Dalle parole ai simboli

Sia $P$: "Il negozio è aperto" e $Q$: "Ho dei soldi". Scrivi ogni frase in simboli: (a) Il negozio è aperto e ho dei soldi. (b) Il negozio non è aperto o ho dei soldi. (c) Il negozio è aperto ma non ho soldi. (d) Il negozio non è aperto e non ho soldi.

Frase (a): La parola *e* unisce due parti che vengono affermate entrambe come vere = $P \land Q$

Frase (b): *non* riguarda solo la prima parte, *o* unisce le due parti = $\neg P \lor Q$

Frase (c): *ma* significa AND, e *non ho soldi* è la negazione di $Q$ = $P \land \neg Q$

Frase (d): Entrambe le parti sono negate e unite con *e* = $\neg P \land \neg Q$

Answer: (a) $P \land Q$, (b) $\neg P \lor Q$, (c) $P \land \neg Q$, (d) $\neg P \land \neg Q$. La frase (d) si può dire anche con né ... né: né il negozio è aperto né ho soldi.

Valori di verità con i numeri

Sia $P$: "$7$ è un numero primo" e $Q$: "$10$ è un numero dispari". Trova il valore di verità di $P \land Q$, $P \lor Q$ e $P \land \neg Q$.

Trova il valore di ogni proposizione semplice: $7$ ha solo i divisori $1$ e $7$, quindi $P$ è vera. $10$ è pari, quindi $Q$ è falsa = $P = 1$, $Q = 0$

Calcola $P \land Q$: $1 \land 0$: AND richiede che entrambe le parti siano vere = $0$ (falso)

Calcola $P \lor Q$: $1 \lor 0$: OR richiede almeno una parte vera = $1$ (vero)

Calcola $P \land \neg Q$: Prima $\neg Q = \neg 0 = 1$, poi $1 \land 1$ = $1$ (vero)

Answer: $P \land Q$ è falsa, $P \lor Q$ è vera e $P \land \neg Q$ è vera: $7$ è primo e $10$ non è dispari.

Dove si trova il NOT?

Sia $P$: "$3 > 5$" e $Q$: "$2 + 2 = 4$". Confronta i valori di verità di $\neg(P \lor Q)$ e $\neg P \lor Q$.

Trova i valori delle parti: $3 > 5$ è falso e $2 + 2 = 4$ è vero = $P = 0$, $Q = 1$

Calcola prima la parentesi: $P \lor Q = 0 \lor 1$ = $1$

Nega tutta la parentesi: $\neg(P \lor Q) = \neg 1$ = $0$

Ora calcola $\neg P \lor Q$: Qui NOT riguarda solo $P$: $\neg 0 \lor 1 = 1 \lor 1$ = $1$

Answer: $\neg(P \lor Q)$ è falsa, ma $\neg P \lor Q$ è vera. Le parentesi decidono a che cosa si applica il NOT: a tutta la proposizione o solo a $P$.

Negare a parole una proposizione composta

Nega la proposizione "Tom gioca a calcio e Tom gioca a scacchi". In quali casi la negazione è vera?

Scrivi la proposizione in simboli: $F$: Tom gioca a calcio, $C$: Tom gioca a scacchi = $F \land C$

Nega tutta la proposizione: Metti davanti *non è vero che*: non è vero che Tom giochi sia a calcio sia a scacchi = $\neg(F \land C)$

Controlla i quattro casi: $F \land C$ vale 1 solo quando $F = 1$ e $C = 1$, quindi $\neg(F \land C)$ vale 1 negli altri tre casi = Vera in 3 casi su 4

Dillo con parole semplici: La negazione è vera appena manca almeno una delle due attività = Tom non fa entrambe le cose

Answer: La negazione è: non è vero che Tom giochi sia a calcio sia a scacchi, quindi manca almeno una delle due attività. Non è "Tom non gioca né a calcio né a scacchi": questa frase è vera solo in 1 caso, non in 3.

Tre parti, otto casi

Un club ti fa entrare se sei socio, oppure se hai un biglietto e hai più di 16 anni. Con $M$: sei socio, $T$: hai un biglietto, $A$: hai più di 16 anni, la regola è $M \lor (T \land A)$. In quanti degli 8 casi entri?

Conta i casi: 3 proposizioni semplici, ognuna vale 0 o 1 = $2^3 = 8$ casi

Elenca i casi in ordine: $M$, $T$, $A$: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 = 8 righe, iniziando da 0

Colonna $T \land A$: Vera solo quando $T = 1$ e $A = 1$: casi 011 e 111 = 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1

Colonna $M \lor (T \land A)$: Vera quando $M = 1$ (casi da 100 a 111) o quando $T \land A = 1$ (il caso 011 ne aggiunge uno) = 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1

Conta i casi veri: 4 casi con $M = 1$ più 1 caso senza essere socio = 5 casi

Answer: Entri in 5 degli 8 casi: sempre da socio, e senza essere socio solo con il biglietto e se hai più di 16 anni.

Mistake: Pensare che "$P$ o $Q$" sia falsa quando entrambe le parti sono vere

Why: Nella lingua di tutti i giorni *o* spesso significa l'uno o l'altro, ma non entrambi. In logica OR è inclusivo: $1 \lor 1 = 1$.

Correct: $P \lor Q$ è falsa solo quando entrambe le parti sono false. Per uno ma non entrambi esiste un altro operatore: l'OR esclusivo (XOR).

Mistake: Negare "Mi piacciono il tè e il caffè" con "Non mi piace né il tè né il caffè"

Why: *Né ... né* è vero solo quando entrambe le parti sono false (1 caso). La negazione di una proposizione con AND deve essere vera ogni volta che almeno una parte è falsa (3 casi).

Correct: Di' "Non è vero che mi piacciano sia il tè sia il caffè": almeno uno dei due non mi piace. La regola generale (leggi di De Morgan) arriva nella lezione Algebra di Boole.

Mistake: Leggere $\neg P \land Q$ come se fosse $\neg(P \land Q)$

Why: Senza parentesi, NOT si applica solo alla proposizione che lo segue direttamente. Per $P = 0$ e $Q = 0$: $\neg P \land Q = 1 \land 0 = 0$, ma $\neg(P \land Q) = \neg 0 = 1$.

Correct: Controlla che cosa tocca il NOT. Scrivi le parentesi quando il NOT deve valere per tutta la proposizione composta.

Mistake: Non riconoscere *ma* come AND

Why: "La verifica era difficile ma l'ho superata" sembra un contrasto, eppure entrambe le parti sono affermate come vere.

Correct: Traduci *ma*, *anche se* e *sia ... sia* con AND: $H \land S$ (verifica difficile AND superata).

Filtri nei negozi online

Negozi e motori di ricerca combinano condizioni con AND, OR e NOT per decidere quali articoli vedi.

Il filtro (nero OR blu) AND NOT usato mostra solo articoli nuovi, in uno dei due colori.

Regole di gioco nel codice

Videogiochi e app controllano condizioni composte molte volte al secondo per decidere che cosa succede dopo.

Una porta si apre se (chiave AND NOT allarme). Con la chiave e senza allarme: $1 \land \neg 0 = 1 \land 1 = 1$, quindi la porta si apre.

Regole e cartelli

Le regole su cartelli, biglietti e contratti sono proposizioni composte, e spesso conta sapere esattamente quando una regola NON è rispettata.

"Parcheggio gratuito la domenica o dopo le 20" vale una domenica a mezzogiorno, un lunedì alle 21 e anche una domenica alle 21.

Q: "O ... o" significa la stessa cosa di OR?

A: Non sempre. L'operatore OR è sempre inclusivo: è vero anche quando entrambe le parti sono vere. Nella lingua di tutti i giorni *o ... o* fa spesso pensare a uno ma non entrambi. Quando una frase intende chiaramente uno ma non entrambi, scrivila come OR esclusivo (XOR): $(P \lor Q) \land \neg(P \land Q)$. Altrimenti leggila come OR.

Q: Servono sempre le parentesi?

A: Con due parti e un solo operatore, no. Appena AND e OR compaiono insieme, o un NOT deve valere per più di una proposizione, le parentesi rendono chiaro il significato. Le regole per leggere una proposizione senza parentesi (NOT prima di AND prima di OR) arrivano nella lezione Espressioni booleane.

Q: Posso usare una calcolatrice per i valori di verità?

A: In parte. Con 1 e 0, AND funziona come una moltiplicazione ($1 \times 0 = 0$, $1 \times 1 = 1$) e NOT $P$ è uguale a $1 - P$. La calcolatrice di questa lezione non conosce le parole AND, OR e NOT, quindi usala per questi prodotti e per contare casi come $2^3$.

Q: Perché una domanda non può far parte di una proposizione composta?

A: Una proposizione deve essere vera oppure falsa. Una domanda come "Piove?" o un ordine come "Chiudi la porta!" non ha valore di verità, quindi non può esserne una parte.