Un logaritmo in base 3 con log

Calcola $\log_3 50$. Arrotonda a 2 cifre decimali.

Scrivi la formula del cambiamento di base con base 10: $\log_3 50 = \dfrac{\log 50}{\log 3}$ = $\dfrac{\log 50}{\log 3}$

Calcola i due logaritmi decimali con la calcolatrice: $\log 50 \approx 1{,}69897$ e $\log 3 \approx 0{,}47712$ = Per ora tieni tutte le cifre

Dividi e arrotonda solo alla fine: $1{,}69897 : 0{,}47712 \approx 3{,}56088$ = $\approx 3{,}56$

Verifica con la definizione: $3^3 = 27$ e $3^4 = 81$, quindi il risultato deve essere tra 3 e 4. Inoltre $3^{3{,}56} \approx 50$ = Plausibile

Answer: $\log_3 50 \approx 3{,}56$

Lo stesso logaritmo con ln

Calcola di nuovo $\log_3 50$, questa volta con i logaritmi naturali. Arrotonda a 2 cifre decimali.

Scrivi la formula con base $e$: $\log_3 50 = \dfrac{\ln 50}{\ln 3}$ = $\dfrac{\ln 50}{\ln 3}$

Calcola i due logaritmi naturali: $\ln 50 \approx 3{,}91202$ e $\ln 3 \approx 1{,}09861$ = Numeri diversi da quelli con log

Dividi e arrotonda: $3{,}91202 : 1{,}09861 \approx 3{,}56088$ = $\approx 3{,}56$

Answer: $\log_3 50 \approx 3{,}56$: numeratore e denominatore cambiano, ma il quoziente è lo stesso. Non importa se usi log o ln.

Un risultato esatto con una base scelta bene

Trova il valore esatto di $\log_4 8$.

Nota che 4 e 8 sono entrambi potenze di 2: $4 = 2^2$ e $8 = 2^3$ = Scegli la nuova base $c = 2$

Applica la formula del cambiamento di base con base 2: $\log_4 8 = \dfrac{\log_2 8}{\log_2 4}$ = $\dfrac{\log_2 8}{\log_2 4}$

Calcola i due logaritmi facili: $\log_2 8 = 3$ e $\log_2 4 = 2$ = $\dfrac{3}{2}$

Verifica: $4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$ = Corretto

Answer: $\log_4 8 = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$ (esatto, senza arrotondare)

Scambiare base e argomento

Sai che $\log_2 5 \approx 2{,}3219$. Trova $\log_5 2$ senza il tasto log. Arrotonda a 2 cifre decimali.

Scrivi entrambi i logaritmi con la formula del cambiamento di base: $\log_2 5 = \dfrac{\log 5}{\log 2}$ e $\log_5 2 = \dfrac{\log 2}{\log 5}$ = Le due frazioni sono una il capovolgimento dell'altra

Usa la regola del reciproco: $\log_5 2 = \dfrac{1}{\log_2 5}$ = $\dfrac{1}{2{,}3219}$

Dividi e arrotonda: $1 : 2{,}3219 \approx 0{,}43068$ = $\approx 0{,}43$

Answer: $\log_5 2 \approx 0{,}43$. Verifica: $2{,}3219 \cdot 0{,}43068 \approx 1$

Tre cifre decimali e una sorpresa

Calcola $\log_8 1000$ con i logaritmi naturali. Arrotonda a 3 cifre decimali, poi confronta con $\log_2 10$.

Scrivi la formula con ln: $\log_8 1000 = \dfrac{\ln 1000}{\ln 8}$ = $\dfrac{\ln 1000}{\ln 8}$

Calcola i due logaritmi naturali: $\ln 1000 \approx 6{,}907755$ e $\ln 8 \approx 2{,}079442$ = Tieni tutte le cifre

Dividi e arrotonda a 3 cifre decimali: $6{,}907755 : 2{,}079442 \approx 3{,}321928$ = $\approx 3{,}322$

Confronta con $\log_2 10$: Anche $\log_2 10 = \dfrac{\ln 10}{\ln 2} \approx 3{,}322$, perché $\ln 1000 = 3 \ln 10$ e $\ln 8 = 3 \ln 2$, quindi i 3 si semplificano = $\log_8 1000 = \log_2 10$

Answer: $\log_8 1000 \approx 3{,}322$, esattamente lo stesso numero di $\log_2 10$

Mistake: Scrivere la frazione capovolta: $\log_3 50 = \dfrac{\log 3}{\log 50} \approx 0{,}28$

Why: La base va al denominatore. Una stima veloce mostra l'errore: $3^3 = 27$ e $3^4 = 81$, quindi $\log_3 50$ deve essere tra 3 e 4, non sotto 1.

Correct: Argomento sopra, base sotto: $\log_3 50 = \dfrac{\log 50}{\log 3} \approx 3{,}56$

Mistake: Trasformare il quoziente di logaritmi nel logaritmo di un quoziente: $\dfrac{\log 50}{\log 3} = \log\dfrac{50}{3} \approx 1{,}22$

Why: La proprietà del quoziente dice che $\log 50 - \log 3 = \log \dfrac{50}{3}$. Riguarda una differenza di logaritmi, non una divisione.

Correct: $\dfrac{\log 50}{\log 3}$ è una semplice divisione tra due numeri: $1{,}69897 : 0{,}47712 \approx 3{,}56$

Mistake: Semplificare la parola log: $\dfrac{\log 50}{\log 3} = \dfrac{50}{3} \approx 16{,}67$

Why: log è una funzione, non un fattore. Non si può semplificare come un numero comune in una frazione.

Correct: Calcola prima $\log 50$ e $\log 3$, poi dividi: $\approx 3{,}56$

Mistake: Arrotondare troppo presto: $\dfrac{1{,}70}{0{,}48} \approx 3{,}54$

Why: Arrotondare $\log 50$ e $\log 3$ prima di dividere cambia la seconda cifra decimale del risultato.

Correct: Dividi con tutte le cifre della calcolatrice (oppure digita log(50)/log(3) in un colpo solo) e arrotonda solo il risultato finale: $3{,}56$

Quando raddoppieranno i tuoi risparmi?

Con l'interesse composto annuo, il denaro viene moltiplicato ogni anno per lo stesso fattore di crescita. Il tempo di raddoppio è un logaritmo che ha come base quel fattore.

Al 3 % annuo il fattore è $1{,}03$, quindi il denaro raddoppia quando $1{,}03^t = 2$, cioè dopo $t = \log_{1{,}03} 2$ anni.

La ricerca binaria in informatica

La ricerca binaria trova un elemento in un elenco ordinato dimezzandolo più e più volte. Il numero di dimezzamenti è un logaritmo in base 2, che i computer calcolano con il cambiamento di base.

Un elenco ordinato di 1024 nomi richiede $\log_2 1024 = 10$ dimezzamenti, perché $2^{10} = 1024$.

Batteri che triplicano ogni ora

Alcune colture di batteri triplicano ogni ora. Il tempo per raggiungere una certa dimensione è un logaritmo in base 3.

Dopo 2 ore la coltura è $3^2 = 9$ volte più grande, dopo 4 ore $3^4 = 81$ volte più grande.

Q: Nella formula devo usare log o ln?

A: Vanno bene entrambi. $\dfrac{\log 50}{\log 3}$ e $\dfrac{\ln 50}{\ln 3}$ valgono tutti e due $\approx 3{,}56$. Usa solo lo stesso tipo di logaritmo sopra e sotto.

Q: La mia calcolatrice ha un tasto $\log_b$. Mi serve ancora la formula?

A: Il tasto ti dà il numero, ma la formula serve ancora per trovare valori esatti come $\log_4 8 = \dfrac{3}{2}$, per semplificare espressioni, per risolvere equazioni a mano e nelle verifiche in cui sono ammessi solo log e ln. Il tasto stesso usa internamente il cambiamento di base.

Q: A quante cifre decimali devo arrotondare?

A: A quante ne chiede il testo. Se non dice nulla, di solito si usano da 2 a 4 cifre decimali (per esempio $\log_3 50 \approx 3{,}56$ o $3{,}5609$). Arrotonda sempre una volta sola, alla fine.

Q: Perché $\log_b a \cdot \log_a b = 1$?

A: Con il cambiamento di base, $\log_b a = \dfrac{\log a}{\log b}$ e $\log_a b = \dfrac{\log b}{\log a}$. Moltiplicando le due frazioni si semplifica tutto e resta $1$. I due logaritmi sono quindi reciproci.