Inversa e contraria

Ogni **enunciato condizionale** (implicazione) ha la forma $p \to q$: **se** $p$ (l'ipotesi), **allora** $q$ (la tesi). A partire da esso possiamo costruire due nuovi enunciati: - L'**inversa** scambia le due parti: $q \to p$ (se $q$, allora $p$). - La **contraria** nega entrambe le parti: $\neg p \to \neg q$ (se non $p$, allora non $q$). Attenzione ai nomi: l'inversa ($q \to p$) in inglese si chiama converse, la contraria ($\neg p \to \neg q$) si chiama inverse. **Esempio:** Originale: Se un numero è divisibile per 4, allora è pari. - Inversa: Se un numero è pari, allora è divisibile per 4. (Falsa: 6 è pari, ma $6 \div 4 = 1{,}5$.) - Contraria: Se un numero non è divisibile per 4, allora non è pari. (Falsa: di nuovo 6.) La tavola di verità mostra che l'inversa e la contraria **non** coincidono sempre con l'originale, ma coincidono sempre **tra loro**: $$\begin{array}{cc|c|c|c} p & q & p \to q & q \to p & \neg p \to \neg q \\ \hline \text{V} & \text{V} & \text{V} & \text{V} & \text{V} \\ \text{V} & \text{F} & \text{F} & \text{V} & \text{V} \\ \text{F} & \text{V} & \text{V} & \text{F} & \text{F} \\ \text{F} & \text{F} & \text{V} & \text{V} & \text{V} \end{array}$$ Le righe si possono elencare in qualsiasi ordine: la tavola interattiva qui sotto inizia con la riga in cui $p$ e $q$ sono entrambi falsi, e ogni riga conserva gli stessi valori. Per dimostrare che un enunciato è falso basta un solo **controesempio**. Quando un enunciato e la sua inversa sono **entrambi** veri, li uniamo in un **bicondizionale** (equivalenza): $p \leftrightarrow q$, che si legge $p$ **se e solo se** $q$.

Costruire l'inversa

Originale: Se una figura è un quadrato, allora ha quattro lati. Scrivi l'inversa e stabilisci se è vera.

Individuare ipotesi e tesi: $p$: una figura è un quadrato. $q$: ha quattro lati. = Originale: $p \to q$ (vero)

Scambiare le due parti: $q \to p$: Se una figura ha quattro lati, allora è un quadrato. = Questa è l'inversa

Cercare un controesempio: Un rettangolo di 5 cm per 3 cm ha quattro lati, ma non è un quadrato. = L'inversa è falsa

Answer: Inversa: Se una figura ha quattro lati, allora è un quadrato. È falsa, perché un rettangolo di 5 cm per 3 cm è un controesempio.

Costruire la contraria

Originale: Se un numero è divisibile per 4, allora è pari. Scrivi la contraria e verificala con il numero 6.

Negare l'ipotesi: non $p$: un numero non è divisibile per 4 = $\neg p$

Negare la tesi: non $q$: non è pari = $\neg q$

Scrivere la contraria: Se un numero non è divisibile per 4, allora non è pari. = $\neg p \to \neg q$

Verificare con 6: $6 \div 4 = 1{,}5$, quindi 6 non è divisibile per 4, ma $6 \div 2 = 3$, quindi 6 è pari. = La contraria è falsa

Answer: Contraria: Se un numero non è divisibile per 4, allora non è pari. È falsa: 6 non è divisibile per 4, eppure è pari.

Un controesempio per entrambe

Originale: Se $x = 3$, allora $x^2 = 9$. Trova il valore di verità dell'originale, dell'inversa e della contraria.

Controllare l'originale: Se $x = 3$, allora $x^2 = 3 \times 3 = 9$. = Originale: vero

Scrivere e verificare l'inversa: Se $x^2 = 9$, allora $x = 3$. Prova $x = -3$: $(-3)^2 = 9$, ma $-3 \neq 3$. = Inversa: falsa

Scrivere e verificare la contraria: Se $x \neq 3$, allora $x^2 \neq 9$. Prova $x = -3$: $-3 \neq 3$, ma $(-3)^2 = 9$. = Contraria: falsa

Confrontare: Lo stesso numero $-3$ fa cadere l'inversa e la contraria. = Inversa e contraria concordano

Answer: L'originale è vero, mentre l'inversa e la contraria sono entrambe false. Il controesempio $x = -3$ vale per tutte e due.

Quando valgono entrambi i sensi

Originale: Se un angolo misura $90^\circ$, allora è un angolo retto. Puoi scriverlo come bicondizionale?

Controllare l'originale: Ogni angolo di $90^\circ$ è un angolo retto per definizione. = Originale: vero

Scrivere l'inversa: Se un angolo è retto, allora misura $90^\circ$. = Inversa: $q \to p$

Controllare l'inversa: Ogni angolo retto misura esattamente $90^\circ$. Non esiste alcun controesempio. = Inversa: vera

Unire i due sensi: $p \to q$ e $q \to p$ sono entrambe vere, quindi $p \leftrightarrow q$. = Bicondizionale

Answer: Sì: Un angolo è retto se e solo se misura $90^\circ$.

Originale falso, inversa vera

Originale: Se un numero è multiplo di 3, allora è multiplo di 6. Trova i valori di verità dell'originale, dell'inversa e della contraria.

Verificare l'originale: 9 è multiplo di 3, ma $9 \div 6 = 1{,}5$. = Originale: falso

Verificare l'inversa: Se un numero è multiplo di 6, allora è multiplo di 3. Ogni multiplo di 6 è $6k = 3 \times 2k$. = Inversa: vera

Verificare la contraria: Se un numero non è multiplo di 3, allora non è multiplo di 6. Un multiplo di 6 sarebbe anche multiplo di 3, quindi non viene mai violata. = Contraria: vera

Trarre una conclusione: Il valore di verità dell'originale non dice nulla sull'inversa. = Ogni enunciato va controllato

Answer: L'originale è falso (controesempio 9), mentre l'inversa e la contraria sono entrambe vere.

Confondere un enunciato con la sua inversa è uno degli errori di ragionamento più comuni: - **Matematica**: che un teorema sia vero non rende vera la sua inversa. Il teorema di Pitagora e il suo inverso si dimostrano separatamente. - **Definizioni**: una buona definizione è un bicondizionale. Deve funzionare in entrambi i sensi. - **Pubblicità**: se prendi l'abbonamento premium, hai un servizio più veloce. Questo non significa che chiunque abbia un servizio veloce abbia preso l'abbonamento premium. - **Programmazione**: se x è divisibile per 6, allora x è pari. Un programma non deve supporre il verso opposto: 8 è pari ma non è divisibile per 6. - **Vita quotidiana**: se piove, la strada è bagnata. Una strada bagnata non dimostra che abbia piovuto, forse è passata una spazzatrice. Smascherare un'inversa falsa con un controesempio è un'abilità che userai in ogni dimostrazione.

Mistake: Pensare che l'inversa sia vera perché l'originale è vero

Why: Scambiando ipotesi e tesi si crea un nuovo enunciato con un proprio valore di verità. Se $x = 3$, allora $x^2 = 9$ è vero, ma se $x^2 = 9$, allora $x = 3$ è falso.

Correct: Verifica sempre l'inversa da sola e cerca un controesempio, qui $x = -3$.

Mistake: Confondere l'inversa con la contraria

Why: Entrambe sono costruite con le stesse due parti, quindi si somigliano. L'inversa cambia l'ordine, la contraria aggiunge due negazioni.

Correct: Inversa = scambiare: $q \to p$. Contraria = negare entrambe: $\neg p \to \neg q$.

Mistake: Negare una sola parte quando si costruisce la contraria

Why: Scrivere $\neg p \to q$ (se non è un quadrato, allora ha quattro lati) non dà la contraria. È un enunciato completamente diverso.

Correct: Metti non davanti all'ipotesi **e** davanti alla tesi: se non è un quadrato, allora non ha quattro lati.

Mistake: Usare un esempio che funziona come prova che l'inversa è vera

Why: Per se $x^2 = 9$, allora $x = 3$, l'esempio $x = 3$ funziona, ma $x = -3$ no. Gli esempi che funzionano non dimostrano mai un enunciato generale.

Correct: Un controesempio dimostra che un enunciato è falso. Per dimostrare che è vero serve un ragionamento che copra tutti i casi.

Promozioni nei negozi

I negozi formulano le regole come implicazioni. I clienti spesso le leggono al contrario, ed è proprio l'inversa.

Regola: Se il tuo ordine supera 50 €, allora la spedizione è gratuita. Inversa: Se la spedizione è gratuita, allora il tuo ordine superava 50 €. Anche un codice socio può dare la spedizione gratuita, quindi l'inversa può essere falsa.

Controllare le regole nei programmi

I programmatori scrivono condizioni come se n è divisibile per 6, allora n è pari. Rovesciare una condizione del genere è un errore classico.

Un programma accetta solo numeri divisibili per 6 e li segna come pari. Un programmatore rovescia il controllo e accetta ogni numero pari come divisibile per 6. Il numero 8 passa per errore.

Buone definizioni

I dizionari e i libri di matematica scrivono definizioni che funzionano in entrambi i sensi. Una definizione è un bicondizionale, un enunciato se e solo se.

Un triangolo è rettangolo se e solo se ha un angolo di $90^\circ$. Ogni triangolo rettangolo ha un angolo di $90^\circ$, e ogni triangolo con un angolo di $90^\circ$ è rettangolo.

Un'implicazione ha la forma $p \to q$: se $p$, allora $q$

L'inversa scambia le parti: $q \to p$

La contraria nega entrambe le parti: $\neg p \to \neg q$

Un enunciato vero può avere un'inversa e una contraria false, per esempio se $x = 3$, allora $x^2 = 9$

L'inversa e la contraria hanno sempre lo stesso valore di verità, e basta un controesempio per dimostrare che un enunciato è falso

Quando un enunciato e la sua inversa sono entrambi veri, formano un bicondizionale $p \leftrightarrow q$ (se e solo se)

Q: Se l'originale è vero, l'inversa può essere vera?

A: A volte. Se un angolo misura $90^\circ$, allora è retto, e anche l'inversa è vera. Però devi sempre verificarla a parte, non segue mai automaticamente.

Q: Perché l'inversa e la contraria hanno sempre lo stesso valore di verità?

A: Guarda la tavola di verità: le colonne di $q \to p$ e $\neg p \to \neg q$ sono identiche in tutte e quattro le righe. Nella prossima lezione vedrai perché: ciascuna è la contronominale dell'altra.

Q: Che cosa significa se e solo se?

A: Significa che valgono entrambi i sensi: $p \to q$ e $q \to p$. Si scrive $p \leftrightarrow q$. Per esempio, $x + 4 = 10$ se e solo se $x = 6$.

Q: Quanti controesempi mi servono?

A: Uno solo. Un unico caso in cui l'ipotesi è vera e la tesi è falsa dimostra che l'intero enunciato è falso.

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Inversa e contraria

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Logica e Insiemi / Ragionamento logico

Inversa e contraria

Impara a costruire l'inversa e la contraria di un'implicazione e scopri perché un enunciato vero può avere un'inversa falsa.

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