Tracciare la funzione fondamentale

Traccia $y = \log_2 x$ e indica dominio, insieme immagine e asintoto.

Scegli valori di x che siano potenze di 2: $x = \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1, 2, 4, 8$, perché il $\log_2$ di una potenza di 2 si trova facilmente = Sei valori di x comodi

Calcola ogni valore di y: $\log_2 \frac{1}{4} = -2$, $\log_2 \frac{1}{2} = -1$, $\log_2 1 = 0$, $\log_2 2 = 1$, $\log_2 4 = 2$, $\log_2 8 = 3$ = $y = -2, -1, 0, 1, 2, 3$

Segna i punti e traccia l'asintoto: Segna $\left(\frac{1}{4}, -2\right)$, $\left(\frac{1}{2}, -1\right)$, $(1, 0)$, $(2, 1)$, $(4, 2)$, $(8, 3)$ e traccia la retta tratteggiata $x = 0$ = Punti e asintoto $x = 0$

Uniscili con una curva continua: La curva scende ripida vicino all'asse $y$ senza toccarlo e sale lentamente verso destra = Curva crescente che passa per $(1, 0)$

Answer: Dominio $x > 0$, insieme immagine tutti i numeri reali, asintoto verticale $x = 0$, intersezione con l'asse $x$ in $(1, 0)$.

Una base tra 0 e 1

Traccia $y = \log_{1/2} x$ e confrontalo con $y = \log_2 x$.

Usa i punti chiave: $\left(\frac{1}{b}, -1\right) = (2, -1)$, $(1, 0)$, $(b, 1) = \left(\frac{1}{2}, 1\right)$ = $(2, -1)$, $(1, 0)$, $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$

Aggiungi un altro punto: $\left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 4$, quindi $\log_{1/2} 4 = -2$ = $(4, -2)$

Descrivi l'andamento: Quando $x$ aumenta, $y$ diminuisce: $1, 0, -1, -2$ = Il grafico è decrescente

Confronta con la base 2: In $x = 2$: $\log_2 2 = 1$ ma $\log_{1/2} 2 = -1$. Ogni valore di y cambia segno = $\log_{1/2} x = -\log_2 x$

Answer: Il grafico di $y = \log_{1/2} x$ è decrescente, passa per $(1, 0)$, ha l'asintoto $x = 0$ ed è il simmetrico di $y = \log_2 x$ rispetto all'asse $x$.

Ribaltare un grafico esponenziale

Usa punti di $y = 3^x$ per trovare punti di $y = \log_3 x$.

Elenca punti della funzione esponenziale: $3^{-1} = \frac{1}{3}$, $3^0 = 1$, $3^1 = 3$, $3^2 = 9$ = $\left(-1, \frac{1}{3}\right)$, $(0, 1)$, $(1, 3)$, $(2, 9)$

Scambia x e y in ogni punto: La simmetria rispetto a $y = x$ trasforma $(p, q)$ in $(q, p)$ = $\left(\frac{1}{3}, -1\right)$, $(1, 0)$, $(3, 1)$, $(9, 2)$

Scambia anche gli asintoti: $y = 3^x$ ha l'asintoto orizzontale $y = 0$; dopo lo scambio diventa $x = 0$ = Asintoto verticale $x = 0$

Scambia dominio e insieme immagine: $y = 3^x$: dominio tutti i reali, immagine $y > 0$. $y = \log_3 x$: dominio $x > 0$, immagine tutti i reali = Dominio $x > 0$

Answer: $y = \log_3 x$ passa per $\left(\frac{1}{3}, -1\right)$, $(1, 0)$, $(3, 1)$, $(9, 2)$ e ha l'asintoto $x = 0$.

Traslare il grafico

Traccia $y = \log_2(x - 3) + 1$. Indica asintoto, dominio, insieme immagine e intersezione con l'asse $x$.

Leggi h e k: Confronta con $y = \log_b(x - h) + k$: $b = 2$, $h = 3$, $k = 1$ = 3 a destra, 1 in alto

Sposta l'asintoto: $x = 0$ si sposta di 3 unità verso destra = Asintoto $x = 3$, dominio $x > 3$

Sposta i punti chiave: $(1, 0) \to (1 + 3, 0 + 1)$ e $(2, 1) \to (2 + 3, 1 + 1)$ = $(4, 1)$ e $(5, 2)$

Trova l'intersezione con l'asse x: $\log_2(x - 3) + 1 = 0 \Rightarrow \log_2(x - 3) = -1 \Rightarrow x - 3 = \frac{1}{2}$ = $x = 3{,}5$

Answer: Asintoto $x = 3$, dominio $x > 3$, insieme immagine tutti i numeri reali, intersezione con l'asse $x$ in $(3{,}5; 0)$, punti chiave $(4, 1)$ e $(5, 2)$.

Trovare l'equazione dal grafico

Un grafico della forma $y = \log_b(x - h) + k$ ha l'asintoto verticale $x = -1$ e passa per $(0, 2)$ e $(1, 3)$. Trova $b$, $h$ e $k$.

Usa l'asintoto: L'asintoto è $x = h$, quindi $h = -1$ = $h = -1$

Usa il punto chiave (1 + h, k): $1 + h = 1 + (-1) = 0$, quindi il punto $(0, 2)$ dà $k = 2$ = $k = 2$

Usa il punto chiave (b + h, 1 + k): $1 + k = 3$ corrisponde al punto $(1, 3)$, quindi $b + h = 1$ e $b = 1 - (-1)$ = $b = 2$

Scrivi l'equazione e verificala: $y = \log_2(x + 1) + 2$. Verifica: $x = 1$ dà $\log_2 2 + 2 = 3$ = $y = \log_2(x + 1) + 2$

Answer: $y = \log_2(x + 1) + 2$, cioè $b = 2$, $h = -1$, $k = 2$.

Mistake: Traslare $y = \log_2(x - 3)$ di tre unità verso sinistra

Why: Il segno meno fa pensare a uno spostamento verso sinistra, ma l'argomento $x - 3$ deve essere positivo, cioè $x > 3$: tutto il grafico sta a destra di $x = 3$.

Correct: $y = \log_b(x - h)$ trasla il grafico di $h$ unità verso destra. $y = \log_2(x - 3)$ ha l'asintoto $x = 3$.

Mistake: Far toccare o attraversare l'asse $y$ dal grafico

Why: $\log_b 0$ e il logaritmo di un numero negativo non esistono, perché $b^y$ è sempre positivo.

Correct: Il grafico di $y = \log_b x$ si avvicina sempre di più a $x = 0$ ma non lo raggiunge mai. Il dominio è $x > 0$.

Mistake: Pensare che il grafico si fermi a una certa altezza

Why: La curva sale lentamente e sembra piatta, ma non smette mai di salire: $\log_2 1024 = 10$ e $\log_2 1048576 = 20$.

Correct: Un grafico logaritmico non ha asintoto orizzontale. L'insieme immagine è formato da tutti i numeri reali.

Mistake: Mantenere il dominio $x > 0$ dopo una traslazione orizzontale

Why: Il dominio dipende dall'argomento, non da $x$ da solo.

Correct: Per $y = \log_3(x + 5)$ l'argomento $x + 5$ deve essere positivo, quindi il dominio è $x > -5$.

Livello sonoro in decibel

Un fonometro indica $L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$ decibel, dove $\frac{I}{I_0}$ dice quante volte il suono è più intenso del suono più debole che possiamo sentire. Il grafico è una curva logaritmica allungata: molto piatta per intensità grandi.

Un suono $100$ volte più intenso di $I_0$ dà $L = 10 \log 100 = 20$ dB. Un suono altre $10$ volte più intenso dà solo $30$ dB.

Ricerca binaria in informatica

La ricerca binaria trova un nome in una lista ordinata dimezzandola più e più volte. Con $n$ nomi servono circa $\log_2 n$ dimezzamenti, quindi il grafico del numero di passi è il grafico di $y = \log_2 x$.

Una lista di $8$ nomi richiede $\log_2 8 = 3$ dimezzamenti: $8 \to 4 \to 2 \to 1$.

La scala del pH in chimica

L'acidità si misura con $\text{pH} = -\log[H^+]$, dove $[H^+]$ è la concentrazione di ioni idrogeno. Il segno meno ribalta il grafico logaritmico rispetto all'asse $x$, perciò il pH scende quando la concentrazione sale.

Il succo di limone ha $[H^+] = 0{,}01 = 10^{-2}$, quindi $\text{pH} = -\log(10^{-2}) = 2$.

Q: Perché il grafico non tocca mai l'asse $y$?

A: Sull'asse $y$ vale $x = 0$, e $\log_b 0$ richiederebbe $b^y = 0$. Una base positiva elevata a qualsiasi potenza è positiva, quindi nessun $y$ va bene. Vicino a $x = 0$ i valori diventano numeri negativi molto grandi in valore assoluto (per $b > 1$), ed è per questo che la curva precipita lungo l'asintoto.

Q: Il grafico del logaritmo ha un asintoto orizzontale come quello esponenziale?

A: No. Il grafico esponenziale ha l'asintoto orizzontale $y = 0$; dopo la simmetria rispetto a $y = x$ diventa l'asintoto verticale $x = 0$. Il grafico del logaritmo continua a salire (per $b > 1$), solo molto lentamente.

Q: Come sono i grafici di $\log x$ e di $\ln x$?

A: Entrambi hanno una base maggiore di 1 ($10$ ed $e \approx 2{,}718$), quindi entrambi sono crescenti, passano per $(1, 0)$ e hanno l'asintoto $x = 0$. $\ln x$ passa per $(e, 1)$ e $\log x$ per $(10, 1)$, perciò $\ln x$ sale più velocemente.

Q: Come capisco se un grafico logaritmico è crescente o decrescente?

A: Guarda la base. Se $b > 1$ il grafico è crescente; se $0 < b < 1$ è decrescente. Anche un segno meno davanti, come in $y = -\log_2 x$, trasforma un grafico crescente in uno decrescente.