Il pH di una bibita

Una bibita ha una concentrazione di ioni idrogeno $[H^+] = 3{,}2 \times 10^{-4}$ mol/L. Calcola il suo pH, arrotondato a due cifre decimali.

Scrivi la formula: $\text{pH} = -\log[H^+] = -\log(0{,}00032)$ = $\text{pH} = -\log(0{,}00032)$

Calcola il logaritmo decimale: $\log(0{,}00032) \approx -3{,}49485$ = $\log(0{,}00032) \approx -3{,}49485$

Applica il segno meno: $\text{pH} = -(-3{,}49485) = 3{,}49485$ = $3{,}49485$

Arrotonda a due cifre decimali: La terza cifra decimale è $4$, quindi si arrotonda per difetto = $\text{pH} \approx 3{,}49$

Answer: $\text{pH} \approx 3{,}49$ (acido, perché è minore di 7)

Il livello sonoro di un aspirapolvere

Un aspirapolvere produce un suono $5\,000\,000$ di volte più intenso della soglia di udibilità, cioè $\frac{I}{I_0} = 5\,000\,000$. Calcola il suo livello sonoro in decibel, arrotondato a una cifra decimale.

Scrivi la formula: $L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right) = 10 \log(5\,000\,000)$ = $L = 10 \log(5\,000\,000)$

Calcola il logaritmo: $5\,000\,000 = 5 \times 10^6$, quindi $\log(5\,000\,000) = \log 5 + 6 \approx 6{,}69897$ = $\approx 6{,}69897$

Moltiplica per 10: $L \approx 10 \times 6{,}69897 = 66{,}9897$ = $66{,}9897$

Arrotonda a una cifra decimale: La seconda cifra decimale è $8$, quindi si arrotonda per eccesso = $L \approx 67{,}0$ dB

Answer: $L \approx 67{,}0$ dB

Confrontare due terremoti

Un terremoto misura $7{,}3$ sulla scala Richter e un altro misura $5{,}1$. Quante volte è più grande l'ampiezza di quello più forte? Arrotonda all'intero più vicino.

Trova la differenza di magnitudo: $d = 7{,}3 - 5{,}1 = 2{,}2$ = $d = 2{,}2$

Trasforma la differenza in un rapporto: Ogni grado intero della scala moltiplica l'ampiezza per $10$, quindi il rapporto è $10^{d} = 10^{2{,}2}$ = $10^{2{,}2}$

Calcola la potenza: $10^{2{,}2} = 10^2 \times 10^{0{,}2} \approx 100 \times 1{,}58489 = 158{,}489$ = $\approx 158{,}489$

Arrotonda all'intero più vicino: $158{,}489 \approx 158$ = $158$

Answer: L'ampiezza è circa $158$ volte più grande (non $2{,}2$ volte!)

Quando raddoppiano i risparmi?

Depositi 1000 € al $5\,\%$ di interesse composto una volta all'anno. Quanto tempo serve perché il saldo arrivi a 2000 €? Dai $t$ arrotondato a due cifre decimali, poi il numero di anni interi necessari.

Scrivi l'equazione di crescita: $1000 \cdot 1{,}05^t = 2000$ = $1000 \cdot 1{,}05^t = 2000$

Isola la potenza: Dividi entrambi i membri per $1000$ = $1{,}05^t = 2$

Applica ln a entrambi i membri e usa la proprietà della potenza: $\ln(1{,}05^t) = \ln 2 \Rightarrow t \cdot \ln 1{,}05 = \ln 2$ = $t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}05}$

Calcola e arrotonda a due cifre decimali: $t \approx \frac{0{,}693147}{0{,}048790} \approx 14{,}2067$ = $t \approx 14{,}21$ anni

Interpreta: l'interesse viene accreditato una volta all'anno: Dopo 14 anni: $1000 \cdot 1{,}05^{14} \approx 1979{,}93$ (non ancora). Dopo 15 anni: $1000 \cdot 1{,}05^{15} \approx 2078{,}93$ = $15$ anni interi

Answer: $t \approx 14{,}21$ anni, quindi il saldo raggiunge per la prima volta 2000 € dopo $15$ anni interi

L'emivita di un farmaco

Una paziente assume $400$ mg di un farmaco con un'emivita di $6$ ore. Dopo quante ore ne resteranno solo $30$ mg? Arrotonda a una cifra decimale.

Scrivi il modello dell'emivita: $400 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/6} = 30$ = $400 \cdot 0{,}5^{t/6} = 30$

Isola la potenza: $0{,}5^{t/6} = \frac{30}{400} = 0{,}075$ = $0{,}5^{t/6} = 0{,}075$

Applica ln a entrambi i membri: $\frac{t}{6} \cdot \ln 0{,}5 = \ln 0{,}075$ = $\frac{t}{6} = \frac{\ln 0{,}075}{\ln 0{,}5} \approx 3{,}73697$

Moltiplica per 6 e arrotonda: $t \approx 6 \times 3{,}73697 \approx 22{,}4218$ = $t \approx 22{,}4$ ore

Answer: Circa $22{,}4$ ore (un po' meno di 4 emivite, perché dopo 4 emivite resterebbero $25$ mg)

Mistake: Dire che un terremoto di magnitudo 8 è "2 volte più forte" o "forte il doppio" di uno di magnitudo 6

Why: La scala Richter è logaritmica: ogni grado intero moltiplica l'ampiezza per 10. Le differenze di magnitudo sono esponenti, non fattori.

Correct: Rapporto delle ampiezze $= 10^{8 - 6} = 10^2 = 100$ volte.

Mistake: Dimenticare il segno meno in $\text{pH} = -\log[H^+]$ e ottenere un pH negativo come $-3{,}49$

Why: Concentrazioni come $0{,}00032$ sono minori di 1, quindi il loro logaritmo è negativo. Il segno meno nella formula rende il pH positivo.

Correct: $\text{pH} = -\log(0{,}00032) = -(-3{,}49485) \approx 3{,}49$

Mistake: Usare il tasso invece del fattore di crescita: $t = \frac{\ln 2}{\ln 0{,}05}$

Why: Il saldo viene moltiplicato ogni anno per $1 + r = 1{,}05$, non per $0{,}05$. Inoltre $\ln 0{,}05$ è negativo, e darebbe un tempo negativo.

Correct: $t = \frac{\ln 2}{\ln(1{,}05)} \approx 14{,}21$ anni. Per un decadimento usa $1 - r$, per esempio $0{,}85$ per una perdita del $15\,\%$.

Mistake: Arrotondare troppo presto, per esempio scrivere $\ln 1{,}05 \approx 0{,}05$

Why: Piccoli arrotondamenti dentro un quoziente crescono: $\frac{0{,}6931}{0{,}05} \approx 13{,}86$ invece di $14{,}21$, un errore di circa 4 mesi.

Correct: Mantieni tutta la precisione della calcolatrice (o almeno 5 cifre significative) e arrotonda solo il risultato finale, come chiede il problema.

Le piogge acide

Gli scienziati ambientali confrontano l'acidità della pioggia con il pH. Poiché il pH è un logaritmo, una piccola differenza di pH significa una grande differenza di ioni idrogeno.

La pioggia normale ha un pH di circa $5{,}6$. Una pioggia con pH $4{,}6$ ha $10^{1} = 10$ volte più ioni idrogeno.

Proteggere l'udito ai concerti

Tecnici del suono e audiologi lavorano in decibel. I tappi per le orecchie vengono classificati in base a quanto riducono l'intensità del suono.

Dividere l'intensità per $10$ abbassa il livello di $10$ dB, dividerla per $100$ lo abbassa di $20$ dB.

Pianificare un obiettivo di risparmio

I consulenti finanziari usano i logaritmi per capire quanti anni servono a un investimento per raggiungere un obiettivo.

Al $4\,\%$ annuo il denaro viene moltiplicato per $1{,}04$ ogni anno, quindi il numero di anni è $t = \frac{\ln(\text{obiettivo}/\text{inizio})}{\ln 1{,}04}$.

Q: Devo usare log o ln per trovare il tempo?

A: Vanno bene entrambi, purché usi lo stesso sopra e sotto: $\frac{\log 2}{\log 1{,}05} = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}05} \approx 14{,}21$. Le formule del pH e dei decibel sono definite con il logaritmo decimale $\log$ (base 10), quindi lì usa $\log$.

Q: Perché la risposta è 15 anni se la calcolatrice dà 14,21?

A: L'equazione tratta il tempo come continuo, ma la banca accredita l'interesse solo una volta all'anno. Dopo 14 anni il saldo è ancora sotto l'obiettivo, quindi serve il 15° accredito. Chiediti sempre se la situazione ammette frazioni di anno.

Q: Un pH può essere negativo o maggiore di 14?

A: Matematicamente sì: $[H^+] = 2$ mol/L dà $\text{pH} = -\log 2 \approx -0{,}30$. Nella chimica di tutti i giorni, però, quasi tutte le soluzioni hanno un pH tra 0 e 14.

Q: Esiste una stima veloce del tempo di raddoppio?

A: La "regola del 72" dice che il tempo di raddoppio è circa $72 \div (\text{tasso in }\%)$. Al $5\,\%$: $72 \div 5 = 14{,}4$ anni, vicino al valore esatto $14{,}21$. Usa i logaritmi quando il problema chiede una risposta esatta.