Congruenza LLL

Il **criterio di congruenza LLL (Lato-Lato-Lato)**, detto anche terzo criterio di congruenza, afferma: se i tre lati di un triangolo sono congruenti ai tre lati di un altro triangolo, allora i due triangoli sono congruenti. $$\text{Se } \overline{AB} \cong \overline{DE}, \quad \overline{BC} \cong \overline{EF}, \quad \overline{CA} \cong \overline{FD}$$ $$\text{Allora } \triangle ABC \cong \triangle DEF$$ Non devi misurare nemmeno un angolo. Tre lunghezze dei lati determinano completamente un triangolo: questa proprietà si chiama **rigidità del triangolo**. Una volta scelti i tre lati, gli angoli sono obbligati, quindi ogni triangolo con quei lati è lo stesso triangolo, solo spostato, ruotato o ribaltato. **Abbinare i lati:** l'ordine delle lettere in $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ indica quali elementi si corrispondono: $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow E$, $C \leftrightarrow F$. Abbina il lato più corto al più corto, quello medio al medio e il più lungo al più lungo, poi scrivi i vertici nell'ordine corrispondente. Nel piano cartesiano calcoli ogni lato con la **formula della distanza**: $$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Verificare LLL con lunghezze date

In $\triangle ABC$: $AB = 5$ cm, $BC = 7$ cm, $CA = 6$ cm. In $\triangle DEF$: $DE = 5$ cm, $EF = 7$ cm, $FD = 6$ cm. I triangoli sono congruenti?

Confronta la prima coppia di lati: $AB = DE = 5$ cm = $\overline{AB} \cong \overline{DE}$

Confronta la seconda coppia: $BC = EF = 7$ cm = $\overline{BC} \cong \overline{EF}$

Confronta la terza coppia: $CA = FD = 6$ cm = $\overline{CA} \cong \overline{FD}$

Applica LLL: Tutte e tre le coppie di lati sono congruenti = $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ per LLL

Answer: Sì, $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ per LLL. Non è servito nessun angolo.

Scrivere l'enunciato di congruenza nell'ordine giusto

In $\triangle PQR$: $PQ = 8$, $QR = 11$, $RP = 9$. In $\triangle XYZ$: $XY = 9$, $YZ = 8$, $ZX = 11$. Scrivi un enunciato di congruenza corretto.

Abbina i lati in base alla lunghezza: $8$: $PQ \leftrightarrow YZ$, $\quad 9$: $RP \leftrightarrow XY$, $\quad 11$: $QR \leftrightarrow ZX$ = Tre coppie uguali, quindi vale LLL

Trova il corrispondente di P: In $P$ si incontrano i lati $8$ e $9$. In $\triangle XYZ$ i lati $8$ ($YZ$) e $9$ ($XY$) si incontrano in $Y$ = $P \leftrightarrow Y$

Trova i corrispondenti di Q e R: $Q$: si incontrano i lati $8$ e $11$, in $\triangle XYZ$ è $Z$. $R$: si incontrano i lati $9$ e $11$, è $X$ = $Q \leftrightarrow Z$, $R \leftrightarrow X$

Scrivi l'enunciato nell'ordine corrispondente: $P, Q, R$ vanno con $Y, Z, X$ = $\triangle PQR \cong \triangle YZX$

Answer: $\triangle PQR \cong \triangle YZX$ per LLL. Scrivere $\triangle PQR \cong \triangle XYZ$ sarebbe sbagliato, perché $P$ non corrisponde a $X$.

LLL nel piano cartesiano

Dimostra che $\triangle ABC$ con $A(1, 1)$, $B(5, 3)$, $C(2, 6)$ è congruente a $\triangle DEF$ con $D(-7, -1)$, $E(-5, -5)$, $F(-2, -2)$.

Calcola AB e DE con la formula della distanza: $AB = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20}$, $\quad DE = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{20}$ = $AB = DE = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

Calcola BC ed EF: $BC = \sqrt{(-3)^2 + 3^2} = \sqrt{18}$, $\quad EF = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18}$ = $BC = EF = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

Calcola CA e FD: $CA = \sqrt{(-1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{26}$, $\quad FD = \sqrt{(-5)^2 + 1^2} = \sqrt{26}$ = $CA = FD = \sqrt{26}$

Applica LLL: Tre coppie di lati uguali = $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ per LLL

Answer: Tutte e tre le coppie di lati sono uguali ($\sqrt{20}$, $\sqrt{18}$, $\sqrt{26}$), quindi $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ per LLL. Il triangolo $DEF$ è il triangolo $ABC$ ruotato di $90°$ e spostato.

Dimostrazione a due colonne con un lato in comune

Nel deltoide $ABCD$ si ha $AB = AD$ e $CB = CD$. È tracciata la diagonale $AC$. Dimostra che $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ e che $\angle B \cong \angle D$.

Affermazione 1 e sua giustificazione: $\overline{AB} \cong \overline{AD}$ = Giustificazione: per ipotesi

Affermazione 2 e sua giustificazione: $\overline{CB} \cong \overline{CD}$ = Giustificazione: per ipotesi

Affermazione 3: il lato in comune: $\overline{AC} \cong \overline{AC}$ = Giustificazione: proprietà riflessiva (un segmento è congruente a se stesso)

Affermazione 4: i triangoli: $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ = Giustificazione: LLL (affermazioni 1, 2, 3)

Affermazione 5: gli angoli: $\angle ABC \cong \angle ADC$ = Giustificazione: elementi corrispondenti di triangoli congruenti

Answer: $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ per LLL, e quindi $\angle B \cong \angle D$ perché gli elementi corrispondenti di triangoli congruenti sono congruenti. Il lato in comune $AC$ è la terza coppia di lati.

Usare l'algebra con LLL

$\triangle ABC \cong \triangle DEF$ per LLL. $AB = 2x + 1$, $DE = 11$, $BC = 3y - 2$, $EF = 16$ e $CA = FD = 9$. Trova $x$, $y$ e il perimetro di $\triangle ABC$.

I lati corrispondenti sono uguali: AB = DE: $2x + 1 = 11 \Rightarrow 2x = 10$ = $x = 5$

BC = EF: $3y - 2 = 16 \Rightarrow 3y = 18$ = $y = 6$

Scrivi i tre lati di ABC: $AB = 11$, $BC = 16$, $CA = 9$ = Lati 11, 16 e 9

Somma i lati: $11 + 16 + 9$ = Perimetro $= 36$

Answer: $x = 5$, $y = 6$, e il perimetro di $\triangle ABC$ è $36$.

LLL è il criterio che puoi verificare solo con un righello, e spiega perché i triangoli sono ovunque nelle costruzioni: - **Ponti e tetti**: un triangolo fatto di tre travi fisse non può cambiare forma, per questo le capriate sono fatte di triangoli. Un telaio quadrato con angoli snodati si schiaccia in un rombo, un triangolo mai - **Produzione**: per controllare che un pezzo triangolare corrisponda alla dima, gli operai misurano solo i tre lati - **Mappe e rilievi**: con le coordinate puoi dimostrare che due appezzamenti triangolari sono uguali semplicemente calcolando delle distanze - **Dimostrazioni**: LLL è spesso il primo passo di una dimostrazione, poi la proprietà **gli elementi corrispondenti di triangoli congruenti sono congruenti** ti dà gli angoli uguali senza fatica Nelle lezioni sui triangoli congruenti e su ALA e AAL hai visto gli altri criteri. LLL è l'unico che non ha bisogno di alcun angolo.

Mistake: Scrivere i vertici nell'ordine sbagliato, come $\triangle PQR \cong \triangle XYZ$ quando $P$ corrisponde a $Y$

Why: Un enunciato di congruenza promette che le prime lettere si corrispondono, così come le seconde e le terze. L'ordine alfabetico non è l'ordine delle corrispondenze.

Correct: Abbina prima i lati in base alla lunghezza, poi cerca in quali vertici si incontrano i lati corrispondenti. Scrivi i vertici in quell'ordine: $\triangle PQR \cong \triangle YZX$.

Mistake: Pensare che LLL valga anche per i quadrilateri

Why: Un quadrato di lato 4 e un rombo stretto di lato 4 hanno quattro coppie di lati uguali, ma non sono congruenti. Quattro lati non fissano gli angoli.

Correct: Le lunghezze dei lati da sole fissano solo la forma di un triangolo. Per i quadrilateri servono anche angoli o una diagonale.

Mistake: Dimenticare il lato in comune in una dimostrazione

Why: Quando due triangoli hanno un lato in comune, molti studenti trovano solo due coppie di lati uguali e si fermano, oppure usano quel lato senza giustificazione.

Correct: Scrivi il lato in comune come affermazione a parte, $\overline{AC} \cong \overline{AC}$, con la giustificazione proprietà riflessiva. Conta come terza coppia.

Mistake: Dedurre la congruenza da perimetri uguali

Why: I triangoli con lati 3, 4, 5 e 4, 4, 4 hanno entrambi perimetro 12, ma forme diverse.

Correct: LLL richiede tre coppie distinte di lati uguali, non solo la stessa somma.

Capriate del tetto

I carpentieri costruiscono i tetti con triangoli identici, perché un triangolo con lati fissi non si può deformare.

Ogni capriata di una casetta da giardino è fatta di travi da 3 m, 4 m e 5 m. Per LLL tutte le capriate sono congruenti, quindi il tetto è uguale per tutta la sua lunghezza.

Campi su una griglia di mappa

I pianificatori confrontano appezzamenti con le coordinate e la formula della distanza, senza andare sul posto.

Il campo 1 ha vertici $(0, 0)$, $(6, 0)$ e $(0, 8)$, il campo 2 ha vertici $(10, 2)$, $(10, 8)$ e $(18, 2)$. Entrambi hanno lati di 6, 8 e 10 unità, quindi sono congruenti per LLL.

Controllo qualità delle piastrelle

Una fabbrica di piastrelle controlla le piastrelle triangolari con una dima misurando i tre lati.

La dima ha lati di 12 cm, 15 cm e 20 cm. Una piastrella da 20 cm, 12 cm e 15 cm supera il controllo: l'ordine delle misure non conta, contano solo le tre coppie.

**LLL**: se i tre lati di un triangolo sono congruenti ai tre lati di un altro, i triangoli sono congruenti

Non servono angoli: tre lunghezze dei lati determinano completamente un triangolo (rigidità del triangolo)

Abbina il più corto al più corto, il medio al medio e il più lungo al più lungo, poi scrivi i vertici nell'ordine corrispondente

Nel piano cartesiano calcola ogni lato con la formula della distanza $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Un lato in comune a due triangoli è congruente a se stesso (proprietà riflessiva) e conta come una coppia

Dopo LLL, gli elementi corrispondenti danno gli angoli uguali; LLL non vale per i quadrilateri

Q: Perché LLL funziona senza nessun angolo?

A: Prova a costruire un triangolo con tre bastoncini di lunghezza fissa. Una volta uniti gli estremi, c'è una sola forma possibile, non puoi aprire né chiudere gli angoli. Ogni triangolo con quei tre lati è lo stesso triangolo, al massimo ruotato o ribaltato. Per questo bastano tre lati.

Q: Perché LLL non vale per i quadrilateri?

A: Quattro bastoncini uniti agli angoli possono ancora muoversi: un quadrato di lato 4 può essere schiacciato in un rombo di lato 4. I lati restano uguali, gli angoli cambiano. Una diagonale divide la figura in due triangoli e la rende rigida.

Q: L'ordine dei lati conta?

A: Non per decidere se c'è congruenza: i lati 5, 6, 8 e 8, 5, 6 danno triangoli congruenti. Conta invece nell'enunciato di congruenza: le lettere dei vertici vanno scritte nell'ordine corrispondente.

Q: Che differenza c'è tra congruenza LLL e similitudine LLL?

A: La congruenza LLL richiede tre coppie di lati uguali, quindi i triangoli hanno la stessa grandezza. La similitudine LLL richiede solo che i tre rapporti tra lati corrispondenti siano uguali, quindi un triangolo può essere una copia ingrandita dell'altro.

Esci dalla presentazione

Congruenza LLL

1 / 14

Geometria / Congruenza & Similitudine

Congruenza LLL

Impara a dimostrare che due triangoli sono congruenti con il criterio LLL (Lato-Lato-Lato), ad abbinare i lati corrispondenti e a verificare LLL nel piano cartesiano.

Intermedio25 min

Usa i tasti freccia o la barra spaziatrice per navigare