Divisibilità per 4 con le ultime due cifre

$7316$ è divisibile per $4$?

Separa le ultime due cifre: $7316 = 73 \times 100 + 16$ = Ultime due cifre: $16$

Ricorda perché le centinaia non contano: $100 = 4 \times 25$, quindi $7300$ è un multiplo di $4$ = Decide solo $16$

Controlla le ultime due cifre: $16 = 4 \times 4$ = $16$ è divisibile per $4$

Concludi e verifica: $7316 \div 4 = 1829$ = Divisibile, resto $0$

Answer: Sì. Le ultime due cifre formano 16, che è divisibile per 4, quindi 7316 è divisibile per 4 (7316 : 4 = 1829).

Il controllo rapido con la cifra delle decine

Quali tra $3572$, $6134$ e $9048$ sono divisibili per $4$?

Controlla $3572$: la cifra delle decine $7$ è dispari: Decine dispari: l'ultima cifra deve essere $2$ o $6$. È $2$ = $72 = 4 \times 18$, divisibile

Controlla $6134$: la cifra delle decine $3$ è dispari: Decine dispari: l'ultima cifra deve essere $2$ o $6$. È $4$ = $34 = 4 \times 8 + 2$, non divisibile

Controlla $9048$: la cifra delle decine $4$ è pari: Decine pari: l'ultima cifra deve essere $0$, $4$ o $8$. È $8$ = $48 = 4 \times 12$, divisibile

Answer: 3572 e 9048 sono divisibili per 4. 6134 no: dà resto 2.

Divisibilità per 8 con le ultime tre cifre

$45.136$ è divisibile per $8$?

Separa le ultime tre cifre: $45.136 = 45 \times 1000 + 136$, e $1000 = 8 \times 125$ = Decide solo $136$

Dividi $136$ per $8$ dimezzando tre volte: $136 \to 68 \to 34 \to 17$ = Tre dimezzamenti esatti: $136 = 8 \times 17$

Concludi e verifica: $45.136 \div 8 = 5642$ = Divisibile, resto $0$

Answer: Sì. Le ultime tre cifre formano 136 = 8 × 17, quindi 45.136 è divisibile per 8 (45.136 : 8 = 5642).

Divisibilità per 6: due controlli, devono riuscire entrambi

Quale tra $5742$ e $3754$ è divisibile per $6$?

Controlla $5742$ per il $2$: L'ultima cifra $2$ è pari = Divisibile per $2$

Controlla $5742$ per il $3$: $5 + 7 + 4 + 2 = 18$, e $18 = 3 \times 6$ = Divisibile per $3$, quindi per $6$: $5742 \div 6 = 957$

Controlla $3754$ per il $2$: L'ultima cifra $4$ è pari = Divisibile per $2$

Controlla $3754$ per il $3$: $3 + 7 + 5 + 4 = 19$, e $19 = 3 \times 6 + 1$ = Non divisibile per $3$, quindi non per $6$

Answer: 5742 è divisibile per 6. 3754 è pari ma non supera il controllo del 3, quindi non è divisibile per 6.

Gli anni bisestili

Un anno è bisestile se è divisibile per $4$, tranne gli anni secolari (che finiscono con $00$), che devono essere divisibili per $400$. Quali tra $2024$, $1900$, $2000$ e $2100$ sono bisestili?

Controlla $2024$: Non è un anno secolare. Ultime due cifre $24 = 4 \times 6$ = Bisestile

Controlla $1900$: Anno secolare: $1900 \div 400 = 4{,}75$ = Non bisestile

Controlla $2000$: Anno secolare: $2000 \div 400 = 5$ = Bisestile

Controlla $2100$: Anno secolare: $2100 \div 400 = 5{,}25$ = Non bisestile

Answer: 2024 e 2000 sono bisestili. 1900 e 2100 sono divisibili per 4, ma sono anni secolari non divisibili per 400, quindi non sono bisestili.

Mistake: Guardare solo l'ultima cifra per il $4$: "$2134$ finisce con $4$, quindi è divisibile per $4$"

Why: Il criterio del $4$ legge le ultime **due** cifre, perché $10$ non è un multiplo di $4$. Qui $34 = 4 \times 8 + 2$.

Correct: Controlla le ultime due cifre: $34$ dà resto $2$, quindi $2134$ non è divisibile per $4$.

Mistake: Guardare solo le ultime due cifre per l'$8$: "$3124$ finisce con $24 = 8 \times 3$, quindi è divisibile per $8$"

Why: $100$ non è un multiplo di $8$ ($100 = 8 \times 12 + 4$), quindi la cifra delle centinaia conta ancora. Il criterio dell'$8$ richiede le ultime **tre** cifre.

Correct: Controlla $124$: $124 = 8 \times 15 + 4$. Quindi $3124$ non è divisibile per $8$ (resto $4$).

Mistake: Pensare che divisibile per $2$ e per $4$ significhi divisibile per $8$

Why: $12$ è divisibile per $2$ e per $4$, ma $12 \div 8 = 1{,}5$. Combinare i criteri funziona solo se i due numeri sono primi tra loro, come $2$ e $3$ per il $6$. $2$ e $4$ hanno il fattore comune $2$.

Correct: Per l'$8$ usa il suo criterio (ultime tre cifre). Per il $6$ puoi combinare $2$ e $3$.

Mistake: Controllare solo una parte del criterio del $6$: "$27$ è divisibile per $3$, quindi per $6$"

Why: Il $6$ richiede **entrambi** i controlli. $27$ è dispari, quindi non supera il controllo del $2$. Allo stesso modo $26$ è pari, ma la somma delle sue cifre, $8$, non supera il controllo del $3$.

Correct: Un numero è divisibile per $6$ solo se è pari **e** la somma delle sue cifre è divisibile per $3$, per esempio $5742$.

Gli anni bisestili di un secolo

Il calendario aggiunge un giorno (il 29 febbraio) in ogni anno divisibile per 4, ma salta gli anni secolari non divisibili per 400.

$2024$ è bisestile ($24 = 4 \times 6$), il $2000$ lo era ($2000 = 400 \times 5$), ma il $1900$ no ($1900 \div 400 = 4{,}75$).

Confezioni da sei

Panetterie, allevamenti di galline e produttori di bibite confezionano a gruppi di 6. I criteri del 2 e del 3 dicono loro, prima di contare, se non avanzerà nulla.

$4320$ uova riempiono esattamente scatole da $6$: $4320$ è pari e $4 + 3 + 2 + 0 = 9$ è divisibile per $3$, quindi $4320 \div 6 = 720$ scatole.

Casse da otto

Bottiglie e lattine viaggiano spesso in casse da 8. In un ordine grande, solo le ultime tre cifre decidono se le casse vengono esatte.

$1560$ matite stanno in scatole da $8$: le ultime tre cifre $560 = 8 \times 70$, quindi $1560 \div 8 = 195$ scatole.

Q: Perché le ultime due cifre decidono la divisibilità per 4?

A: Ogni numero intero è un certo numero di centinaia più le sue ultime due cifre: $7316 = 73 \times 100 + 16$. Poiché $100 = 4 \times 25$, ogni numero intero di centinaia è divisibile per $4$. Il resto della divisione per $4$ è quindi lo stesso del numero formato dalle ultime due cifre. La stessa idea con $1000 = 8 \times 125$ dà il criterio dell'$8$.

Q: Se un numero è divisibile per 4, è anche divisibile per 8?

A: Non sempre. $12$, $20$ e $28$ sono divisibili per $4$ ma non per $8$. La catena scende soltanto: ogni multiplo di $8$ è multiplo di $4$ (perché $8 = 4 \times 2$), e ogni multiplo di $4$ è pari.

Q: Posso costruire altri criteri come 6 = 2 e 3?

A: Sì, ma solo con numeri primi tra loro (nessun divisore comune oltre a $1$). $6 = 2 \times 3$ funziona perché $2$ e $3$ sono primi tra loro. $8 = 2 \times 4$ non funziona, perché $2$ e $4$ hanno il divisore comune $2$: $12$ supera entrambi i controlli e non è comunque divisibile per $8$. La lezione Criteri di divisibilità combinati lo mostra per $12$, $15$, $18$ e $36$.

Q: Perché gli anni secolari devono essere divisibili per 400 per essere bisestili?

A: Un anno dura circa $365{,}2422$ giorni. Un giorno in più ogni $4$ anni dà in media $365{,}25$ giorni, un po' troppo. Saltando $3$ giorni in più ogni $400$ anni ($1700$, $1800$, $1900$, ma non $2000$) restano $97$ anni bisestili in $400$ anni: $365 + \frac{97}{400} = 365{,}2425$ giorni, molto vicino al valore reale.