Funzioni composte

Impara a combinare due funzioni per creare una nuova funzione tramite composizione.

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Definizione

Una funzione composta viene creata quando una funzione viene applicata al risultato di un'altra funzione. Scriviamo questo come (f∘g)(x)(f \circ g)(x) o f(g(x))f(g(x)), che si legge "f di g di x".
Idea chiave: In f(g(x))f(g(x)), prima valutiamo g(x)g(x), poi usiamo quel risultato come input per ff.
Se f(x)=x2 e g(x)=x+3\text{Se } f(x) = x^2 \text{ e } g(x) = x + 3
Allora (f∘g)(x)=f(g(x))=f(x+3)=(x+3)2\text{Allora } (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 3) = (x + 3)^2
Importante: L'ordine conta! (f∘g)(x)≠(g∘f)(x)(f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x) in generale.

Prova subito

Se f(x)=x+2f(x) = x + 2 e g(x)=3xg(x) = 3x, quanto vale (f∘g)(1)(f \circ g)(1)?

Esempi svolti

Se f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1 e g(x)=x2g(x) = x^2, trova (f∘g)(3)(f \circ g)(3).
1

Capire la notazione

(f∘g)(3)=f(g(3))(f \circ g)(3) = f(g(3)) → Prima trovare g(3)g(3), poi applicare ff
2

Valutare la funzione interna

g(3)=32=9g(3) = 3^2 = 9 → g(3)=9g(3) = 9
3

Sostituire nella funzione esterna

f(g(3))=f(9)=2(9)+1f(g(3)) = f(9) = 2(9) + 1 → f(9)=18+1f(9) = 18 + 1
4

Calcolare il risultato finale

18+1=1918 + 1 = 19 → (f∘g)(3)=19(f \circ g)(3) = 19

Errori comuni

Confondere (f∘g)(x)(f \circ g)(x) con f(x)⋅g(x)f(x) \cdot g(x)

Perché è sbagliato: La notazione con il cerchio ∘\circ significa composizione, non moltiplicazione. (f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x)), che sostituisce g(x)g(x) in ff.

Corretto: (f∘g)(x)(f \circ g)(x) significa applicare gg prima, poi ff. La moltiplicazione f(x)⋅g(x)f(x) \cdot g(x) è un'operazione completamente diversa.

Sbagliare l'ordine

Perché è sbagliato: In (f∘g)(x)(f \circ g)(x), potresti pensare che ff viene prima perché appare per primo.

Corretto: Leggi dall'interno verso l'esterno: (f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x)) significa che gg viene applicato prima, poi ff.

Assumere che (f∘g)(x)=(g∘f)(x)(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)

Perché è sbagliato: A differenza della moltiplicazione, la composizione generalmente NON è commutativa.

Corretto: Verifica sempre entrambi gli ordini. Di solito (f∘g)(x)≠(g∘f)(x)(f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x).

Visuale interattivo

Grafico della funzione

-8-6-4-20240102030xy

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

Tocca un nome per mostrare o nascondere il suo grafico.

Tabella dei valori

x-3-2-1012
(f∘g)(x) = (x + 5)²4916253649
(g∘f)(x) = x² + 51496569

Sandbox interattivo

Graficatore interattivo

-10-50510-10-50510xy

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

Prova questi esempi:

y = (x + 5)^2

y = x^2 + 5

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

16 esercizi
Problema 1 di 16
Facile
Se f(x)=x+2f(x) = x + 2 e g(x)=3xg(x) = 3x, quanto vale (f∘g)(1)(f \circ g)(1)?

Perché è importante

Le funzioni composte sono essenziali per:
  • Modellare processi complessi: Una conversione di temperatura da Celsius a Fahrenheit, poi a Kelvin, è una composizione di due funzioni
  • Informatica: Le chiamate di funzioni annidate come `print(len(str(x)))` sono funzioni composte
  • Economia: Calcolare il costo totale implica comporre la funzione del costo unitario con la funzione della quantità
  • Calcolo: La regola della catena per le derivate si basa sulla comprensione delle funzioni composte
Pensala come seguire le indicazioni del GPS: prima vai al negozio (funzione gg), poi dal negozio a casa (funzione ff). L'ordine è importante!

Applicazioni nel mondo reale

Catene di conversione di unità

Convertire tra unità di misura spesso richiede di comporre più funzioni di conversione.

Esempio:

Per convertire miglia in metri: prima convertire miglia in chilometri con g(x)=1,609xg(x) = 1,609x, poi chilometri in metri con f(x)=1000xf(x) = 1000x. Quindi (f∘g)(x)=1609x(f \circ g)(x) = 1609x metri.

1Provaci tu stesso

Un tachimetro europeo mostra chilometri all'ora. Devi convertire in metri al secondo. La funzione g(x)=1000xg(x) = 1000x converte km in m. La funzione f(x)=x3600f(x) = \frac{x}{3600} converte per ora in per secondo.

Se un'auto viaggia a 90 km/h, qual è la sua velocità in m/s?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola (f∘g)(90)(f \circ g)(90):

Programmazione informatica

Le chiamate di funzioni annidate nella programmazione sono funzioni composte.

Esempio:

In Python, `len(str(n))` conta le cifre di un numero. Qui g(n)=str(n)g(n) = \text{str}(n) converte in stringa, e f(s)=len(s)f(s) = \text{len}(s) conta i caratteri.

2Provaci tu stesso

Un programma usa f(x)=x+10f(x) = x + 10 per aggiungere un bonus, e g(x)=2xg(x) = 2x per raddoppiare un punteggio. La funzione composta f(g(x))f(g(x)) prima raddoppia, poi aggiunge il bonus.

Se il punteggio base di un giocatore è 45, qual è il punteggio finale dopo aver applicato (f∘g)(f \circ g)?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola f(g(45))f(g(45)):

Punti chiave

  • 1Una funzione composta (f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x)) applica gg prima, poi ff al risultato
  • 2L'ordine conta: (f∘g)(x)(f \circ g)(x) di solito NON è uguale a (g∘f)(x)(g \circ f)(x)
  • 3Per valutare, lavora dall'interno verso l'esterno: prima calcola la funzione interna
  • 4La composizione è diversa dalla moltiplicazione: f∘g≠f⋅gf \circ g \neq f \cdot g

Domande frequenti

Pensa "dall'interno verso l'esterno". In f(g(x))f(g(x)), gg è all'interno, quindi viene applicato prima. Poi ff viene applicato a quel risultato. La funzione più vicina a xx viene prima.
Pensa "dall'interno verso l'esterno". In f(g(x))f(g(x)), gg è all'interno, quindi viene applicato prima. Poi ff viene applicato a quel risultato. La funzione più vicina a xx viene prima.
Il codominio (output) della funzione interna deve essere nel dominio (input ammessi) della funzione esterna. Per esempio, se f(x)=xf(x) = \sqrt{x} e g(x)=x−10g(x) = x - 10, allora f(g(5))f(g(5)) non è definito perché g(5)=−5g(5) = -5 e non possiamo calcolare la radice quadrata di un numero negativo.
Sì! Sostituisci semplicemente l'intera espressione di g(x)g(x) ovunque vedi xx in f(x)f(x). Poi semplifica il risultato.

Glossario

Funzione composta
Una funzione formata applicando una funzione al risultato di un'altra, scritta (f∘g)(x)(f \circ g)(x) o f(g(x))f(g(x))
Funzione interna
In (f∘g)(x)(f \circ g)(x), la funzione interna gg viene valutata per prima
Funzione esterna
In (f∘g)(x)(f \circ g)(x), la funzione esterna ff viene applicata al risultato di gg
Composizione di funzioni
L'operazione di combinare due funzioni dove l'output di una diventa l'input dell'altra
Sfida di oggiUn problema, tre tentativi

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