Posso semplicemente mettere parentesi dappertutto?

Sì. Parentesi che seguono la precedenza degli operatori non cambiano mai il valore e rendono l'espressione più facile da leggere. $A \lor (B \land C)$ è uguale a $A \lor B \land C$, ma la prima scrittura mostra l'ordine a colpo d'occhio.

1 e 0 sono la stessa cosa di vero e falso?

Sì. 1 sta per vero e 0 per falso. I computer usano 1 e 0 perché memorizzano tutto come bit. Anche le tavole interattive di questa lezione usano 1 e 0.

Esiste un modo più rapido della tavola di verità per mostrare che due espressioni sono equivalenti?

Sì. L'algebra di Boole ha delle leggi (come le leggi di De Morgan) che trasformano un'espressione in un'altra passo dopo passo. Le studierai nella lezione Algebra di Boole. Una tavola di verità è più lenta, ma funziona sempre.

Risorse per insegnanti

Espressioni booleane

Impara a scrivere e valutare espressioni booleane con 1 e 0, ad applicare la precedenza NOT, AND, OR e a costruire la loro tavola di verità completa.

Avanzato25 minLezione

Scheda da stampare

Definizione

Un'espressione booleana è una formula costruita con variabili booleane (lettere come

A

B

C

), i valori

1

(vero) e

0

(falso) e gli operatori AND (

\land

), OR (

\lor

) e NOT (

\neg

). Proprio come

3 + 4 \times 2

in aritmetica, un'espressione booleana ha un solo valore, ma questo valore è sempre

1

oppure

0

I tre operatori con 1 e 0:

$\neg A$ inverte il valore: $\neg 1 = 0$ e $\neg 0 = 1$
$A \land B$ vale $1$ solo quando $A$ e $B$ valgono entrambe $1$
$A \lor B$ vale $1$ quando almeno una delle due vale $1$

Precedenza degli operatori: prima le parentesi, poi NOT, poi AND, poi OR.

(\;) \;\to\; \neg \;\to\; \land \;\to\; \lor

Quindi

A \lor B \land C

significa

A \lor (B \land C)

, e

\neg A \land B

significa

(\neg A) \land B

Esempio: valuta

A \lor B \land \neg C

per

A = 0

B = 1

C = 0

0 \lor 1 \land \neg 0 = 0 \lor 1 \land 1 = 0 \lor 1 = 1

Un'espressione con

n

variabili ha

2^n

combinazioni di ingressi. La sua tavola di verità riporta il valore dell'espressione per ciascuna di esse, partendo dalla riga in cui tutte le variabili valgono

0

. Due espressioni sono equivalenti quando le loro colonne finali coincidono in ogni riga. (La lezione Tavole di verità partiva invece dalla riga in cui tutto è vero; va bene qualsiasi ordine fisso. Le tavole di verità interattive di questa lezione usano anch'esse

1

0

Prova subito

A \lor B \land \neg C

(senza parentesi), quale operazione si esegue per prima?

Esempi svolti

Valuta $A \land \neg B$ per $A = 1$ e $B = 0$ .

Sostituire i valori

Sostituisci $A$ con $1$ e $B$ con $0$ → $1 \land \neg 0$

Prima NOT

$\neg 0 = 1$ → $1 \land 1$

Poi AND

Entrambi i valori sono $1$ , quindi AND dà $1$

Risposta: $A \land \neg B = 1$ (vero) per $A = 1$ , $B = 0$ .

Errori comuni

Calcolare da sinistra a destra: $1 \lor 0 \land 0 = (1 \lor 0) \land 0 = 0$

Perché è sbagliato: AND viene prima di OR, così come la moltiplicazione viene prima dell'addizione. Senza parentesi, la parte AND si calcola per prima.

Corretto: $1 \lor 0 \land 0 = 1 \lor (0 \land 0) = 1 \lor 0 = 1$

Applicare NOT a tutto ciò che segue: leggere $\neg A \land B$ come $\neg(A \land B)$

Perché è sbagliato: Senza parentesi, NOT si applica solo alla variabile che lo segue direttamente.

Corretto: $\neg A \land B = (\neg A) \land B$ . Per negare tutto l'AND, scrivi $\neg(A \land B)$ .

Sommare come se fossero numeri: $1 \lor 1 = 2$

Perché è sbagliato: Un'espressione booleana può valere solo $1$ o $0$ . OR chiede se almeno un valore è $1$ , non li conta.

Corretto: $1 \lor 1 = 1$ , $1 \land 1 = 1$ e $\neg 1 = 0$ . Il risultato è sempre $1$ o $0$ .

Dichiarare equivalenti due espressioni dopo aver provato solo uno o due ingressi

Perché è sbagliato: $A \land (B \lor C)$ e $A \land B \lor C$ hanno lo stesso valore in 6 righe su 8, eppure sono diverse.

Corretto: Costruisci la tavola completa con $2^n$ righe e confronta ogni riga. Una riga diversa significa: non equivalenti.

Visuale interattivo

Tabella di verità

EspressioneA ∨ B ∧ ¬C

A	B	C	¬C	B ∧ ¬C	A ∨ B ∧ ¬C
0	0	0	1	0	0
0	0	1	0	0	0
0	1	0	1	1	1
0	1	1	0	0	0
1	0	0	1	0	1
1	0	1	0	0	1
1	1	0	1	1	1
1	1	1	0	0	1

1= Vero0= Falso

Tabella di verità

EspressioneA ∨ ¬A ∧ B

A	B	A ∨ ¬A ∧ B
0	0
0	1
1	0
1	1

1= Vero0= Falso

Sandbox interattivo

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

18 esercizi

Problema 1 di 18

Facile

In $A \lor B \land \neg C$ (senza parentesi), quale operazione si esegue per prima?

Perché è importante

Le espressioni booleane sono il linguaggio che i computer usano per prendere decisioni:

Programmazione: ogni condizione if è un'espressione booleana, per esempio (almeno 12 anni AND NOT escluso) OR accompagnato da un genitore. Se dimentichi le parentesi, il programma fa entrare le persone sbagliate
Ricerche e filtri: i negozi online e le biblioteche combinano filtri come disponibile AND (rosso OR blu)
Fogli di calcolo: funzioni come E(), O() e NON() decidono quali righe vengono evidenziate
Elettronica: ogni chip trasforma espressioni booleane in circuiti di porte logiche, come vedrai nella lezione Porte logiche
Giochi e casa intelligente: una porta si apre o una luce si accende quando un'espressione di più sensori vale 1

Se conosci la precedenza degli operatori e sai costruire una tavola di verità, puoi prevedere esattamente che cosa fa una regola in ogni situazione possibile.

Applicazioni nel mondo reale

Regole in un programma

I programmatori scrivono le regole come espressioni booleane e provano ogni combinazione di ingressi prima di mettere online il programma.

Esempio:

Un'attrazione del luna park ti fa salire se $T \land (H \lor P)$ : $T$ = hai il biglietto, $H$ = sei abbastanza alto, $P$ = sale con te un genitore.

1Provaci tu stesso

La regola è $T \land (H \lor P)$ . Una bambina ha il biglietto ( $T = 1$ ), non è abbastanza alta ( $H = 0$ ) e sale con un genitore ( $P = 1$ ).

Quanti casi di prova ha la regola, e la bambina può salire?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Scrivi il numero di casi di prova come potenza di 2:

Filtri antispam

Un programma di posta decide con un'espressione booleana se un messaggio finisce nella cartella spam.

Esempio:

Un filtro segna un'e-mail come spam se $L \lor S \land \neg K$ : $L$ = il mittente è in una lista nera, $S$ = parole sospette, $K$ = il mittente è nei tuoi contatti.

2Provaci tu stesso

La regola è $L \lor S \land \neg K$ . Un'e-mail di un'amica presente nei tuoi contatti ( $K = 1$ ) contiene una parola sospetta ( $S = 1$ ), e la mittente non è nella lista nera ( $L = 0$ ). Con 0 e 1, AND funziona come la moltiplicazione e NOT come $1 - x$ .

L'e-mail finisce nello spam?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Scrivi $S \land \neg K$ come calcolo:

Regole della casa intelligente

Due espressioni diverse possono comandare un dispositivo esattamente allo stesso modo. Una tavola di verità mostra quando una regola lunga si può sostituire con una corta.

Esempio:

Una luce da giardino usa la regola $M \lor M \land N$ : $M$ = movimento rilevato, $N$ = è notte.

3Provaci tu stesso

Un'ingegnera vuole sostituire la regola $M \lor M \land N$ con la regola più corta $M$ .

Le due regole accendono sempre la luce allo stesso modo?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Scrivi il numero di righe come potenza di 2:

Punti chiave

1Un'espressione booleana combina variabili, i valori 1 (vero) e 0 (falso) e gli operatori $\land$ , $\lor$ , $\neg$
2Il valore di un'espressione booleana è sempre 1 o 0, mai 2 o più
3Precedenza degli operatori: prima le parentesi, poi NOT, poi AND, poi OR
4NOT si applica solo a ciò che lo segue direttamente: $\neg A \land B$ non è $\neg(A \land B)$
5Un'espressione con $n$ variabili ha una tavola di verità di $2^n$ righe, partendo dalla riga in cui tutte le variabili valgono 0
6Due espressioni sono equivalenti quando le loro colonne finali sono uguali in ogni riga

Domande frequenti

È una convenzione, come la moltiplicazione prima dell'addizione. Con 0 e 1, AND si comporta come la moltiplicazione (

1 \times 0 = 0

), e OR viene spesso paragonato all'addizione, quindi lo stesso ordine sembra naturale.

Glossario

Variabile booleana: Una lettera come $A$ , $B$ o $C$ che può assumere solo i valori 1 (vero) o 0 (falso)
Espressione booleana: Una formula fatta di variabili booleane, dei valori 1 e 0 e degli operatori $\land$ , $\lor$ , $\neg$
Precedenza degli operatori: La regola che dice quale operatore si calcola per primo: parentesi, poi NOT, poi AND, poi OR
Tavola di verità: Una tabella che riporta il valore di un'espressione per tutte le $2^n$ combinazioni delle sue variabili
Equivalente: Due espressioni sono equivalenti quando hanno lo stesso valore in ogni riga della tavola di verità

Scheda formule

Precedenza degli operatori

(\;) \;\to\; \neg \;\to\; \land \;\to\; \lor

Prima le parentesi, poi NOT, poi AND, poi OR

NOT

\neg 0 = 1, \quad \neg 1 = 0

Inverte il valore di ciò che lo segue direttamente

AND e OR

1 \land 1 = 1, \quad 0 \lor 0 = 0

AND vale 1 solo se entrambi valgono 1; OR vale 0 solo se entrambi valgono 0

Numero di righe

\text{righe} = 2^n

$n$ è il numero di variabili: $2^2 = 4$, $2^3 = 8$

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NOT

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