Introduzione ai limiti

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Cosa significa ?
1. a) si avvicina a 3 quando si avvicina a 5
2. b)
3. c) è uguale a 5 quando è uguale a 3
4. d)
Risposta: si avvicina a 3 quando si avvicina a 5
La notazione significa che man mano che si avvicina a 5, il valore di si avvicina a 3. Questo è diverso dal dire .
2.
Trova
Risposta: 10
Per funzioni continue come , il limite è uguale al valore della funzione: .
3.
Trova
Risposta: 5
La sostituzione diretta funziona: .
4.
Che forma ottieni quando provi per sostituzione diretta?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Risposta:
Numeratore: . Denominatore: . Questo dà , una forma indeterminata che richiede fattorizzazione.
5.
Trova
Risposta: 6
1. Fattorizza il numeratore . Cosa ottieni? (x+3)(x-3)
2. Dopo la fattorizzazione, cancella il fattore comune. Quale espressione semplificata rimane? x+3
3. Ora sostituisci nell'espressione semplificata. 6
6.
Trova
Risposta: 2
. Quindi .
7.
Quale affermazione è vera su se ?
1. a)Il limite è uguale a 0
2. b)Il limite è uguale a 4, anche se non è definito
3. c)Il limite è uguale a
4. d)Il limite non esiste
Risposta: Il limite è uguale a 4, anche se non è definito
per . Il limite è , ma non è definito. Questo mostra che i limiti possono esistere dove la funzione non è definita!
8.
Trova
Risposta: 1
1. Fattorizza il numeratore . Quali sono i fattori? (x+1)(x+2)
2. Dopo la fattorizzazione e la cancellazione di , quale espressione rimane? x+2
3. Sostituisci nell'espressione semplificata. 1
9.
Qual è ?
1. a)Non esiste
2. b)
3. c)
4. d)
Risposta:
Quando si avvicina a 0 da destra (lato positivo), diventa sempre più grande: , , ecc. Quindi .
10.
Trova
Risposta: 2.5
. Quando , e , quindi il limite è .
11.
Trova
Risposta: 0.5
1. Qual è la più alta potenza di nell'espressione? x^2
2. Dopo aver diviso tutti i termini per , qual è il nuovo numeratore? 2 - 3/x + 1/x^2
3. Quando , a cosa tendono , e ? 0
4. Quindi il limite si semplifica a 0.5
12.
Per , cosa possiamo dire di ?
1. a)Il limite è uguale a 1
2. b)Il limite è uguale a 0
3. c)Non esiste perché e
4. d)Il limite è uguale a -1
Risposta: Non esiste perché e
Da destra: . Da sinistra: . Poiché i limiti laterali differiscono, il limite bilaterale non esiste.
13.
Trova
Risposta: infinity
Quando il grado del numeratore (3) è maggiore di quello del denominatore (2), il limite è . Il numeratore cresce più velocemente del denominatore.
14.
Trova
Risposta: 0.25
1. Nota che può essere fattorizzato come . Come si chiama questa tecnica? differenza di quadrati
2. Riscrivi l'espressione usando questa fattorizzazione. Cosa si semplifica? sqrt(x) - 2
3. L'espressione semplificata è . Sostituisci . 0.25
15.
Vero o Falso: Se , allora .
1. a)Falso
2. b)Vero
Risposta: Falso
FALSO. Il limite può esistere anche quando non è definito o ha un valore diverso. Per esempio, , ma non è definito.
16.
Trova
Risposta: 5/3
1. Fattorizza il numeratore . (x-5)(x+5)
2. Fattorizza il denominatore . (x-5)(x+1)
3. Dopo aver cancellato , qual è l'espressione semplificata? (x+5)/(x+1)
4. Sostituisci nell'espressione semplificata. 5/3
17.
Se e , trova
Risposta: 15
Per la regola del prodotto dei limiti: .
18.
Trova
Risposta: 5
Per i polinomi, la sostituzione diretta funziona sempre: .