Invertire un valore di verità

Sia $P$ = "7 è un numero pari". Trova i valori di verità di $P$, $\neg P$ e $\neg(\neg P)$.

Valuta P: 7 è dispari, quindi la proposizione "7 è un numero pari" è **falsa** = P = F

Scrivi la negazione a parole: $\neg P$ = "7 non è un numero pari" = ¬P a parole

Applica NOT: $\neg P = \neg F = V$ = ¬P = V

Applica NOT una seconda volta: $\neg(\neg P) = \neg V = F$, cioè lo stesso valore di P = ¬(¬P) = F

Answer: P è falsa, ¬P è vera e ¬(¬P) è di nuovo falsa. Due NOT si annullano: ¬(¬P) = P.

Negare frasi in italiano

Scrivi la negazione di "Anna ha una bicicletta." e di "Anna è a casa."

Trova il verbo della prima frase: In "Anna ha una bicicletta" il verbo è ha = Verbo: ha

Nega all'italiana: In italiano non va subito prima del verbo: ha diventa non ha. "Anna ha non una bicicletta" è sbagliato = Anna non ha una bicicletta.

Nega la seconda frase: Stessa regola: non prima del verbo, quindi è diventa non è = Anna non è a casa.

Controlla i valori di verità: Se "Anna ha una bicicletta" è vera, allora "Anna non ha una bicicletta" è falsa, e viceversa = Esattamente una è vera

Answer: "Anna non ha una bicicletta." e "Anna non è a casa." Negare non significa aggiungere una parola a caso: segui la grammatica della tua lingua.

Negare una frase con "tutti"

Scrivi la negazione di "Tutti gli studenti hanno superato la verifica."

Capisci l'affermazione: La frase dice che ogni singolo studente, nessuno escluso, ha superato la verifica = Affermazione: tutti l'hanno superata

Chiediti che cosa la rende falsa: Basta un solo studente bocciato perché l'affermazione sia falsa = Almeno uno è stato bocciato

Scrivi la negazione: "Non tutti gli studenti hanno superato la verifica", in altre parole "Almeno uno studente non ha superato la verifica" = Non tutti l'hanno superata.

Scarta la risposta sbagliata che tenta: "Nessuno studente ha superato la verifica" è troppo forte: se 20 l'hanno superata e 1 no, l'affermazione e questa frase sono entrambe false = Non è una negazione

Answer: "Non tutti gli studenti hanno superato la verifica" (almeno uno non l'ha superata). La negazione di "tutti" è "non tutti", non "nessuno".

NOT insieme ad AND

P = "Sta piovendo" è vera e Q = "Fa freddo" è falsa. Calcola $\neg P \land Q$ e $\neg(P \land Q)$.

NOT agisce solo su ciò che lo segue subito: In $\neg P \land Q$ viene negata solo P: $\neg P = \neg V = F$ = ¬P = F

Completa la prima espressione: $\neg P \land Q = F \land F = F$ = ¬P ∧ Q = F

Seconda espressione: prima la parentesi: $P \land Q = V \land F = F$ = P ∧ Q = F

Ora nega tutta la parentesi: $\neg(P \land Q) = \neg F = V$ = ¬(P ∧ Q) = V

Answer: $\neg P \land Q$ è falsa, ma $\neg(P \land Q)$ è vera. Sono le parentesi a decidere su che cosa agisce NOT!

Un primo sguardo a De Morgan

Verifica che $\neg(P \vee Q)$ e $\neg P \land \neg Q$ hanno lo stesso valore per ogni scelta di P e Q.

Lato sinistro per P = V, Q = F: $\neg(V \vee F) = \neg V = F$ = F

Lato destro per P = V, Q = F: $\neg V \land \neg F = F \land V = F$ = F, uguale

Entrambi i lati per P = F, Q = F: $\neg(F \vee F) = \neg F = V$ e $\neg F \land \neg F = V \land V = V$ = V, uguale

I due casi rimasti: P = V, Q = V: $\neg V = F$ e $F \land F = F$. P = F, Q = V: $\neg V = F$ e $V \land F = F$ = F, uguale

Answer: I due lati coincidono sempre, quindi $\neg(P \vee Q) = \neg P \land \neg Q$. "Non voglio né tè né caffè" significa "Non voglio il tè E non voglio il caffè". È una delle leggi di De Morgan.

Mistake: Negare "Tutti i gatti sono neri" con "Nessun gatto è nero"

Why: Le due frasi possono essere false contemporaneamente (alcuni gatti sono neri, altri no), quindi la seconda non è la negazione della prima.

Correct: La negazione è "Non tutti i gatti sono neri", cioè "Almeno un gatto non è nero".

Mistake: Scrivere la negazione di $x > 5$ come $x < 5$

Why: Si dimentica il caso $x = 5$. Per $x = 5$ sia $x > 5$ sia $x < 5$ sono false.

Correct: $\neg(x > 5)$ è $x \leq 5$: tutti i numeri che non sono maggiori di 5.

Mistake: Portare NOT dentro una parentesi senza cambiare AND/OR: $\neg(P \land Q) = \neg P \land \neg Q$

Why: Provalo con P = V, Q = F: $\neg(V \land F) = \neg F = V$, ma $\neg V \land \neg F = F \land V = F$. I due lati sono diversi.

Correct: Quando NOT entra nella parentesi, AND diventa OR: $\neg(P \land Q) = \neg P \vee \neg Q$.

Mistake: Pensare che "non non" sia ancora una negazione

Why: In alcune lingue una doppia negazione nel parlato è solo una negazione rafforzata (in spagnolo "No veo nada", in italiano "Non vedo niente"). In logica, invece, ogni NOT conta.

Correct: Due NOT si annullano: $\neg(\neg P) = P$. "Non è vero che il negozio non sia aperto" significa che il negozio è aperto.

Programmazione e app

I programmatori scrivono ! davanti a una condizione perché un codice venga eseguito solo quando quella condizione è falsa.

Un'app per i compiti usa la regola !fatto: mostra un promemoria solo se i compiti NON sono fatti.

Porte NOT in elettronica

Una porta NOT (detta anche invertitore) ha un ingresso e un'uscita. Dà sempre il segnale opposto.

Una luce notturna usa un sensore di luce che invia 1 quando c'è luce. Dopo una porta NOT, la lampada riceve 1 solo quando è buio.

Regole dei negozi e filtri di ricerca

Regole e ricerche spesso escludono qualcosa con AND NOT: il risultato deve corrispondere a una cosa, ma non a un'altra.

Una ricerca pizza AND NOT ananas mostra le pagine sulla pizza, tranne quelle che parlano di ananas.

Q: Perché NOT ha un solo input mentre AND e OR ne hanno due?

A: AND e OR collegano due proposizioni, mentre NOT cambia semplicemente il valore di verità di una sola proposizione. Per questo la tavola di verità di NOT ha solo due righe: P = V e P = F.

Q: "Non essere felice" è lo stesso che "essere triste"?

A: No. "Non essere felice" è la negazione e comprende tutti gli stati diversi dall'essere felice: triste, annoiato, tranquillo e così via. "Triste" è solo una di queste possibilità. Una negazione è vera esattamente quando la proposizione di partenza è falsa.

Q: Qual è la negazione di "$x > 5$"?

A: È $x \leq 5$. Ogni numero o è maggiore di 5 o non lo è, e "non maggiore di 5" comprende anche il 5 stesso.

Q: Che cosa sono le leggi di De Morgan?

A: Ti dicono come NOT entra in una parentesi: $\neg(P \land Q) = \neg P \vee \neg Q$ e $\neg(P \vee Q) = \neg P \land \neg Q$. AND diventa OR e OR diventa AND. Le verificherai riga per riga nella lezione sulle tavole di verità.