Identificare una successione geometrica

La successione $3, 6, 12, 24, 48, \ldots$ è geometrica? Se sì, trova la ragione.

Verifica il rapporto tra termini consecutivi: $\frac{6}{3} = 2$, $\frac{12}{6} = 2$, $\frac{24}{12} = 2$, $\frac{48}{24} = 2$ = Tutti i rapporti sono uguali

Conferma la ragione costante: Poiché ogni rapporto è uguale a $2$, è geometrica = Sì, è geometrica

Indica la ragione: $r = 2$ = La ragione è $2$

Answer: Sì, questa è una successione geometrica con ragione $r = 2$. Ogni termine è il doppio del precedente.

Trovare il termine generale

Trova l'8° termine della successione geometrica: $5, 15, 45, 135, \ldots$

Identifica il primo termine: $a_1 = 5$ = Il primo termine è $5$

Trova la ragione: $r = \frac{15}{5} = 3$ = La ragione è $3$

Applica la formula del termine generale: $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ $a_8 = 5 \cdot 3^{8-1}$ $a_8 = 5 \cdot 3^7$ = Formula impostata

Calcola: $a_8 = 5 \cdot 2187 = 10935$ = $a_8 = 10935$

Answer: L'8° termine è $10935$.

Successione geometrica con ragione frazionaria

Una palla viene lasciata cadere da 256 cm. Ogni rimbalzo raggiunge $\frac{1}{2}$ dell'altezza precedente. Quale altezza raggiunge dopo il 5° rimbalzo?

Identifica i parametri della successione: Altezza iniziale: $a_1 = 256$ cm Ragione: $r = \frac{1}{2}$ = Impostazione completata

Determina quale termine ci serve: Dopo il 5° rimbalzo = 6° termine (inclusa la caduta iniziale) = Serve $a_6$

Applica la formula: $a_6 = 256 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{6-1}$ $a_6 = 256 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5$ = Formula impostata

Calcola: $a_6 = 256 \cdot \frac{1}{32} = 8$ cm = $a_6 = 8$ cm

Answer: Dopo il 5° rimbalzo, la palla raggiunge un'altezza di $8$ cm.

Trovare la ragione dati due termini

In una successione geometrica, $a_3 = 24$ e $a_6 = 192$. Trova la ragione e il primo termine.

Scrivi le equazioni usando la formula del termine generale: $a_3 = a_1 \cdot r^2 = 24$ $a_6 = a_1 \cdot r^5 = 192$ = Due equazioni

Dividi le equazioni per eliminare $a_1$: $\frac{a_6}{a_3} = \frac{a_1 \cdot r^5}{a_1 \cdot r^2} = \frac{192}{24}$ $r^3 = 8$ = $r^3 = 8$

Risolvi per r: $r = \sqrt[3]{8} = 2$ = $r = 2$

Trova $a_1$ usando $a_3 = 24$: $a_1 \cdot 2^2 = 24$ $a_1 \cdot 4 = 24$ $a_1 = 6$ = $a_1 = 6$

Answer: La ragione è $r = 2$ e il primo termine è $a_1 = 6$. La successione è $6, 12, 24, 48, 96, 192, \ldots$

Mistake: Confondere l'esponente: usare $r^n$ invece di $r^{n-1}$

Why: Il primo termine ha esponente 0: $a_1 = a_1 \cdot r^0$. Quindi il termine n-esimo ha esponente $n-1$.

Correct: Usa sempre $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$. Per il 5° termine, l'esponente è $5-1=4$.

Mistake: Pensare che una ragione negativa significhi che non è geometrica

Why: Le successioni geometriche possono avere ragioni negative! I segni si alternano.

Correct: Esempio: $2, -6, 18, -54, \ldots$ è geometrica con $r = -3$.

Mistake: Sommare invece di moltiplicare per trovare il termine successivo

Why: Questa è la differenza tra successioni aritmetiche (sommare) e geometriche (moltiplicare).

Correct: Nelle successioni geometriche, MOLTIPLICA sempre per $r$: se $a_3 = 12$ e $r = 2$, allora $a_4 = 12 \times 2 = 24$, NON $12 + 2 = 14$.

Mistake: Dimenticare che $r$ può essere una frazione (causando decrescita)

Why: Quando $0 < r < 1$, ogni termine diventa più piccolo. Questo modella la decrescita, non la crescita.

Correct: Esempio: $100, 50, 25, 12{,}5, \ldots$ ha $r = 0{,}5$ (ogni termine è la metà del precedente).

Interesse composto

Quando il denaro guadagna interesse composto, il saldo forma una successione geometrica dove la ragione è $(1 + \text{tasso di interesse})$.

Investi 1000 euro al 5% di interesse annuo. Ogni anno, il tuo saldo viene moltiplicato per $1,05$: - Anno 0: 1000 euro - Anno 1: 1050 euro - Anno 2: 1102,50 euro - Anno 3: 1157,63 euro

Crescita batterica

I batteri spesso raddoppiano a intervalli regolari, creando una successione geometrica con $r = 2$.

Se una coltura inizia con 100 batteri e raddoppia ogni ora: - Ora 0: 100 batteri - Ora 1: 200 batteri - Ora 2: 400 batteri - Ora 5: $100 \times 2^5 = 3200$ batteri

Deprezzamento

Auto e attrezzature perdono valore nel tempo. Se qualcosa perde una percentuale fissa ogni anno, segue una successione geometrica con $r < 1$.

Un'auto del valore di 20000 euro si deprezza del 15% ogni anno (mantiene l'85%): - Anno 0: 20000 euro - Anno 1: 17000 euro - Anno 2: 14450 euro - Anno 3: 12282,50 euro

Q: Qual è la differenza tra successioni aritmetiche e geometriche?

A: In una successione aritmetica, SOMMI lo stesso numero per ottenere il termine successivo (differenza $d$). In una successione geometrica, MOLTIPLICHI per lo stesso numero (ragione $r$). Esempio: $2, 5, 8, 11$ è aritmetica ($d = 3$); $2, 6, 18, 54$ è geometrica ($r = 3$).

Q: La ragione può essere negativa?

A: Sì! Quando $r < 0$, i termini si alternano tra positivo e negativo. Per esempio, $2, -6, 18, -54, \ldots$ ha $r = -3$.

Q: Cosa succede quando $r = 1$ o $r = 0$?

A: Se $r = 1$, ogni termine è uguale: $a, a, a, a, \ldots$ (successione costante). Se $r = 0$, ogni termine dopo il primo è zero: $a, 0, 0, 0, \ldots$

Q: Come faccio a sapere se una successione è geometrica?

A: Dividi termini consecutivi. Se tutti i rapporti sono uguali, è geometrica. Per esempio, in $4, 12, 36$: $\frac{12}{4} = 3$ e $\frac{36}{12} = 3$, quindi è geometrica con $r = 3$.