massimo di un posto. Con le potenze o con tre o più fattori può essere più grande, quindi controlla sempre.

Q: La mia calcolatrice mostra 1.2E9. Che cosa significa?

A: Le calcolatrici scrivono la notazione scientifica con una E: $1{,}2\text{E}9$ significa $1{,}2 \times 10^9$. Il numero dopo la E è l'esponente.