Somma degli angoli di un triangolo

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Qual è la somma di tutti gli angoli interni in qualsiasi triangolo?
1. a) $270°$
2. b) $360°$
3. c) $180°$
4. d) $90°$
Risposta: $180°$
Il teorema della somma degli angoli di un triangolo dice che la somma dei tre angoli interni di qualsiasi triangolo è sempre $180°$ . Questo è vero per tutti i triangoli indipendentemente dalla loro forma.
2.
Un triangolo ha angoli di $50°$ e $70°$ . Qual è il terzo angolo?
Risposta: 60
$180° - 50° - 70° = 60°$ . I tre angoli devono fare $180°$ , quindi sottraiamo gli angoli noti per trovare quello mancante.
3.
In un triangolo equilatero, tutti e tre gli angoli sono uguali. Qual è la misura di ogni angolo?
1. a) $90°$
2. b) $120°$
3. c) $45°$
4. d) $60°$
Risposta: $60°$
In un triangolo equilatero, tutti gli angoli sono uguali. Poiché devono fare $180°$ : ogni angolo = $180° \div 3 = 60°$ .
4.
Un triangolo ha angoli di $80°$ , $55°$ e un angolo sconosciuto $x$ . Trova $x$ .
Risposta: 45
1. Quanto fanno tutti e tre gli angoli insieme? 180
2. Quanto fa $80° + 55°$ ? 135
3. Quanto fa $180° - 135°$ ? 45
5.
In un triangolo rettangolo, un angolo acuto è $25°$ . Qual è l'altro angolo acuto?
Risposta: 65
In un triangolo rettangolo: $90° + 25° + x = 180°$ , quindi $x = 180° - 90° - 25° = 65°$ . In alternativa, poiché i due angoli acuti fanno $90°$ : $90° - 25° = 65°$ .
6.
Un triangolo isoscele ha due angoli uguali di $70°$ ciascuno. Trova il terzo angolo.
Risposta: 40
1. Qual è la somma dei due angoli uguali? 140
2. Quanto devono fare tutti e tre gli angoli insieme? 180
3. Quanto fa $180° - 140°$ ? 40
7.
Un triangolo ha angoli di $35°$ , $95°$ e $x$ . Che tipo di angolo è $x$ ?
1. a)Acuto ( $30°$ )
2. b)Acuto ( $50°$ )
3. c)Retto ( $90°$ )
4. d)Ottuso ( $130°$ )
Risposta: Acuto ( $50°$ )
$x = 180° - 35° - 95° = 50°$ . Poiché $50° < 90°$ , è un angolo acuto.
8.
Gli angoli di un triangolo sono nel rapporto $2:3:4$ . Quanto misura l'angolo più grande, in gradi?
Risposta: 80
Chiama gli angoli $2x$ , $3x$ , $4x$ . Allora $2x + 3x + 4x = 180°$ , quindi $9x = 180°$ e $x = 20°$ . Gli angoli misurano $40°$ , $60°$ e $80°$ , quindi il più grande è $4x = 80°$ .
9.
In un triangolo, un angolo è il doppio di un altro e il terzo angolo misura $30°$ . Trova tutti e tre gli angoli.
Risposta: 50, 100, 30
1. Quanto fanno i tre angoli insieme? 180
2. Chiama $x$ l'angolo sconosciuto più piccolo: l'altro è $2x$ . Allora $x + 2x + 30° = 180°$ . Quanto vale $3x$ ? 150
3. Quanto vale $x$ ? 50
4. Quanto misura l'altro angolo sconosciuto, $2x$ ? 100
10.
Un triangolo può avere angoli di $60°$ , $70°$ e $60°$ ?
1. a)Sì, fanno $180°$
2. b)No, un triangolo non può avere due angoli uguali
3. c)No, fanno $170°$
4. d)No, fanno $190°$
Risposta: No, fanno $190°$
$60° + 70° + 60° = 190°$ . Poiché questo supera $180°$ , questi angoli non possono formare un triangolo valido.
11.
In un triangolo, un angolo misura $20°$ in più di un altro. Il terzo angolo misura $80°$ . Trova l'angolo più piccolo.
Risposta: 40
Sia l'angolo più piccolo $x$ . Allora: $x + (x + 20°) + 80° = 180°$ , quindi $2x + 100° = 180°$ , dando $2x = 80°$ e $x = 40°$ .
12.
In un triangolo, gli angoli sono $(2x + 10)°$ , $(3x - 20)°$ e $(x + 40)°$ . Trova il valore di $x$ e tutti e tre gli angoli.
Risposta: x=25, angoli: 60, 55, 65
1. Scrivi l'equazione della somma: $(2x + 10) + (3x - 20) + (x + 40) = ?$ 180
2. Raccogli i termini simili: quante $x$ in totale? 6
3. Raccogli le costanti: $10 - 20 + 40 = ?$ 30
4. Risolvi $6x + 30 = 180$ . Quanto fa $x$ ? 25
13.
Perché un triangolo non può avere due angoli ottusi?
1. a)Ogni triangolo deve avere almeno un angolo retto
2. b)Gli angoli ottusi non sono permessi nei triangoli
3. c)Due angoli ottusi farebbero più di $180°$
4. d)I triangoli possono avere solo angoli acuti
Risposta: Due angoli ottusi farebbero più di $180°$
Ogni angolo ottuso è maggiore di $90°$ . Se due angoli fossero entrambi ottusi, la loro somma da sola supererebbe $180°$ (es. $91° + 91° = 182°$ ), non lasciando spazio per un terzo angolo positivo.
14.
Un triangolo isoscele ha un angolo al vertice di $46°$ . Quanto misura ogni angolo alla base?
Risposta: 67
Sia ogni angolo alla base $x$ . Allora $46° + x + x = 180°$ , quindi $46° + 2x = 180°$ , il che significa $2x = 134°$ e $x = 67°$ .
15.
In un triangolo rettangolo, un angolo acuto misura $10°$ in meno del triplo dell'altro. Trova entrambi gli angoli acuti.
Risposta: 25, 65
1. In un triangolo rettangolo, quanto fanno insieme i due angoli acuti? 90
2. Chiama $x$ un angolo acuto: l'altro è $3x - 10$ . Allora $x + (3x - 10) = 90$ . Quanto vale $4x$ ? 100
3. Quanto vale $x$ ? 25
4. Quanto misura l'altro angolo acuto, $3x - 10$ ? 65
16.
Un angolo esterno di un triangolo misura $130°$ . I due angoli interni non adiacenti sono nel rapporto $2:3$ . Trova tutti e tre gli angoli interni.
Risposta: 50, 52, 78
1. L'angolo esterno e il suo angolo interno adiacente sono supplementari. Qual è l'angolo interno adiacente? 50
2. I tre angoli interni fanno $180°$ . Quanto fanno insieme i due angoli non adiacenti? 130
3. Se il rapporto è $2:3$ , siano $2x$ e $3x$ . Risolvi $2x + 3x = 130$ . Quanto fa $x$ ? 26
4. Qual è l'angolo non adiacente più piccolo ( $2x$ )? 52