Il metodo della griglia: di chi è ogni animale?

Lena, Marco e Nina hanno ciascuno un animale diverso: un gatto, un cane o un pappagallo. Indizio 1: Marco è allergico agli animali con il pelo. Indizio 2: Lena non ha il cane. Chi ha quale animale?

Disegna una griglia $3 \times 3$: Righe: Lena, Marco, Nina. Colonne: gatto, cane, pappagallo. Sono $3 \times 3 = 9$ caselle, e ogni riga e ogni colonna avrà esattamente un ✓. = Una griglia vuota di 9 caselle

Usa l'indizio 1: Gatti e cani hanno il pelo, quindi scrivi ✗ nelle caselle gatto e cane di Marco. Nella sua riga resta solo il pappagallo. = Marco ✓ pappagallo

Completa la colonna del pappagallo: Solo una persona ha il pappagallo, quindi scrivi ✗ per Lena e per Nina nella colonna del pappagallo. = Lena e Nina: ✗ pappagallo

Usa l'indizio 2: Ora Lena ha ✗ per il cane e ✗ per il pappagallo, quindi nella sua riga resta solo il gatto. = Lena ✓ gatto

Riempi l'ultima casella: Nella riga di Nina resta solo il cane, e la colonna del cane non ha ancora nessun ✓. = Nina ✓ cane

Answer: Lena ha il gatto, Marco il pappagallo e Nina il cane. Verifica: il pappagallo non ha pelo, e Lena non ha il cane, quindi entrambi gli indizi sono rispettati.

Cavalieri e furfanti

Su un'isola ogni abitante è o un **cavaliere**, che dice sempre la verità, o un **furfante**, che mente sempre. Incontri A e B. A dice: "Siamo tutti e due furfanti." Che cosa sono A e B?

Caso 1: supponi che A sia un cavaliere: Allora la frase di A è vera, quindi A è un furfante. Ma avevamo supposto che A fosse un cavaliere. = Contraddizione, quindi A non è un cavaliere

Caso 2: A è un furfante: Allora la frase di A è falsa, quindi non è vero che sono entrambi furfanti. = Almeno uno dei due è un cavaliere

Trova B: A è un furfante, quindi il cavaliere deve essere B. = B è un cavaliere

Verifica la risposta: A, un furfante, ha detto una cosa falsa (non sono entrambi furfanti). È proprio così che parla un furfante. = Tutto torna

Answer: A è un furfante e B è un cavaliere. L'osservazione chiave: un cavaliere non può mai dire "Sono un furfante", per questo il primo caso è crollato subito.

In fila

Ana, Ben, Cleo, Dan ed Eva sono in fila, nei posti da $1$ (davanti) a $5$ (dietro). Indizio 1: Cleo è al posto $3$. Indizio 2: Dan è subito dietro a Ben. Indizio 3: Eva non è a nessuna delle due estremità. Indizio 4: Ana è da qualche parte davanti a Eva. In quale posto è Dan?

Metti prima la persona con il posto fisso: Cleo è al posto $3$, quindi restano i posti $1$, $2$, $4$ e $5$. = Cleo: $3$

Elenca le possibilità di Eva: Eva non è al $1$ né al $5$, e il $3$ è occupato. = Eva è al $2$ o al $4$

Caso: Eva al $4$: Restano $1$, $2$ e $5$. Ben e Dan hanno bisogno di due posti vicini, quindi $1$ e $2$. Ana prende il $5$, dietro a Eva, contro l'indizio 4. = Contraddizione

Caso: Eva al $2$: Ana deve stare davanti a lei, quindi Ana è al $1$. Ben e Dan prendono il $4$ e il $5$, con Dan subito dietro a Ben. = Ben: $4$, Dan: $5$

Answer: L'ordine è Ana, Eva, Cleo, Ben, Dan, quindi Dan è al posto $5$. Tutti e quattro gli indizi sono rispettati e l'altro caso è fallito, quindi questa è l'unica soluzione.

Un rompicapo con i numeri

Sono un numero di due cifre. La somma delle mie cifre è $11$, e la mia cifra delle decine supera di $3$ la cifra delle unità. Che numero sono?

Elenca tutti i numeri di due cifre con somma delle cifre $11$: $29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92$ = 8 candidati

Prova il secondo indizio su ogni candidato: Cifra delle decine meno cifra delle unità: $2 - 9 = -7$, $3 - 8 = -5$, $4 - 7 = -3$, $5 - 6 = -1$, $6 - 5 = 1$, $7 - 4 = 3$, $8 - 3 = 5$, $9 - 2 = 7$ = Solo $74$ dà $3$

Verifica con l'algebra: Chiama $u$ la cifra delle unità; la cifra delle decine è $u + 3$. Allora $u + (u + 3) = 11$, quindi $2u = 8$ e $u = 4$. = Decine $7$, unità $4$

Answer: Il numero è $74$: $7 + 4 = 11$ e $7 - 4 = 3$. Elencare i candidati ed escluderli è un metodo sicuro quando la lista è corta.

Il lupo, la capra e il cavolo

Un contadino deve portare un lupo, una capra e un cavolo dall'altra parte di un fiume. La barca porta il contadino e solo uno dei tre. Se restano soli insieme, il lupo mangia la capra e la capra mangia il cavolo. Qual è il minor numero di traversate? (Ogni viaggio di andata o di ritorno conta come una traversata.)

Trova l'unica prima mossa sicura: Se porta il lupo, la capra resta con il cavolo. Se porta il cavolo, il lupo resta con la capra. Solo la capra può partire per prima. = Traversata 1: la capra passa

Tornare e portare il lupo: Traversata 2: il contadino torna da solo. Traversata 3: il contadino porta il lupo. = Lupo e capra sull'altra riva

La mossa chiave: riportare indietro la capra: Il lupo non può restare solo con la capra, quindi alla traversata 4 il contadino riporta indietro la capra. = Traversata 4: la capra torna

Portare il cavolo: Traversata 5: il contadino porta il cavolo (il lupo non mangia cavoli). Traversata 6: il contadino torna da solo. = Lupo e cavolo sull'altra riva

Finire: Traversata 7: il contadino porta la capra. = Tutti sono passati

Answer: Il minor numero è $7$ traversate. Tre carichi e due ritorni farebbero $5$, ma la capra non può mai restare con il lupo o con il cavolo, quindi deve tornare indietro una volta, e questo aggiunge altre due traversate.

Mistake: Scrivere un ✓ nella griglia senza cancellare il resto della sua riga e della sua colonna

Why: Ogni persona ha esattamente un elemento e ogni elemento ha esattamente un proprietario. Le ✗ mancanti nascondono la deduzione successiva.

Correct: Ogni volta che scrivi un ✓, scrivi subito ✗ in tutte le altre caselle di quella riga e di quella colonna.

Mistake: Leggere "subito dietro" come "da qualche parte dietro"

Why: "Dan è subito dietro a Ben" significa due posti vicini, mentre "Ana è da qualche parte davanti a Eva" ammette uno spazio in mezzo. Confonderli dà soluzioni sbagliate o in più.

Correct: Sottolinea parole come subito, accanto a, da qualche parte, non e solo, e usa ogni indizio esattamente come è scritto.

Mistake: Credere a ciò che dice qualcuno in un rompicapo di cavalieri e furfanti

Why: La frase potrebbe venire da un furfante. Prenderla per vera significa guardare solo uno dei due casi.

Correct: Prova entrambi i casi per ogni persona che parla: cavaliere (la frase è vera) e furfante (la frase è falsa). Tieni solo il caso senza contraddizione.

Mistake: Contare i viaggi di andata e ritorno invece delle traversate

Why: Un viaggio di andata e ritorno sono due traversate. Chi conta la soluzione del lupo, della capra e del cavolo come $3$ andate e ritorni più un ultimo viaggio risponde $4$ invece di $7$.

Correct: Conta separatamente ogni viaggio di andata o di ritorno, e leggi bene che cosa chiede la domanda.

Orari e calendari

Scuole, campionati sportivi e compagnie aeree costruiscono i loro orari risolvendo griglie gigantesche: ogni evento ha bisogno esattamente di uno spazio, e le regole sono gli indizi.

Una scuola con $3$ verifiche e $3$ giorni a disposizione riempie una griglia $3 \times 3$, proprio come quando si abbinano persone e animali.

Trovare una moneta falsa

Il controllo di qualità e il lavoro investigativo usano la stessa idea dei rompicapi logici: dividere le possibilità in gruppi ed escludere interi gruppi in una volta.

Con una bilancia a due piatti, una sola pesata di $3$ monete contro $3$ monete ti dice in quale di tre gruppi c'è una moneta falsa più leggera.

Organizzare un traghetto

I rompicapi di attraversamento sono lavoro vero per chi gestisce traghetti e navette, che contano ogni viaggio perché ogni viaggio costa carburante e tempo.

Una barca che deve tornare a prendere altri passeggeri fa $2$ traversate per ogni andata e ritorno, più un'ultima traversata senza ritorno.

Q: E se trovo due risposte che rispettano tutti gli indizi?

A: Allora o un indizio è stato letto male o il rompicapo è costruito male. Un buon rompicapo ha esattamente una soluzione. Rileggi ogni indizio, soprattutto parole come subito, non e solo, e prova di nuovo entrambe le risposte con ogni indizio.

Q: Da dove comincio?

A: Comincia da un indizio che dà un fatto fisso ("Cleo è al posto $3$") o che esclude più possibilità. I fatti fissi riempiono la griglia più in fretta, e ogni nuovo ✓ crea altre ✗.

Q: L'analisi dei casi non è semplicemente tirare a indovinare?

A: No. Una risposta indovinata si tiene senza controllarla. Nell'analisi dei casi segui ogni caso fino in fondo e scarti ogni caso che porta a una contraddizione. Se resta un solo caso, hai dimostrato che è la risposta.

Q: Perché nessuno sull'isola può dire "Sono un furfante"?

A: Un cavaliere che lo dicesse mentirebbe, e i cavalieri non mentono mai. Un furfante che lo dicesse direbbe la verità, e i furfanti non lo fanno mai. Quindi quella frase è impossibile per tutti gli abitanti dell'isola.