Trovare la percentuale

Che percentuale di 40 è 12?

Individua la parte e il totale: Il totale viene dopo "di": 40. La parte va con "è": 12. Manca la percentuale. = parte = 12, totale = 40

Scrivi la proporzione: $\frac{12}{40} = \frac{p}{100}$ = $\frac{12}{40} = \frac{p}{100}$

Moltiplica in croce: $40 \times p = 12 \times 100$ = $40p = 1200$

Dividi per 40: $p = 1200 \div 40$ = $p = 30$

Answer: 12 è il $30\%$ di 40.

Trovare il totale

15 è il 30% di quale numero?

Individua ciò che sai: La parte è 15 (vicino a "è"), la percentuale è 30. Manca il totale (dopo "di"). = parte = 15, $p = 30$

Scrivi la proporzione: $\frac{15}{x} = \frac{30}{100}$ = $\frac{15}{x} = \frac{30}{100}$

Moltiplica in croce: $30 \times x = 15 \times 100$ = $30x = 1500$

Dividi per 30: $x = 1500 \div 30$ = $x = 50$

Answer: 15 è il $30\%$ di 50. Verifica: il $30\%$ di 50 è $0{,}3 \times 50 = 15$.

Trovare la parte

Usa la proporzione per calcolare il 35% di 60.

Individua ciò che sai: Il totale è 60, la percentuale è 35. Manca la parte. = totale = 60, $p = 35$

Scrivi la proporzione: $\frac{x}{60} = \frac{35}{100}$ = $\frac{x}{60} = \frac{35}{100}$

Moltiplica in croce: $100 \times x = 35 \times 60$ = $100x = 2100$

Dividi per 100: $x = 2100 \div 100$ = $x = 21$

Answer: Il $35\%$ di 60 è 21. Lo stesso schema funziona per ogni incognita.

Il voto di una verifica in percentuale

Maria ha risposto correttamente a 34 delle 40 domande di una verifica. Che percentuale di risposte giuste ha ottenuto?

Individua la parte e il totale: Tutte le domande sono il totale: 40. Le risposte giuste sono la parte: 34. = parte = 34, totale = 40

Scrivi la proporzione: $\frac{34}{40} = \frac{p}{100}$ = $\frac{34}{40} = \frac{p}{100}$

Moltiplica in croce: $40p = 34 \times 100$ = $40p = 3400$

Dividi per 40: $p = 3400 \div 40$ = $p = 85$

Answer: Maria ha risposto correttamente all'$85\%$ delle domande.

Sondaggio: quanti hanno risposto?

In un sondaggio a scuola, 45 studenti hanno scelto il basket come sport preferito. Sono il 18% di tutti gli studenti che hanno risposto. Quanti studenti hanno risposto al sondaggio?

Individua ciò che sai: 45 studenti sono una parte di tutti. La percentuale è 18. Manca il totale (tutti gli studenti). = parte = 45, $p = 18$

Scrivi la proporzione: $\frac{45}{x} = \frac{18}{100}$ = $\frac{45}{x} = \frac{18}{100}$

Moltiplica in croce: $18x = 45 \times 100$ = $18x = 4500$

Dividi per 18 e verifica: $x = 4500 \div 18 = 250$; verifica: $0{,}18 \times 250 = 45$ = $x = 250$

Answer: Hanno risposto al sondaggio 250 studenti.

Mistake: Mettere il totale sopra: scrivere $\frac{40}{12} = \frac{p}{100}$ per "Che percentuale di 40 è 12?"

Why: La frazione a sinistra deve essere parte su totale. Capovolgendola si ottiene $p \approx 333$, che qui è impossibile perché 12 è minore di 40.

Correct: Parte sopra, totale sotto: $\frac{12}{40} = \frac{p}{100}$, quindi $p = 30$.

Mistake: Scrivere la percentuale al posto della parte: $\frac{30}{x} = \frac{15}{100}$ per "15 è il 30% di quale numero?"

Why: Il numero con il segno % va sempre sopra il 100. L'altro numero noto è la parte o il totale.

Correct: $\frac{15}{x} = \frac{30}{100}$, quindi $30x = 1500$ e $x = 50$.

Mistake: Moltiplicare in orizzontale invece che in croce: $12 \times p = 40 \times 100$

Why: Nella moltiplicazione in croce ogni numeratore va con il denominatore dell'ALTRA frazione.

Correct: Moltiplica lungo le diagonali: $12 \times 100 = 40 \times p$.

Mistake: Rispondere 0,3 quando si chiede la percentuale

Why: Nella proporzione $p$ è già il numero di per cento (su 100), non un numero decimale.

Correct: Se $p = 30$, la risposta è $30\%$. Scrivi il segno %.

Voti delle verifiche

Gli insegnanti trasformano i punti in percentuali per confrontare verifiche con un numero diverso di domande.

18 punti su 24: $\frac{18}{24} = \frac{p}{100}$, quindi $p = 75$, cioè un risultato del $75\%$.

Sondaggi

I sondaggi danno i risultati in percentuale. Se conosci la percentuale e quante persone hanno dato una risposta, puoi trovare quante persone sono state intervistate.

Se 30 persone sono il $25\%$ di un gruppo, allora $\frac{30}{x} = \frac{25}{100}$ e il gruppo ha 120 persone.

Acquisti e sconti

Lo scontrino spesso indica quanto hai risparmiato, ma non il prezzo iniziale. La proporzione permette di ritrovarlo.

Risparmiare 6 € con uno sconto del $20\%$ significa $\frac{6}{x} = \frac{20}{100}$, quindi il prezzo iniziale era 30 €.

Q: Come capisco quale numero è la parte e quale il totale?

A: Chiediti: quale numero è la quantità intera? Quello è il totale (spesso dopo "di"). La parte è un pezzo del totale (spesso vicino a "è"). Se la percentuale è minore di 100, la parte è più piccola del totale.

Q: La parte può essere più grande del totale?

A: Sì, quando la percentuale è maggiore di 100. Per esempio, 60 è il $150\%$ di 40: $\frac{60}{40} = \frac{p}{100}$ dà $p = 150$.

Q: Perché la moltiplicazione in croce funziona?

A: Due frazioni uguali restano uguali se moltiplichi entrambi i membri per entrambi i denominatori. Da $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ si ottiene $a \times d = b \times c$.

Q: Che differenza c'è tra la proporzione e l'equazione percentuale?

A: Sono due modi di scrivere la stessa relazione. La proporzione confronta due frazioni; l'equazione percentuale (prossima lezione) scrive parte = tasso × totale, con la percentuale in forma decimale. Entrambe danno la stessa risposta.