Un'equazione diretta con la stessa base

Risolvi $2^x = 32$.

Scrivi 32 come potenza di 2: $32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5$ = $2^x = 2^5$

Uguaglia gli esponenti: Stessa base $2$, quindi gli esponenti devono coincidere = $x = 5$

Verifica: $2^5 = 32$ ✓ = La soluzione è corretta

Answer: $x = 5$

Un'espressione all'esponente

Risolvi $3^{x+1} = 81$.

Scrivi 81 come potenza di 3: $81 = 3^4$ = $3^{x+1} = 3^4$

Uguaglia gli esponenti: $x + 1 = 4$ = Un'equazione di primo grado

Ricava $x$: $x = 4 - 1$ = $x = 3$

Verifica: $3^{3+1} = 3^4 = 81$ ✓ = La soluzione è corretta

Answer: $x = 3$

Riscrivere entrambi i membri

Risolvi $4^x = 8$.

Trova una base comune: $4 = 2^2$ e $8 = 2^3$, quindi sono entrambi potenze di $2$ = Base comune: $2$

Riscrivi il primo membro: $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$ = $2^{2x} = 2^3$

Uguaglia gli esponenti: $2x = 3$ = $x = \frac{3}{2}$

Verifica: $4^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$ ✓ = La soluzione è corretta

Answer: $x = \frac{3}{2} = 1{,}5$

Una frazione al secondo membro

Risolvi $9^x = \frac{1}{27}$.

Riscrivi il primo membro in base 3: $9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$ = $3^{2x}$

Scrivi la frazione con un esponente negativo: $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$ = $3^{2x} = 3^{-3}$

Uguaglia gli esponenti: $2x = -3$ = $x = -\frac{3}{2}$

Verifica: $9^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{9^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{(\sqrt{9})^3} = \frac{1}{27}$ ✓ = La soluzione è corretta

Answer: $x = -\frac{3}{2} = -1{,}5$

Stimare una soluzione con una tabella

Risolvi $5 \cdot 2^x = 100$. Se la soluzione non è un numero intero, indica i due interi consecutivi tra cui si trova.

Isola la potenza: Dividi entrambi i membri per $5$: $2^x = \frac{100}{5}$ = $2^x = 20$

Cerca una base comune: $20 = 2^2 \cdot 5$ non è una potenza di $2$ = Il metodo della stessa base non funziona

Costruisci una tabella delle potenze di 2: $2^3 = 8$, $2^4 = 16$, $2^5 = 32$ = $16 < 20 < 32$

Individua la soluzione: $2^4 < 2^x < 2^5$, e un esponente più grande dà sempre una potenza di $2$ più grande = $4 < x < 5$

Affina con la calcolatrice: $2^{4{,}3} \approx 19{,}7$ e $2^{4{,}4} \approx 21{,}1$ = $x \approx 4{,}3$

Answer: $x$ è compreso tra $4$ e $5$ (circa $4{,}32$). I logaritmi, un argomento successivo, danno il valore esatto.

Mistake: Dividere per la base: $2^x = 32 \implies x = \frac{32}{2} = 16$

Why: $2^x$ significa $2$ moltiplicato per sé stesso $x$ volte, non $2$ per $x$. La divisione annulla una moltiplicazione, non una potenza.

Correct: Scrivi $32$ come potenza di $2$: $32 = 2^5$, quindi $x = 5$. Verifica: $2^{16} = 65536 \neq 32$.

Mistake: Portare il fattore dentro la base: $3 \cdot 2^x = 48 \implies 6^x = 48$

Why: L'esponente riguarda solo il $2$. Secondo l'ordine delle operazioni, prima si calcola la potenza e poi si moltiplica per $3$.

Correct: Dividi prima: $2^x = 16 = 2^4$, quindi $x = 4$. Verifica: $3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48$ ✓

Mistake: Uguagliare gli esponenti quando le basi sono diverse: $4^x = 2^3 \implies x = 3$

Why: La regola della stessa base funziona solo se le basi sono davvero uguali. $4^3 = 64$, non $8$.

Correct: Prima riscrivi $4^x = 2^{2x}$, poi $2x = 3$, quindi $x = \frac{3}{2}$.

Mistake: Perdere il segno meno: $9^x = \frac{1}{27} \implies x = \frac{3}{2}$

Why: Un numero minore di $1$ richiede un esponente negativo quando la base è maggiore di $1$: $\frac{1}{27} = 3^{-3}$.

Correct: $3^{2x} = 3^{-3}$, quindi $x = -\frac{3}{2}$. Controllo veloce: $9^{\frac{3}{2}} = 27$, che è molto più grande di $\frac{1}{27}$.

Colonie di batteri

Una colonia che raddoppia ogni ora segue $N = N_0 \cdot 2^t$. Risolvendo rispetto a $t$, un laboratorio sa quando la colonia raggiungerà una certa dimensione.

Una colonia di 100 cellule raddoppia ogni ora. Arriva a 800 cellule quando $100 \cdot 2^t = 800$, cioè $2^t = 8 = 2^3$ e $t = 3$ ore.

Piegare la carta

Ogni piegatura raddoppia lo spessore di un foglio di carta, quindi lo spessore dopo $n$ piegature è $T = T_0 \cdot 2^n$.

Un foglio spesso 0,1 mm è spesso 0,8 mm dopo 3 piegature, perché $0{,}1 \cdot 2^3 = 0{,}8$.

Video virali

Le visualizzazioni che raddoppiano ogni giorno crescono come $V = V_0 \cdot 2^d$. Quando l'obiettivo non è una potenza di 2, una tabella di potenze mostra il giorno in cui viene superato.

Un video con 1000 visualizzazioni che raddoppiano ogni giorno ne ha $1000 \cdot 2^5 = 32000$ dopo 5 giorni e $1000 \cdot 2^6 = 64000$ dopo 6 giorni.

Q: E se non riesco a scrivere i due membri con la stessa base?

A: Allora il metodo della stessa base non si può usare. Puoi però stimare: costruisci una tabella di potenze e guarda dove si colloca il secondo membro, per esempio $2^4 = 16 < 20 < 32 = 2^5$, quindi la soluzione di $2^x = 20$ è compresa tra $4$ e $5$. I logaritmi, che vedrai più avanti nel corso, danno la risposta esatta.

Q: Perché la base non può essere 1?

A: Perché $1^x = 1$ per ogni $x$. L'equazione $1^x = 1^5$ è vera per tutti i valori di $x$, quindi non puoi concludere che $x = 5$. Con qualsiasi altra base positiva, esponenti diversi danno sempre risultati diversi.

Q: Un'equazione esponenziale può non avere soluzioni?

A: Sì. Una potenza con base positiva è sempre positiva, quindi $2^x = -4$ e $2^x = 0$ non hanno soluzioni. Prima di iniziare, controlla che la potenza isolata sia uguale a un numero positivo.

Q: Possono esserci due soluzioni?

A: Sì, quando l'esponente contiene $x^2$. Per esempio $2^{x^2} = 2^4$ dà $x^2 = 4$, quindi $x = 2$ oppure $x = -2$. Verifica entrambe nell'equazione di partenza.