Verificare la similitudine LLL

$\triangle ABC$ ha i lati $AB = 4$, $BC = 6$, $CA = 8$. $\triangle DEF$ ha i lati $DE = 6$, $EF = 9$, $FD = 12$. I triangoli sono simili?

Ordina i lati di ogni triangolo dal più corto al più lungo: $\triangle ABC$: $4, 6, 8$. $\triangle DEF$: $6, 9, 12$ = Coppie: $4 \leftrightarrow 6$, $6 \leftrightarrow 9$, $8 \leftrightarrow 12$

Dividi ogni lato di $\triangle DEF$ per il lato corrispondente di $\triangle ABC$: $\frac{6}{4} = 1{,}5$, $\frac{9}{6} = 1{,}5$, $\frac{12}{8} = 1{,}5$ = Tutti e tre i rapporti valgono $1{,}5$

Applica la similitudine LLL: Tre rapporti uguali, quindi i lati sono proporzionali = $\triangle ABC \sim \triangle DEF$, $k = 1{,}5$

Answer: Sì, $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ per la similitudine LLL con rapporto di similitudine $k = 1{,}5$.

Quando la similitudine LLL non funziona

Un triangolo ha i lati $5$, $7$, $9$. Un altro ha i lati $10$, $14$, $17$. Sono simili?

Abbina i lati in ordine: $5 \leftrightarrow 10$, $7 \leftrightarrow 14$, $9 \leftrightarrow 17$ = Lati ordinati dal più corto al più lungo

Calcola i tre rapporti: $\frac{10}{5} = 2$, $\frac{14}{7} = 2$, $\frac{17}{9} \approx 1{,}89$ = Il terzo rapporto è diverso

Decidi: LLL richiede che TUTTI e tre i rapporti siano uguali. Due su tre non bastano. = Non simili

Answer: No. I rapporti sono $2$, $2$ e circa $1{,}89$, quindi i triangoli non sono simili. In un triangolo simile il lato più lungo dovrebbe misurare $9 \times 2 = 18$.

Similitudine LAL e un lato mancante

In $\triangle PQR$: $PQ = 5$, $QR = 8$, $\angle Q = 60°$, $PR = 7$. In $\triangle XYZ$: $XY = 10$, $YZ = 16$, $\angle Y = 60°$. I triangoli sono simili? Se sì, trova $XZ$.

Confronta le due coppie di lati: $\frac{XY}{PQ} = \frac{10}{5} = 2$, $\frac{YZ}{QR} = \frac{16}{8} = 2$ = Stesso rapporto $k = 2$

Controlla che l'angolo sia l'angolo compreso: $\angle Q$ sta tra $PQ$ e $QR$, $\angle Y$ sta tra $XY$ e $YZ$, e $\angle Q = \angle Y = 60°$ = Gli angoli compresi sono congruenti

Applica la similitudine LAL: Due lati proporzionali e l'angolo compreso = $\triangle PQR \sim \triangle XYZ$, $k = 2$

Usa il rapporto di similitudine per il lato mancante: $XZ = k \cdot PR = 2 \cdot 7$ = $XZ = 14$

Answer: Sì, $\triangle PQR \sim \triangle XYZ$ per la similitudine LAL con $k = 2$, e $XZ = 14$.

Triangoli annidati con un angolo in comune

Nel $\triangle ABC$, il punto $D$ sta su $AB$ e il punto $E$ sta su $AC$. $AD = 4$, $AB = 12$, $AE = 5$, $AC = 15$ e $DE = 6$. Dimostra che $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ e trova $BC$.

Trova l'angolo in comune: Entrambi i triangoli contengono l'angolo in $A$ = $\angle DAE = \angle BAC$

Confronta i lati che formano l'angolo $A$: $\frac{AB}{AD} = \frac{12}{4} = 3$, $\frac{AC}{AE} = \frac{15}{5} = 3$ = Stesso rapporto $k = 3$

Applica la similitudine LAL: L'angolo in comune è l'angolo compreso di entrambe le coppie di lati = $\triangle ADE \sim \triangle ABC$

Trova il terzo lato: $BC = k \cdot DE = 3 \cdot 6$ = $BC = 18$

Answer: $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ per la similitudine LAL (angolo in comune $A$, $k = 3$), quindi $BC = 18$. Usa i lati interi $AB$ e $AC$, non i pezzi $DB$ ed $EC$.

Rapporto dei perimetri e rapporto delle aree

Un triangolo rettangolo ha i lati $3$, $4$, $5$. Un secondo triangolo ha i lati $9$, $12$, $15$. Confronta i loro perimetri e le loro aree.

Verifica la similitudine LLL: $\frac{9}{3} = \frac{12}{4} = \frac{15}{5} = 3$ = Simili, $k = 3$

Confronta i perimetri: $3 + 4 + 5 = 12$ e $9 + 12 + 15 = 36$, $\frac{36}{12} = 3$ = Rapporto dei perimetri $= k = 3$

Confronta le aree (i cateti sono base e altezza): $\frac{3 \cdot 4}{2} = 6$ e $\frac{9 \cdot 12}{2} = 54$, $\frac{54}{6} = 9$ = Rapporto delle aree $= 9$

Collega il rapporto delle aree a $k$: $k^2 = 3^2 = 9$ = Rapporto delle aree $= k^2$

Answer: I perimetri sono $12$ e $36$ (rapporto $3 = k$), le aree sono $6$ e $54$ (rapporto $9 = k^2$).

Mistake: Abbinare i lati nell'ordine in cui sono scritti, per esempio $4, 6, 8$ con $12, 9, 6$, e ottenere i rapporti $3$, $1{,}5$, $0{,}75$

Why: L'ordine in cui sono scritte le lunghezze non dice quali lati si corrispondono. Coppie sbagliate danno rapporti diversi anche per triangoli simili.

Correct: Ordina prima entrambi i triangoli dal lato più corto al più lungo: $4, 6, 8$ e $6, 9, 12$. Così tutti i rapporti valgono $1{,}5$.

Mistake: Usare LAL con un angolo che non sta tra i due lati

Why: Due lati proporzionali e un angolo non compreso (LLA) non fissano la forma: due triangoli diversi possono avere gli stessi due lati e lo stesso angolo opposto a uno di essi.

Correct: Controlla che l'angolo congruente sia formato proprio dai due lati che hai confrontato. Altrimenti la similitudine LAL non si applica.

Mistake: Pensare che anche il rapporto delle aree sia $k$

Why: Un'area è lunghezza per lunghezza, quindi entrambi i fattori crescono di $k$: l'area cresce di $k \cdot k = k^2$.

Correct: Rapporto dei perimetri $= k$, rapporto delle aree $= k^2$. Con $k = 3$, l'area è $9$ volte più grande, non $3$ volte.

Mistake: Dividere il grande per il piccolo in una coppia e il piccolo per il grande in un'altra, per esempio $\frac{6}{4} = 1{,}5$ ma $\frac{6}{9} \approx 0{,}67$

Why: Così i rapporti sembrano diversi anche se i lati sono proporzionali.

Correct: Dividi sempre nello stesso verso: lato dell'immagine diviso lato dell'originale (o il contrario per ogni coppia).

Ingrandire un logo

I grafici ingrandiscono i loghi in modo che ogni lunghezza cresca con lo stesso rapporto. Il triangolo ingrandito è simile all'originale per la similitudine LLL, quindi mantiene esattamente la stessa forma.

Un logo triangolare con lati di $2$ cm, $3$ cm e $4$ cm viene stampato su un manifesto con $k = 5$: i lati diventano $10$ cm, $15$ cm e $20$ cm.

Misurare la larghezza di un lago

I topografi non possono stendere un metro a nastro sopra l'acqua. Segnano due punti su linee che partono da un vertice e usano il triangolo piccolo che ha in comune con quello grande l'angolo in quel vertice.

Dal punto $A$ partono due sentieri rettilinei che costeggiano il lago. Un triangolo piccolo i cui lati lungo i due sentieri sono $\frac{1}{4}$ di quelli del grande ha in comune l'angolo in $A$, quindi la larghezza del lago è $4$ volte la breve distanza misurata sulla terraferma.

Tessuto per una vela più grande

I velai ingrandiscono o rimpiccioliscono modelli di vele collaudati. La vela nuova è simile a quella vecchia, ma il tessuto necessario cresce con il rapporto delle aree $k^2$, non con $k$.

Una vela che è $1{,}5$ volte più lunga su ogni lato richiede $1{,}5^2 = 2{,}25$ volte più tessuto.

Q: In che cosa la similitudine LLL è diversa dalla congruenza LLL?

A: La congruenza LLL richiede tre coppie di lati **uguali**. La similitudine LLL richiede solo tre coppie di lati nello **stesso rapporto**. La congruenza è il caso particolare $k = 1$.

Q: Perché l'angolo di LAL deve essere l'angolo compreso?

A: I due lati e l'angolo tra loro fissano completamente la forma. Se l'angolo sta altrove (LLA), due triangoli diversi possono avere gli stessi dati, quindi non puoi concludere che i triangoli sono simili.

Q: Quando uso AA, LLL o LAL?

A: Guarda che cosa è dato. Due coppie di angoli congruenti: AA. Tre coppie di lunghezze: LLL. Due coppie di lunghezze e l'angolo tra loro: LAL. Nei triangoli annidati un angolo in comune ti regala spesso l'angolo per AA o LAL.

Q: Conta per quale triangolo divido?

A: Solo per il valore di $k$. Il grande diviso il piccolo dà $k > 1$ (ingrandimento), il piccolo diviso il grande dà $k < 1$ (riduzione). Vanno bene entrambi, purché tu divida nello stesso verso per ogni coppia.