Propria o impropria?

Classifica queste frazioni: $\frac{3}{5}$, $\frac{8}{5}$ e $\frac{5}{5}$. Quali sono proprie e quali improprie?

Guarda $\frac{3}{5}$: Numeratore $3$, denominatore $5$: $3 < 5$ = Propria, minore di 1

Guarda $\frac{8}{5}$: Numeratore $8$, denominatore $5$: $8 > 5$ = Impropria, più di 1

Guarda $\frac{5}{5}$: $5 = 5$, quindi tutti e cinque i quinti insieme formano un intero = Impropria, esattamente 1

Answer: $\frac{3}{5}$ è propria. $\frac{8}{5}$ e $\frac{5}{5}$ sono improprie, e $\frac{5}{5} = 1$.

Contare le fette di pizza

A una festa ogni pizza è tagliata in 4 fette uguali. Lena mette 7 fette su un piatto grande. Che frazione di pizza è, ed è più di una pizza?

Trova la grandezza di una fetta: Ogni pizza ha 4 fette uguali = Una fetta è $\frac{1}{4}$ di pizza

Conta le fette: 7 fette da $\frac{1}{4}$ ciascuna = $\frac{7}{4}$

Confronta con una pizza: Una pizza intera è $\frac{4}{4}$, e $7 > 4$ = $\frac{7}{4} > 1$

Guarda che cosa avanza: $\frac{7}{4} = \frac{4}{4} + \frac{3}{4}$ = 1 pizza intera e altre 3 fette

Answer: Lena ha $\frac{7}{4}$ di pizza: una pizza intera più $\frac{3}{4}$ di un'altra.

Trovare 5/3 sulla retta numerica

Dove si trova $\frac{5}{3}$ sulla retta numerica?

Dividi ogni unità in terzi: Dividi il tratto da 0 a 1 e quello da 1 a 2 in 3 parti uguali ciascuno = Ogni piccolo salto è $\frac{1}{3}$

Conta tre salti: $\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{3}{3}$ = $\frac{3}{3}$ arriva esattamente su 1

Conta altri due salti: $\frac{4}{3}, \frac{5}{3}$ = $\frac{5}{3}$ è 2 salti dopo l'1

Descrivi la posizione: Due dei tre salti tra 1 e 2 sono fatti = Tra 1 e 2, più vicino a 2

Answer: $\frac{5}{3}$ si trova tra 1 e 2, ai due terzi del percorso da 1 a 2.

Frazioni improprie che sono numeri interi

Quali di queste frazioni sono numeri interi: $\frac{6}{3}$, $\frac{10}{4}$, $\frac{12}{4}$?

Dividi 6 per 3: $6 \div 3 = 2$ = $\frac{6}{3} = 2$, un numero intero

Dividi 10 per 4: $4 \times 2 = 8$ e $4 \times 3 = 12$, quindi 10 non è un multiplo di 4 = $\frac{10}{4}$ si trova tra 2 e 3

Dividi 12 per 4: $12 \div 4 = 3$ = $\frac{12}{4} = 3$, un numero intero

Answer: $\frac{6}{3} = 2$ e $\frac{12}{4} = 3$ sono numeri interi. $\frac{10}{4}$ no: si trova tra 2 e 3.

Confrontare due frazioni improprie

Qual è maggiore: $\frac{9}{4}$ o $\frac{7}{3}$?

Trova gli interi in $\frac{9}{4}$: $\frac{8}{4} = 2$, quindi $\frac{9}{4} = 2 + \frac{1}{4}$ = 2 e un quarto

Trova gli interi in $\frac{7}{3}$: $\frac{6}{3} = 2$, quindi $\frac{7}{3} = 2 + \frac{1}{3}$ = 2 e un terzo

Confronta le parti in più: I terzi sono pezzi più grandi dei quarti: $\frac{1}{3} > \frac{1}{4}$ = $\frac{7}{3}$ va più lontano dopo il 2

Answer: $\frac{7}{3}$ è maggiore di $\frac{9}{4}$.

Mistake: Pensare che una frazione non possa mai essere maggiore di 1

Why: Spesso le frazioni vengono presentate come parti di un solo intero, quindi sembra impossibile avere più parti di quante ne abbia l'intero. Ma una frazione conta parti uguali, e si possono contare più parti di quante ne stiano in un intero.

Correct: $\frac{7}{4}$ significa sette quarti: un intero (quattro quarti) più altri tre quarti, quindi $\frac{7}{4} > 1$.

Mistake: Dire che $\frac{4}{4}$ è una frazione propria

Why: Sembra una frazione qualsiasi, ma una frazione propria deve essere minore di 1, e $\frac{4}{4}$ è esattamente 1.

Correct: Quando il numeratore è uguale al denominatore, la frazione è impropria e vale 1: $\frac{4}{4} = \frac{9}{9} = 1$.

Mistake: Mettere $\frac{5}{4}$ tra 0 e 1 sulla retta numerica

Why: Molti alunni smettono di contare i quarti arrivati a 1. Ma dopo $\frac{4}{4}$ i salti continuano semplicemente, e $\frac{5}{4}$ è la tacca successiva.

Correct: Continua a contare dopo l'1: $\frac{4}{4} = 1$, quindi $\frac{5}{4}$ è un quarto a destra di 1.

Mistake: Pensare che impropria voglia dire sbagliata

Why: Nel linguaggio di tutti i giorni improprio fa pensare a un errore, ma in matematica è solo il nome delle frazioni che valgono 1 o più.

Correct: $\frac{9}{4}$ è una risposta del tutto corretta. Spesso è persino la forma più utile per fare i calcoli.

Cucinare con i misurini

Nelle ricette si misura spesso con piccoli misurini, e qualche misurino supera facilmente una tazza.

Tre misurini da $\frac{1}{2}$ tazza di latte sono $\frac{3}{2}$ di tazza, cioè più di 1 tazza.

Il tempo in quarti d'ora

Un quarto d'ora dura 15 minuti, per questo orari e calendari contano spesso il tempo in quarti d'ora.

Un film che dura 6 quarti d'ora dura $\frac{6}{4}$ di ora, cioè 90 minuti.

Bottiglie d'acqua per una squadra

Le bevande sono spesso vendute in bottiglie da mezzo litro, e poche bottiglie fanno presto diversi litri.

Due bottiglie da mezzo litro contengono $\frac{2}{2} = 1$ litro d'acqua.

Q: $\frac{4}{4}$ è una frazione propria o impropria?

A: È impropria. Una frazione propria deve essere minore di 1, ma $\frac{4}{4}$ è esattamente 1. Ogni frazione con il numeratore uguale al denominatore è impropria e vale 1.

Q: Perché si chiamano improprie?

A: Il nome è molto antico. Una frazione propria era vista come una vera parte di un intero, e una frazione che vale un intero o più non corrispondeva a questa idea, quindi fu chiamata impropria. Non vuol dire sbagliata.

Q: Ogni numero intero si può scrivere come frazione impropria?

A: Sì. Moltiplica il numero intero per un denominatore qualsiasi per ottenere il numeratore: $3 = \frac{3}{1} = \frac{6}{2} = \frac{12}{4}$.

Q: Devo sempre trasformare una frazione impropria in un numero misto?

A: No. Entrambe le forme sono corrette. Con le frazioni improprie di solito è più facile calcolare, mentre i numeri misti come $1\frac{3}{4}$ mostrano la grandezza a colpo d'occhio. Passare da una forma all'altra è l'argomento delle prossime lezioni.