Passare alla forma esponenziale

Risolvi $\log_2 x = 3$.

Riconoscere le parti: Base $2$, argomento $x$, valore del logaritmo $3$ = $\log_2 x = 3$

Scrivere in forma esponenziale: $\log_b A = c \iff A = b^c$ = $x = 2^3$

Calcolare la potenza: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2$ = $x = 8$

Verificare: $\log_2 8 = 3$ perché $2^3 = 8$ ✓, e l'argomento $8$ è positivo = La soluzione è accettabile

Answer: $x = 8$

Un'espressione dentro il logaritmo

Risolvi $\log_3(2x + 1) = 2$.

Scrivere in forma esponenziale: La base $3$ viene elevata al valore $2$: $2x + 1 = 3^2$ = $2x + 1 = 9$

Risolvere l'equazione di primo grado: $2x = 9 - 1 = 8$ = $x = 4$

Controllare il dominio: Argomento: $2 \cdot 4 + 1 = 9 > 0$ = L'argomento è positivo

Verificare l'equazione: $\log_3 9 = 2$ perché $3^2 = 9$ ✓ = La soluzione è accettabile

Answer: $x = 4$

Logaritmi in entrambi i membri

Risolvi $\log_5(3x - 2) = \log_5(x + 6)$.

Usare l'uguaglianza dei logaritmi: Ogni membro è un unico logaritmo in base $5$, quindi gli argomenti sono uguali = $3x - 2 = x + 6$

Risolvere l'equazione di primo grado: $3x - x = 6 + 2$, quindi $2x = 8$ = $x = 4$

Controllare entrambi gli argomenti: $3 \cdot 4 - 2 = 10 > 0$ e $4 + 6 = 10 > 0$ = Entrambi gli argomenti sono positivi ✓

Answer: $x = 4$

Prima condensare: due candidati, uno scartato

Risolvi $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3$.

Condensare con la proprietà del prodotto: $\log_2 x + \log_2(x - 2) = \log_2\big(x(x - 2)\big)$ = $\log_2\big(x(x - 2)\big) = 3$

Scrivere in forma esponenziale: $x(x - 2) = 2^3$ = $x^2 - 2x = 8$

Risolvere l'equazione di secondo grado: $x^2 - 2x - 8 = 0$, quindi $(x - 4)(x + 2) = 0$ = Candidati: $x = 4$ oppure $x = -2$

Verificare ogni candidato nell'equazione di partenza: $x = 4$: gli argomenti $4$ e $2$ sono positivi ✓. $x = -2$: $\log_2(-2)$ non è definito ✗ = $x = -2$ è una soluzione estranea

Answer: $x = 4$ (il candidato $x = -2$ viene scartato). Il secondo grafico mostra il motivo: la curva condensata $y = \log_2\big(x(x-2)\big)$ esiste anche per $x$ negativi e incontra $y = 3$ due volte, mentre la curva di partenza la incontra solo in $x = 4$. Per $x > 2$ le due curve sono sovrapposte; attivale e disattivale nella legenda per confrontarle.

Basi diverse: il logaritmo di entrambi i membri

Risolvi $3^x = 20$. Arrotonda a due cifre decimali.

Cercare una base comune: $3^2 = 9$ e $3^3 = 27$, quindi $20$ non è una potenza di $3$ = Il metodo della stessa base non funziona, ma $2 < x < 3$

Calcolare il logaritmo decimale di entrambi i membri: $\log(3^x) = \log 20$, poi la proprietà della potenza = $x \log 3 = \log 20$

Dividere per $\log 3$: $\log 3$ è un numero, circa $0{,}4771$ = $x = \frac{\log 20}{\log 3}$ (valore esatto)

Usare la calcolatrice: $\frac{1{,}3010}{0{,}4771} \approx 2{,}727$ = $x \approx 2{,}73$

Verificare: $3^{2{,}73} \approx 20{,}07 \approx 20$ ✓, e $2{,}73$ è tra $2$ e $3$ = La soluzione è accettabile

Answer: $x = \frac{\log 20}{\log 3} \approx 2{,}73$

Mistake: Tenere entrambi i candidati: $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3 \implies x = 4$ oppure $x = -2$

Why: Dopo aver condensato in $\log_2\big(x(x - 2)\big)$ sembrano ammessi anche valori negativi di $x$, perché il prodotto di due numeri negativi è positivo. Ma l'equazione di partenza contiene $\log_2 x$, che per $x = -2$ non è definito.

Correct: Verifica ogni candidato nell'equazione DI PARTENZA. Funziona solo $x = 4$; $x = -2$ è una soluzione estranea.

Mistake: Togliere i logaritmi: $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3 \implies x + (x - 2) = 3$

Why: Puoi togliere i logaritmi solo quando ogni membro è un unico logaritmo con la stessa base (uguaglianza dei logaritmi). Qui a sinistra c'è una somma di logaritmi e a destra un numero.

Correct: Prima condensa, $\log_2\big(x(x - 2)\big) = 3$, poi passa alla forma esponenziale: $x(x - 2) = 2^3 = 8$.

Mistake: Scambiare base ed esponente: $\log_3(2x + 1) = 2 \implies 2x + 1 = 2^3$

Why: In $\log_b A = c$ è la base $b$ che viene elevata a $c$. La base del logaritmo resta la base della potenza.

Correct: $2x + 1 = 3^2 = 9$, quindi $x = 4$. Verifica: $\log_3 9 = 2$ ✓

Mistake: Dividere invece di usare i logaritmi: $3^x = 20 \implies x = \frac{20}{3} \approx 6{,}67$

Why: $3^x$ è una potenza, non il prodotto $3 \cdot x$. Una verifica veloce mostra l'errore: $3^{6{,}67}$ vale circa $1500$, molto più di $20$.

Correct: $x = \frac{\log 20}{\log 3} \approx 2{,}73$. Attenzione: $\frac{\log 20}{\log 3}$ NON è uguale a $\log \frac{20}{3}$.

Raddoppiare i risparmi

Il denaro che cresce ogni anno di una percentuale fissa segue $A = P \cdot (1 + r)^t$. Ricavando l'esponente $t$ con i logaritmi sai quando raggiungi un obiettivo di risparmio.

Al 6 % di interesse annuo il denaro raddoppia quando $1{,}06^t = 2$, cioè dopo $t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}06} \approx 11{,}9$ anni.

Il volume in decibel

Il livello sonoro in decibel è $L = 10 \log r$, dove $r = \frac{I}{I_0}$ confronta l'intensità di un suono con quella del suono più debole che una persona riesce a sentire.

Una conversazione normale è di circa 60 dB: $10 \log r = 60$ dà $\log r = 6$, quindi $r = 10^6$, un milione di volte la soglia di udibilità.

Batteri che crescono

Una colonia che raddoppia ogni ora segue $N = N_0 \cdot 2^t$. Quando la dimensione cercata non è una potenza di 2, i logaritmi danno il tempo esatto.

Una colonia di 200 cellule arriva a 1000 cellule quando $2^t = 5$, cioè dopo $t = \frac{\ln 5}{\ln 2} \approx 2{,}32$ ore.

Q: Perché compaiono le soluzioni estranee?

A: Condensare cambia il dominio. $\log_2 x + \log_2(x - 2)$ richiede $x > 2$, mentre $\log_2\big(x(x - 2)\big)$ richiede solo $x(x - 2) > 0$, che vale anche per $x < 0$. L'equazione condensata può quindi avere soluzioni che quella di partenza non ha. Per questo si verifica sempre nell'equazione di partenza.

Q: Una soluzione negativa è sempre estranea?

A: No. Conta il segno di ogni argomento, non quello di $x$. In $\log_2(x + 5) = 1$ si ottiene $x + 5 = 2$, quindi $x = -3$, e l'argomento $-3 + 5 = 2$ è positivo. La soluzione $x = -3$ è accettabile.

Q: Per risolvere $3^x = 20$ uso log o ln?

A: Vanno bene tutti e due. $\frac{\log 20}{\log 3}$ e $\frac{\ln 20}{\ln 3}$ danno lo stesso numero, circa $2{,}73$. È proprio la formula del cambiamento di base: entrambi sono uguali a $\log_3 20$.

Q: Un'equazione logaritmica può non avere soluzioni?

A: Sì. In $\log_2(x - 4) = \log_2(2x - 1)$ gli argomenti danno $x - 4 = 2x - 1$, quindi $x = -3$. Ma allora entrambi gli argomenti valgono $-7$, il che non è ammesso. L'unico candidato viene scartato, quindi l'equazione è impossibile.