Valutare una funzione lineare

Se $f(x) = 3x - 2$, trova $f(4)$.

Identificare cosa sostituire: $f(4)$ significa che sostituiamo $x$ con $4$ = Input = 4

Sostituire il valore: $f(4) = 3(4) - 2$ = $3(4) - 2$

Moltiplicare prima: $3 \times 4 = 12$ = $12 - 2$

Sottrarre: $12 - 2 = 10$ = $f(4) = 10$

Answer: $f(4) = 10$

Valutare con un input negativo

Se $g(x) = x^2 + 1$, trova $g(-3)$.

Identificare la sostituzione: $g(-3)$ significa sostituire $x$ con $-3$ = Input = -3

Sostituire il valore: $g(-3) = (-3)^2 + 1$ = $(-3)^2 + 1$

Elevare al quadrato: $(-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9$ = $9 + 1$

Addizionare: $9 + 1 = 10$ = $g(-3) = 10$

Answer: $g(-3) = 10$

Trovare un input da un output

Se $h(x) = 2x + 6$ e $h(a) = 14$, trova $a$.

Impostare l'equazione: Se $h(a) = 14$, allora $2a + 6 = 14$ = $2a + 6 = 14$

Sottrarre 6 da entrambi i lati: $2a + 6 - 6 = 14 - 6$ = $2a = 8$

Dividere per 2: $\frac{2a}{2} = \frac{8}{2}$ = $a = 4$

Verificare la risposta: $h(4) = 2(4) + 6 = 8 + 6 = 14$ = $a = 4$

Answer: $a = 4$

Mistake: Pensare che $f(x)$ significhi $f$ moltiplicato per $x$

Why: La notazione $f(x)$ sembra una moltiplicazione, ma in realta significa 'la funzione $f$ applicata all'input $x$'. Le parentesi indicano una funzione, non una moltiplicazione.

Correct: Leggi $f(x)$ come 'f di x' - rappresenta l'output quando $x$ e l'input.

Mistake: Dimenticare di sostituire ovunque

Why: Quando $x$ appare piu volte in una funzione, tutte le occorrenze devono essere sostituite.

Correct: Per $f(x) = x^2 + 2x$, per trovare $f(3)$: sostituisci ENTRAMBE le $x$ per ottenere $3^2 + 2(3) = 9 + 6 = 15$.

Mistake: Confondere il nome della funzione con la variabile

Why: Gli studenti a volte confondono $f$ (il nome della funzione) con $x$ (la variabile di input).

Correct: $f$ nomina la regola; $x$ e cio che entra. Funzioni diverse possono usare la stessa variabile: $f(x) = 2x$ e $g(x) = x + 5$.

Conversione di temperatura

La conversione tra Celsius e Fahrenheit usa la notazione delle funzioni.

La funzione $F(C) = \frac{9}{5}C + 32$ converte Celsius in Fahrenheit. Quindi $F(25) = \frac{9}{5}(25) + 32 = 45 + 32 = 77°F$.

Tariffe dei taxi

Le app di ride-sharing calcolano le tariffe usando funzioni.

Se la tariffa e $C(m) = 2{,}50 + 1{,}75m$ dove $m$ sono i chilometri, allora una corsa di 6 km costa $C(6) = 2{,}50 + 1{,}75(6) = 2{,}50 + 10{,}50 = 13$ euro.

Q: Perche usiamo lettere come $f$ invece di scrivere solo l'equazione?

A: I nomi delle funzioni ci permettono di lavorare con piu relazioni contemporaneamente. Invece di dire 'la prima equazione' e 'la seconda equazione', possiamo dire $f(x)$ e $g(x)$. Questo e particolarmente utile quando si confrontano o combinano funzioni.

Q: Si puo usare qualsiasi lettera come nome di funzione?

A: Si! Mentre $f$, $g$ e $h$ sono le piu comuni, qualsiasi lettera funziona. Nelle scienze, si usano spesso lettere significative: $v(t)$ per la velocita in funzione del tempo, $A(r)$ per l'area in funzione del raggio.

Q: $f(x) = y$ e la stessa cosa di $y = f(x)$?

A: Si, significano la stessa cosa. $f(x)$ rappresenta l'output della funzione, che spesso chiamiamo $y$. Quindi $f(x) = 2x + 1$ e equivalente a $y = 2x + 1$ quando lavoriamo con la funzione $f$.