Come (1 + 1/n)^n si avvicina a e

Calcola $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ per $n = 1$, $n = 2$ e $n = 12$. Che cosa noti?

Poni $n = 1$: $\left(1 + \frac{1}{1}\right)^1 = 2^1 = 2$ = $2$

Poni $n = 2$: $\left(1 + \frac{1}{2}\right)^2 = 1{,}5^2 = 2{,}25$ = $2{,}25$

Poni $n = 12$ (con la calcolatrice): $\left(1 + \frac{1}{12}\right)^{12} \approx 1{,}083333^{12} \approx 2{,}61304$ = $\approx 2{,}61304$

Confronta con valori di $n$ più grandi: $n = 365$ dà $\approx 2{,}71457$, $n = 1\,000\,000$ dà $\approx 2{,}71828$ = I valori crescono sempre più lentamente

Answer: I risultati $2$, $2{,}25$, $2{,}61304$, ... continuano ad aumentare, ma si stabilizzano vicino a $e \approx 2{,}71828$ e non lo superano mai.

Capitalizzare sempre più spesso

Metti 1000 € su un conto immaginario che paga il 100 % di interesse all'anno. Quanto hai dopo un anno se gli interessi vengono aggiunti ogni anno, ogni mese o ogni giorno?

Usa la formula dell'interesse composto: $A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{n}$ con $P = 1000$, $r = 1$ (100 %), $t = 1$ anno = $A = 1000\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}$

Annuale: $n = 1$: $1000 \cdot 2^1 = 2000$ = 2000 €

Mensile: $n = 12$: $1000 \cdot \left(1 + \frac{1}{12}\right)^{12} \approx 1000 \cdot 2{,}61304$ = circa 2613,04 €

Giornaliera: $n = 365$: $1000 \cdot \left(1 + \frac{1}{365}\right)^{365} \approx 1000 \cdot 2{,}71457$ = circa 2714,57 €

Trova il limite: Aggiungere gli interessi in ogni istante dà $1000 \cdot e \approx 1000 \cdot 2{,}71828$ = circa 2718,28 €

Answer: Annuale: 2000 €, mensile: circa 2613,04 €, giornaliera: circa 2714,57 €. Per quanto spesso si aggiungano gli interessi, l'importo non supera mai circa 2718,28 €, cioè $1000 \cdot e$.

Calcolare la funzione esponenziale naturale

Sia $f(x) = e^x$. Usando $e \approx 2{,}71828$ ed $e^2 \approx 7{,}389$, trova $f(0)$, $f(1)$, $f(-1)$ e $f(2)$. Arrotonda a tre cifre decimali.

Trova $f(0)$: Ogni numero diverso da zero elevato a $0$ vale $1$: $e^0 = 1$ = $f(0) = 1$

Trova $f(1)$: $e^1 = e \approx 2{,}71828$ = $f(1) \approx 2{,}718$

Trova $f(-1)$: $e^{-1} = \frac{1}{e} \approx \frac{1}{2{,}71828} \approx 0{,}36788$ = $f(-1) \approx 0{,}368$

Trova $f(2)$: $e^2 = e \cdot e \approx 2{,}71828 \cdot 2{,}71828 \approx 7{,}389$ = $f(2) \approx 7{,}389$

Answer: $f(0) = 1$, $f(1) \approx 2{,}718$, $f(-1) \approx 0{,}368$, $f(2) \approx 7{,}389$. Ogni passo di $1$ verso destra moltiplica il valore per $e$.

Dove si trova y = e^x?

Confronta $2^x$, $e^x$ e $3^x$ in $x = 2$ e in $x = -1$. Usa $e^2 \approx 7{,}389$ ed $e^{-1} \approx 0{,}368$.

Calcola in $x = 2$: $2^2 = 4$, $e^2 \approx 7{,}389$, $3^2 = 9$ = $4 < 7{,}389 < 9$

Calcola in $x = -1$: $2^{-1} = 0{,}5$, $e^{-1} \approx 0{,}368$, $3^{-1} \approx 0{,}333$ = $0{,}333 < 0{,}368 < 0{,}5$

Calcola in $x = 0$: $2^0 = e^0 = 3^0 = 1$ = Tutte e tre si incontrano in $(0, 1)$

Descrivi il grafico: Poiché $2 < e < 3$, il valore di $e^x$ sta sempre tra gli altri due = La curva di $e^x$ sta tra $2^x$ e $3^x$

Answer: Per $x > 0$, $e^x$ sta sopra $2^x$ e sotto $3^x$; per $x < 0$ l'ordine si inverte, ma $e^x$ resta in mezzo. Tutte e tre le curve intersecano l'asse y in $1$ e hanno l'asse x come asintoto orizzontale.

Un primo sguardo alla capitalizzazione continua

Si investono 1000 € al 12 % annuo per un anno. Confronta la capitalizzazione annuale, mensile, giornaliera e continua. Per quella continua usa $A = Pe^{rt}$ ed $e^{0{,}12} \approx 1{,}1275$.

Annuale: $1000 \cdot 1{,}12 = 1120$ = 1120,00 €

Mensile: $1000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}12}{12}\right)^{12} = 1000 \cdot 1{,}01^{12} \approx 1126{,}83$ = 1126,83 €

Giornaliera: $1000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}12}{365}\right)^{365} \approx 1127{,}47$ = 1127,47 €

Continua: $A = Pe^{rt} = 1000 \cdot e^{0{,}12 \cdot 1} \approx 1000 \cdot 1{,}1275$ = 1127,50 €

Answer: Gli importi sono 1120,00 €, 1126,83 €, 1127,47 € e 1127,50 €. Capitalizzare più spesso aiuta, ma il guadagno diventa minuscolo, e il tetto massimo è $Pe^{rt}$. La lezione Crescita e decrescita continue studia questa formula nel dettaglio.

Mistake: Pensare che $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ cresca senza limite, oppure che si riduca a $1$

Why: Due effetti si contrastano: $1 + \frac{1}{n}$ si avvicina a $1$, ma l'esponente $n$ diventa più grande. Nessuno dei due vince del tutto.

Correct: Verificalo con una tabella: $2$, $2{,}25$, $2{,}613$, $2{,}7146$, $2{,}71828$. I valori aumentano ma si stabilizzano su $e \approx 2{,}71828$.

Mistake: Trattare $e$ come una variabile, come $x$

Why: In algebra le lettere indicano di solito incognite, quindi alcuni studenti cercano di ricavare $e$ o di sostituirla con altri numeri.

Correct: $e$ è una costante fissa, proprio come $\pi$. In $y = e^x$ la variabile è $x$; $e \approx 2{,}71828$ non cambia mai.

Mistake: Calcolare $e^2$ come $2e \approx 5{,}437$

Why: Un esponente indica una moltiplicazione ripetuta, non una moltiplicazione per l'esponente.

Correct: $e^2 = e \cdot e \approx 2{,}71828 \cdot 2{,}71828 \approx 7{,}389$.

Mistake: Scrivere $e = 2{,}71828$ o $e = 2{,}72$ come se fosse esatto

Why: $e$ è irrazionale, quindi nessun numero decimale finito e nessuna frazione è esattamente uguale a $e$.

Correct: Scrivi $e \approx 2{,}71828$ e arrotonda solo alla fine del calcolo, con la precisione richiesta.

Banche e frequenza di capitalizzazione

Le banche indicano un tasso annuo, ma possono aggiungere gli interessi ogni anno, ogni mese o ogni giorno. Più spesso vengono aggiunti, più il risultato si avvicina al limite continuo basato su $e$.

Al 12 % annuo, 1000 € diventano 1120,00 € con capitalizzazione annuale e circa 1127,50 € con capitalizzazione continua ($1000 \cdot e^{0{,}12}$).

Colture cellulari in crescita

Le cellule di una coltura di laboratorio si dividono in ogni momento, non una volta al giorno, quindi i biologi descrivono la loro crescita con la base $e$: $N = N_0 e^{kt}$.

Una coltura di 200 cellule descritta da $N = 200e^{t}$ ($t$ in ore) ha $200e^{1} \approx 544$ cellule dopo 1 ora.

Babbo Natale segreto e 1/e

In un Babbo Natale segreto in cui ognuno pesca un nome da un cappello, la probabilità che nessuno peschi il proprio nome è quasi esattamente $\frac{1}{e}$ appena il gruppo supera poche persone.

In una classe di 25 studenti, la probabilità che nessuno peschi il proprio nome è circa $0{,}368$, quindi in circa il 63 % dei casi bisogna ripetere l'estrazione.

Q: Perché e si chiama base naturale?

A: Perché compare da sola in natura e in finanza ogni volta che qualcosa cresce in modo continuo e non a scatti. In analisi, $e^x$ è l'unica funzione esponenziale la cui pendenza in ogni punto è uguale al suo stesso valore, e questo rende le formule in base $e$ le più semplici.

Q: Chi ha scoperto e?

A: Jakob Bernoulli lo trovò intorno al 1683 studiando l'interesse composto, proprio come in questa lezione. Leonhard Euler in seguito lo chiamò $e$, ne dimostrò molte proprietà e ne calcolò molte cifre decimali. Per questo si chiama numero di Eulero; in Italia è detto anche numero di Nepero, in onore di John Napier, che studiò i logaritmi.

Q: e è la stessa cosa della costante di Eulero?

A: No. Il numero $e \approx 2{,}71828$ è la base della funzione esponenziale naturale. La costante di Eulero-Mascheroni $\gamma \approx 0{,}5772$ è un altro numero, che viene dalla teoria dei numeri. In questo argomento si usa solo $e$.

Q: Come si usa e sulla calcolatrice?

A: La maggior parte delle calcolatrici scientifiche ha un tasto $e^x$. Anche la calcolatrice di questa lezione ha $e$: scrivi e^0.5 per $e^{0{,}5}$, che dà circa $1{,}6487$. Senza il tasto $e$, scrivi 2.71828 al suo posto, per esempio 2.71828^0.5.