Crescita o decrescita?

Per ogni funzione, stabilisci se mostra crescita o decrescita e trova la variazione percentuale per periodo: $f(t) = 300 \cdot 0{,}92^t$ e $g(t) = 50 \cdot 1{,}03^t$.

Guarda la base di $f$: $b = 0{,}92$ e $0 < 0{,}92 < 1$ = $f$ è una decrescita

Trova il tasso di decrescita di $f$: $r = 1 - b = 1 - 0{,}92 = 0{,}08$ = $f$ perde l'$8\%$ per periodo

Guarda la base di $g$: $b = 1{,}03 > 1$, quindi $r = 1{,}03 - 1 = 0{,}03$ = $g$ cresce del $3\%$ per periodo

Leggi i valori iniziali: $f(0) = 300 \cdot 0{,}92^0 = 300$ e $g(0) = 50$ = Valori iniziali $300$ e $50$

Answer: $f$ è una **decrescita** esponenziale dell'$8\%$ per periodo (parte da $300$); $g$ è una **crescita** esponenziale del $3\%$ per periodo (parte da $50$).

Svalutazione di un'auto

Un'auto nuova costa 25000 € e perde il $15\%$ del suo valore ogni anno. Quanto vale dopo 4 anni? Arrotonda al centesimo.

Individuare i valori: $a = 25000$, $r = 0{,}15$, $t = 4$ = Valori individuati

Calcolare il fattore di decadimento: $1 - r = 1 - 0{,}15 = 0{,}85$ = $b = 0{,}85$

Scrivere la formula: $V(4) = 25000 \cdot 0{,}85^4$ = Formula impostata

Calcolare la potenza: $0{,}85^4 = 0{,}52200625$ = Rimane circa il $52{,}2\%$ del valore

Moltiplicare e arrotondare: $25000 \cdot 0{,}52200625 = 13050{,}15625 \approx 13050{,}16$ = 13050,16 €

Answer: Dopo 4 anni l'auto vale circa **13050,16 €**, poco più della metà del suo prezzo.

Un farmaco nel corpo

Una paziente prende una dose di 400 mg di un farmaco. Ogni ora il corpo elimina il $20\%$ del farmaco ancora presente. Quanto ne rimane dopo 5 ore, e che percentuale della dose è? Arrotonda a una cifra decimale.

Calcolare il fattore di decadimento: $1 - 0{,}20 = 0{,}8$ = $b = 0{,}8$

Scrivere il modello: $M(t) = 400 \cdot 0{,}8^t$ = Modello scritto

Calcolare la potenza: $0{,}8^5 = 0{,}32768$ = Rimane $0{,}32768$ della dose

Trovare la quantità: $400 \cdot 0{,}32768 = 131{,}072 \approx 131{,}1$ = $131{,}1$ mg

Trasformare il fattore in percentuale: $0{,}32768 \times 100\% = 32{,}768\% \approx 32{,}8\%$ = Rimane il $32{,}8\%$

Answer: Dopo 5 ore rimangono circa **131,1 mg**, cioè circa il **32,8 %** della dose.

Il caffè che si raffredda (modello semplice)

Una tazza di caffè è a $90°C$ in una stanza a $20°C$. In un modello semplice, la differenza tra il caffè e la stanza diminuisce del $10\%$ ogni minuto. Che temperatura ha il caffè dopo 5 minuti? Arrotonda a una cifra decimale.

Trovare la differenza iniziale: $90 - 20 = 70$ = $D_0 = 70$ gradi

Modellare la differenza: $D(t) = 70 \cdot 0{,}9^t$ = Fattore di decadimento $0{,}9$

Calcolare la potenza: $0{,}9^5 = 0{,}59049$ = $0{,}59049$

Trovare la differenza dopo 5 minuti: $70 \cdot 0{,}59049 = 41{,}3343$ = $D(5) \approx 41{,}33$ gradi

Riaggiungere la temperatura della stanza: $20 + 41{,}3343 = 61{,}3343 \approx 61{,}3$ = $61{,}3°C$

Answer: Dopo 5 minuti il caffè è a circa **61,3°C**. Decresce solo la differenza con la stanza, quindi il caffè si avvicina a $20°C$ ma non scende mai sotto.

Diminuzione lineare ed esponenziale a confronto

Un telefono costa 800 €. Modello A: perde 100 € all'anno. Modello B: perde il $20\%$ all'anno. Confronta i valori dopo 3, 6 e 8 anni (arrotonda al centesimo).

Scrivere i due modelli: A: $V = 800 - 100t$; B: $V = 800 \cdot 0{,}8^t$ = Lineare contro esponenziale

Confrontare dopo 3 anni: A: $800 - 300 = 500$; B: $800 \cdot 0{,}512 = 409{,}6$ = B è più basso

Confrontare dopo 6 anni: A: $800 - 600 = 200$; B: $800 \cdot 0{,}262144 = 209{,}7152 \approx 209{,}72$ = Ora A è più basso

Confrontare dopo 8 anni: A: $800 - 800 = 0$; B: $800 \cdot 0{,}16777216 \approx 134{,}22$ = A arriva a zero, B no

Spiegare l'andamento: A toglie sempre la stessa cifra; B toglie il $20\%$ di un valore sempre più piccolo = Le perdite esponenziali diminuiscono nel tempo

Answer: Il modello esponenziale perde di più all'inizio (409,60 € contro 500 € dopo 3 anni), ma le sue perdite annuali diventano sempre più piccole: dopo 6 anni è più alto (209,72 € contro 200 €), e dopo 8 anni il valore lineare è 0 mentre quello esponenziale è ancora di circa 134,22 €.

Mistake: Usare il tasso di decrescita come base: scrivere $25000 \cdot 0{,}15^t$ per una perdita del $15\%$

Why: $0{,}15^t$ conserva solo il $15\%$ ogni anno, cioè una perdita dell'$85\%$ all'anno. La base deve essere la parte che **si conserva**.

Correct: Fattore di decadimento $= 1 - r$. Una diminuzione del $15\%$ dà $25000 \cdot 0{,}85^t$.

Mistake: Togliere la stessa cifra a ogni periodo: 'il 20 % di 1000 è 200, quindi dopo 5 anni il valore è 0'

Why: Questo è un ragionamento lineare. La perdita di ogni anno è il $20\%$ del valore **attuale**, non di quello iniziale, quindi le perdite diminuiscono.

Correct: Moltiplica per $0{,}8$ ogni anno: $1000 \to 800 \to 640 \to 512 \to 409{,}6 \to 327{,}68$. Dopo 5 anni rimangono $327{,}68$.

Mistake: Calcolare $a \cdot 1 - r^t$ invece di $a(1 - r)^t$

Why: L'esponente riguarda tutto il fattore di decadimento. $1 - 0{,}15^2 = 0{,}9775$, ma $(1 - 0{,}15)^2 = 0{,}7225$.

Correct: Calcola prima $1 - r$, poi elevalo alla $t$ e infine moltiplica per $a$.

Mistake: Credere che una grandezza che decresce arrivi prima o poi esattamente a zero

Why: Moltiplicando un numero positivo per un fattore come $0{,}8$ si ottiene sempre un numero positivo.

Correct: Nel modello $y = a(1 - r)^t$ i valori si avvicinano sempre di più a $0$ (asintoto orizzontale $y = 0$) ma non lo raggiungono mai.

Svalutazione di telefoni e portatili

I dispositivi elettronici perdono ogni anno una percentuale del loro valore. I siti dell'usato e le assicurazioni usano modelli di decrescita per stimare quanto vale un dispositivo usato.

Un portatile da 1000 € che perde il $30\%$ all'anno vale $1000 \cdot 0{,}7^2 = 490$ € dopo 2 anni.

Dosaggio dei farmaci

Medici e farmacisti usano la decrescita esponenziale per sapere quanto farmaco rimane nel corpo e quando prendere la dose successiva.

Se il corpo elimina il $15\%$ di un farmaco ogni ora, dopo 4 ore $0{,}85^4 \approx 0{,}522$, quindi rimane circa il $52{,}2\%$ della dose.

Bevande che si raffreddano

Ingegneri e tecnologi alimentari descrivono il raffreddamento con una decrescita: la differenza di temperatura tra un oggetto e la stanza diminuisce di una percentuale ogni minuto.

Caffè a $90°C$ in una stanza a $20°C$: se la differenza di $70$ diminuisce del $10\%$ al minuto, dopo 1 minuto è $63$, quindi il caffè è a $83°C$.

Q: Qual è la differenza tra tasso di decrescita e fattore di decadimento?

A: Il tasso di decrescita $r$ è ciò che perdi in ogni periodo (per esempio $15\% = 0{,}15$). Il fattore di decadimento è ciò che conservi: $1 - r = 0{,}85$. È il fattore di decadimento il numero che va nella base della potenza.

Q: Come distinguo crescita e decrescita guardando solo la formula?

A: Guarda la base $b$ in $y = a \cdot b^t$. Se $b > 1$, la grandezza cresce (per esempio $1{,}04$ significa $+4\%$). Se $0 < b < 1$, decresce (per esempio $0{,}96$ significa $-4\%$).

Q: Una grandezza che decresce arriva mai a zero?

A: Nel modello no. In ogni periodo si conserva una frazione fissa di un numero positivo, quindi il risultato resta positivo. Il grafico si avvicina sempre di più alla retta $y = 0$, il suo asintoto orizzontale. Nella vita reale si smette di contare quando la quantità è troppo piccola per avere importanza.

Q: Che cos'è il tempo di dimezzamento?

A: Il tempo di dimezzamento è il tempo necessario perché rimanga esattamente la metà della grandezza. È un caso particolare della decrescita esponenziale con una sua formula, trattato nella lezione Problemi sul tempo di dimezzamento.