Se n² è pari, allora n è pari

Dimostra: per ogni intero $n$, se $n^2$ è pari, allora $n$ è pari.

Scrivi la contronominale: Nega entrambe le parti e scambiale: "se $n$ non è pari, allora $n^2$ non è pari" = Se $n$ è dispari, allora $n^2$ è dispari

Supponi la tesi negata: Supponi che $n$ sia dispari, quindi $n = 2k + 1$ per un intero $k$ = $n = 2k + 1$

Eleva al quadrato e sviluppa: $n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$ = $n^2 = 4k^2 + 4k + 1$

Scrivilo nella forma 2m + 1: $n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$, e $m = 2k^2 + 2k$ è un intero = $n^2$ è dispari

Concludi: Abbiamo dimostrato "$n$ dispari $\Rightarrow$ $n^2$ dispari", la contronominale dell'enunciato = Se $n^2$ è pari, allora $n$ è pari

Answer: La contronominale (se $n$ è dispari, allora $n^2$ è dispari) è vera, quindi l'enunciato di partenza è vero. c.v.d.

Se n² è dispari, allora n è dispari

Dimostra: per ogni intero $n$, se $n^2$ è dispari, allora $n$ è dispari.

Scrivi la contronominale: Non dispari significa pari, sia per la tesi sia per l'ipotesi = Se $n$ è pari, allora $n^2$ è pari

Supponi la tesi negata: Supponi che $n$ sia pari, quindi $n = 2k$ per un intero $k$ = $n = 2k$

Eleva al quadrato: $n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$ = $n^2 = 2(2k^2)$

Concludi: $2k^2$ è un intero, quindi $n^2$ è pari: siamo arrivati a $\neg p$ = La contronominale è dimostrata

Answer: Poiché "$n$ pari $\Rightarrow$ $n^2$ pari" è vera, anche "$n^2$ dispari $\Rightarrow$ $n$ dispari" è vera. c.v.d.

Se xy è dispari, allora x e y sono dispari

Dimostra: per tutti gli interi $x$ e $y$, se $xy$ è dispari, allora $x$ e $y$ sono entrambi dispari.

Nega la tesi con attenzione: La negazione di "$x$ è dispari e $y$ è dispari" è "$x$ è pari o $y$ è pari" (la e diventa o) = $\neg q$: $x$ è pari o $y$ è pari

Scrivi la contronominale: Se $x$ è pari o $y$ è pari, allora $xy$ non è dispari = Se $x$ o $y$ è pari, allora $xy$ è pari

Caso 1: x è pari: $x = 2k$, quindi $xy = 2ky = 2(ky)$, e $ky$ è un intero = $xy$ è pari

Caso 2: y è pari: $y = 2j$, quindi $xy = 2xj = 2(xj)$, e $xj$ è un intero = $xy$ è pari

Concludi: In entrambi i casi $xy$ è pari, quindi la contronominale vale = Se $xy$ è dispari, allora $x$ e $y$ sono dispari

Answer: Ogni caso della tesi negata porta a $xy$ pari, quindi l'enunciato di partenza è vero. c.v.d.

Se x + y ≥ 10, allora x ≥ 5 o y ≥ 5

Dimostra: per tutti i numeri reali $x$ e $y$, se $x + y \geq 10$, allora $x \geq 5$ o $y \geq 5$.

Nega la tesi: La negazione di "$x \geq 5$ o $y \geq 5$" è "$x < 5$ e $y < 5$" (la o diventa e, $\geq$ diventa $<$) = $\neg q$: $x < 5$ e $y < 5$

Nega l'ipotesi: La negazione di $x + y \geq 10$ è $x + y < 10$ = $\neg p$: $x + y < 10$

Supponi la tesi negata: Supponi $x < 5$ e $y < 5$ = Due disuguaglianze

Somma le disuguaglianze: $x + y < 5 + 5 = 10$ = $x + y < 10$

Concludi: Partendo da $\neg q$ siamo arrivati a $\neg p$ = L'enunciato di partenza è vero

Answer: Se $x < 5$ e $y < 5$, allora $x + y < 10$. Questa è la contronominale, quindi $x + y \geq 10$ obbliga ad avere $x \geq 5$ o $y \geq 5$. c.v.d.

Scegliere il metodo: n² - 6n + 5

Dimostra: per ogni intero $n$, se $n^2 - 6n + 5$ è pari, allora $n$ è dispari.

Prova prima la via diretta: Supporre "$n^2 - 6n + 5$ è pari" dà un'equazione $n^2 - 6n + 5 = 2m$ che dice poco su $n$ = La dimostrazione diretta è scomoda

Scrivi la contronominale: Se $n$ è pari, allora $n^2 - 6n + 5$ è dispari = $\neg q \to \neg p$

Supponi n pari e sostituisci: $n = 2k$, quindi $n^2 - 6n + 5 = 4k^2 - 12k + 5$ = $4k^2 - 12k + 5$

Scrivilo nella forma 2m + 1: $4k^2 - 12k + 5 = 2(2k^2 - 6k + 2) + 1$ = L'espressione è dispari

Verifica con un numero: $k = 5$, $n = 10$: $100 - 60 + 5 = 45 = 2 \cdot 22 + 1$ = Dispari, come previsto

Answer: Se $n$ è pari, allora $n^2 - 6n + 5$ è dispari. Questa è la contronominale, quindi l'enunciato di partenza è vero. c.v.d.

Mistake: Dimostrare l'inversa invece della contronominale: per "se $n^2$ è pari, allora $n$ è pari", supporre $n$ pari e mostrare che $n^2$ è pari

Why: Così si dimostra $q \to p$, l'inversa, che è un altro enunciato. Un'implicazione e la sua inversa non sono equivalenti.

Correct: Nega entrambe le parti e scambiale: supponi $n$ dispari ($\neg q$) e mostra che $n^2$ è dispari ($\neg p$).

Mistake: Negare "$x$ e $y$ sono dispari" come "$x$ e $y$ sono pari"

Why: La tesi è già falsa appena uno solo dei numeri è pari. "Entrambi pari" copre solo una parte dei casi, quindi la dimostrazione sarebbe incompleta.

Correct: "Non ($a$ e $b$)" significa "non $a$ o non $b$": $x$ è pari o $y$ è pari. Poi dimostra ogni caso.

Mistake: Negare $x \geq 5$ come $x \leq 5$

Why: Il valore $x = 5$ soddisfa sia $x \geq 5$ sia $x \leq 5$, quindi $x \leq 5$ non è il contrario di $x \geq 5$.

Correct: La negazione di $x \geq 5$ è $x < 5$, e la negazione di $x > 5$ è $x \leq 5$.

Mistake: Supporre $\neg q$ e poi cercare "una contraddizione qualsiasi"

Why: Così si mescolano due metodi. In una dimostrazione per contronominale non c'è nessuna contraddizione: hai un obiettivo preciso.

Correct: Supponi $\neg q$ e lavora finché arrivi esattamente a $\neg p$. Cercare una contraddizione qualsiasi appartiene alla dimostrazione per assurdo.

Controllo qualità

Gli ispettori usano la contronominale per escludere dei casi senza pesare ogni articolo due volte.

Regola: se un pacco di 4 scatole pesa almeno 2000 g, allora almeno una scatola pesa almeno 500 g. Contronominale: se ogni scatola pesa meno di 500 g, il pacco pesa meno di 2000 g.

Testare il software

I programmatori testano il codice con la contronominale: se il codice è corretto, un test dà il risultato giusto, quindi un risultato sbagliato dimostra un bug.

Una funzione deve calcolare $f(n) = 3n + 2$. Abbiamo dimostrato: se $f(n)$ è dispari, allora $n$ è dispari. Contronominale: un $n$ pari deve dare un risultato pari.

Cifre di controllo nei codici

Molti codici usano una regola semplice per scoprire errori di battitura. La contronominale ti dice quando un codice è sicuramente sbagliato.

Regola: se un codice è valido, allora la somma delle sue cifre è divisibile per 9. Contronominale: se la somma delle cifre non è divisibile per 9, il codice non è valido.

Q: Perché dimostrare la contronominale dimostra l'enunciato di partenza?

A: Perché sono logicamente equivalenti: nella tavola di verità $p \to q$ e $\neg q \to \neg p$ sono false esattamente nella stessa riga ($p$ vera, $q$ falsa) e vere in tutte le altre. Dimostrarne una significa dimostrare l'altra.

Q: Come capisco quando usare la contronominale invece di una dimostrazione diretta?

A: Guarda l'ipotesi. Se è difficile da usare (un enunciato su $n^2$, un prodotto, una somma) mentre la tesi negata ti dà una formula ($n = 2k$, $n = 2k + 1$, $x < 5$ e $y < 5$), la contronominale di solito è più breve.

Q: Qual è la differenza con la dimostrazione per assurdo?

A: Nella dimostrazione per assurdo supponi $p$ e $\neg q$ e cerchi una qualsiasi situazione impossibile. Nella dimostrazione per contronominale supponi solo $\neg q$ e devi arrivare all'enunciato preciso $\neg p$. Ogni dimostrazione per contronominale si può riscrivere per assurdo, ma non vale il viceversa.

Q: Se dimostro la contronominale, è vera anche l'inversa?

A: Non automaticamente. L'inversa $q \to p$ è un enunciato diverso. Per esempio "se $n^2$ è pari, allora $n$ è pari" e la sua inversa "se $n$ è pari, allora $n^2$ è pari" sono vere entrambe, ma ciascuna richiede la propria dimostrazione.