Una città che cresce

Una città ha $50000$ abitanti e cresce del $2\%$ all'anno. Stima la sua popolazione dopo 5 anni.

Individua $P_0$, $r$ e $t$: $P_0 = 50000$, $r = 0{,}02$, $t = 5$ = Valori individuati

Trova il fattore di crescita: $1 + r = 1 + 0{,}02 = 1{,}02$ = Fattore di crescita $1{,}02$

Scrivi il modello: $P(t) = 50000 \cdot 1{,}02^t$ = Modello pronto

Calcola per $t = 5$: $P(5) = 50000 \cdot 1{,}02^5 \approx 50000 \cdot 1{,}10408 \approx 55204$ = $P(5) \approx 55204$

Answer: Dopo 5 anni la città avrà circa **55204** abitanti.

Batteri con un tempo di raddoppio

Un campione contiene $300$ batteri. Il loro numero raddoppia ogni $30$ minuti. Quanti batteri ci sono dopo 3 ore?

Scrivi il modello di raddoppio: $P(t) = 300 \cdot 2^{t/30}$, con $t$ in minuti = Modello di raddoppio

Converti il tempo in minuti: $3$ ore $= 180$ minuti = $t = 180$

Conta i raddoppi: $\frac{t}{d} = \frac{180}{30} = 6$ = 6 raddoppi

Calcola: $P(180) = 300 \cdot 2^6 = 300 \cdot 64 = 19200$ = $19200$

Answer: Dopo 3 ore ci sono **19200** batteri.

Stimare il tempo di raddoppio con la regola del 70

Un paese di $8$ milioni di abitanti cresce del $3{,}5\%$ all'anno. Quanto tempo serve all'incirca per arrivare a $16$ milioni? E a $32$ milioni?

Applica la regola del 70: $d \approx \frac{70}{3{,}5} = 20$ anni = Tempo di raddoppio di circa 20 anni

Un raddoppio: $8$ milioni $\to 16$ milioni in circa $20$ anni = Circa 20 anni

Due raddoppi: $16$ milioni $\to 32$ milioni in circa $20 + 20 = 40$ anni = Circa 40 anni

Verifica con il modello esatto: $1{,}035^{20} \approx 1{,}99$, molto vicino a $2$ = La stima è buona

Answer: La popolazione arriva a circa **16 milioni in 20 anni** e a circa **32 milioni in 40 anni**. La regola del 70 è una stima, e qui il tempo di raddoppio esatto è di circa 20,15 anni, quindi la stima sbaglia di meno di un quarto d'anno.

Costruire un modello da due conteggi

Una popolazione di cervi è stata contata a $1200$ nel 2020 e a $1320$ nel 2021. Supponendo la stessa crescita percentuale annua, prevedi la popolazione nel 2025.

Trova il fattore di crescita: $1 + r = \frac{P_1}{P_0} = \frac{1320}{1200} = 1{,}1$ = Fattore di crescita $1{,}1$

Trova il tasso di crescita: $r = 1{,}1 - 1 = 0{,}1 = 10\%$ all'anno = $r = 10\%$

Scrivi il modello (il 2020 è $t = 0$): $P(t) = 1200 \cdot 1{,}1^t$ = Modello pronto

Prevedi il 2025 ($t = 5$): $P(5) = 1200 \cdot 1{,}1^5 = 1200 \cdot 1{,}61051 \approx 1933$ = Circa $1933$ cervi

Answer: Il modello $P(t) = 1200 \cdot 1{,}1^t$ prevede circa **1933 cervi** nel 2025.

Previsione lineare o esponenziale

Un paese aveva $20000$ abitanti nel 2020 e $22000$ nel 2022. Fai una previsione per il 2030 con un modello lineare e con un modello esponenziale.

Modello lineare: stesso aumento ogni anno: $\frac{22000 - 20000}{2} = 1000$ abitanti all'anno = $L(t) = 20000 + 1000t$

Previsione lineare per il 2030 ($t = 10$): $L(10) = 20000 + 1000 \cdot 10 = 30000$ = $30000$

Modello esponenziale: fattore ogni 2 anni: $\frac{22000}{20000} = 1{,}1$ ogni 2 anni, quindi $P(t) = 20000 \cdot 1{,}1^{t/2}$ = $\times 1{,}1$ ogni 2 anni

Previsione esponenziale per il 2030: $P(10) = 20000 \cdot 1{,}1^5 = 20000 \cdot 1{,}61051 \approx 32210$ = $32210$

Confronta: $32210 - 30000 = 2210$ = L'esponenziale dà $2210$ in più

Answer: Previsione lineare: **30000**. Previsione esponenziale: circa **32210**. Entrambi i modelli si adattano ai due conteggi, eppure dopo soli 10 anni differiscono di circa 2210 persone.

Mistake: Usare direttamente la percentuale nel fattore di crescita: $50000 \cdot (1 + 2)^t$

Why: Un tasso del $2\%$ in forma decimale è $0{,}02$. Scrivere $1 + 2 = 3$ significherebbe che la città triplica ogni anno.

Correct: Converti prima la percentuale: $2\% = 0{,}02$, quindi il fattore di crescita è $1{,}02$ e $P(t) = 50000 \cdot 1{,}02^t$.

Mistake: Dimenticare di dividere per il tempo di raddoppio: $300 \cdot 2^{180}$

Why: L'esponente deve contare i raddoppi, non i minuti. In 180 minuti ci sono solo $\frac{180}{30} = 6$ raddoppi.

Correct: Usa $P(t) = P_0 \cdot 2^{t/d}$: $300 \cdot 2^{180/30} = 300 \cdot 2^6 = 19200$.

Mistake: Usare il tasso decimale nella regola del 70: $\frac{70}{0{,}035} = 2000$ anni

Why: La regola del 70 è pensata per il tasso scritto come numero percentuale. Con il decimale il risultato è 100 volte troppo grande.

Correct: Dividi 70 per il numero della percentuale: $\frac{70}{3{,}5} = 20$ anni, e ricorda che è una stima.

Mistake: Dividere per il conteggio più recente quando si trova il tasso: $\frac{120}{1320} \approx 9{,}1\%$

Why: Il tasso di crescita si misura rispetto alla popolazione di partenza, non a quella di arrivo.

Correct: Dividi il nuovo conteggio per quello vecchio: $\frac{1320}{1200} = 1{,}1$, quindi $r = 10\%$.

Pianificazione urbana

Gli urbanisti prevedono quanti abitanti avrà una città per costruire in tempo abbastanza scuole, case e trasporti pubblici.

Una città di $250000$ abitanti che cresce dell'$1\%$ all'anno avrebbe circa $250000 \cdot 1{,}01^{10} \approx 276156$ abitanti dopo 10 anni.

Batteri in laboratorio

I microbiologi usano i tempi di raddoppio per prevedere quando una coltura sarà abbastanza grande da studiare, o quanto velocemente può diffondersi un'infezione prima della cura.

Alcuni batteri raddoppiano circa ogni 20 minuti in condizioni ideali, cioè 3 raddoppi, ossia un fattore $2^3 = 8$, ogni ora.

Il ritorno della fauna selvatica

I gruppi per la tutela della natura contano gli animali ogni anno, costruiscono un modello di crescita dai conteggi e verificano se una specie protetta si sta riprendendo. Sanno anche che una riserva può nutrire solo un numero limitato di animali, la sua capacità portante, quindi più avanti la crescita rallenterà.

Se una mandria passa da $500$ a $540$ animali in un anno, il fattore di crescita è $\frac{540}{500} = 1{,}08$, quindi la mandria cresce dell'$8\%$ all'anno finché il cibo è abbondante.

Q: Perché funziona la regola del 70?

A: Il tempo di raddoppio esatto è $d = \frac{\ln 2}{\ln(1 + r)}$, e per tassi piccoli $\ln(1 + r)$ è molto vicino a $r$. Poiché $\ln 2 \approx 0{,}693$, il tempo di raddoppio è circa $\frac{0{,}693}{r} = \frac{69{,}3}{\text{percentuale}}$, arrotondato a 70. Incontrerai i logaritmi in una lezione successiva; per ora usa la regola come stima veloce.

Q: Quanto è precisa la regola del 70?

A: Per tassi fino a circa il $10\%$ l'errore di solito è inferiore a un anno. Con il $2\%$ dà $35$ anni e il valore esatto è circa $35{,}0$ anni. Con il $7\%$ dà $10$ anni e il valore esatto è circa $10{,}2$ anni. Per tassi grandi l'errore aumenta.

Q: Che cos'è la capacità portante?

A: La capacità portante è la popolazione più grande che un ambiente può sostenere con il suo cibo, la sua acqua e il suo spazio. Quando una popolazione si avvicina a questo limite, la crescita rallenta e la curva si appiattisce a forma di S. Si parla di crescita logistica; in questa lezione la descriviamo soltanto, senza formula.

Q: Devo usare un modello lineare o esponenziale?

A: Guarda i dati. Se la popolazione aumenta più o meno dello stesso **numero** ogni anno, usa un modello lineare. Se aumenta più o meno della stessa **percentuale** ogni anno (i rapporti $\frac{P_1}{P_0}$, $\frac{P_2}{P_1}$ sono circa uguali), usa un modello esponenziale.