Eventi dipendenti

Scopri come un evento influenza la probabilità di un altro quando i risultati sono collegati.

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Definizione

Gli eventi dipendenti sono eventi in cui il risultato di uno influenza la probabilità di un altro.
Quando gli eventi sono dipendenti:
  • Il primo evento cambia lo spazio campionario per il secondo evento
  • Usiamo la formula: P(A e B)=P(A)×P(B∣A)P(A \text{ e } B) = P(A) \times P(B | A)
La notazione P(B∣A)P(B | A) significa "la probabilità di B dato che A si è verificato."
Differenza chiave dagli eventi indipendenti:
  • Indipendenti: P(A e B)=P(A)×P(B)P(A \text{ e } B) = P(A) \times P(B)
  • Dipendenti: P(A e B)=P(A)×P(B∣A)P(A \text{ e } B) = P(A) \times P(B | A)

Prova subito

Quale scenario descrive eventi dipendenti?

Esempi svolti

Un mazzo standard ha 52 carte. Estrai 2 carte senza rimpiazzo. Qual è la probabilità che entrambe le carte siano cuori?
1

Trova P(primo cuore)

Ci sono 13 cuori su 52 carte → P(C1)=1352=14P(C_1) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}
2

Trova P(secondo cuore | il primo era cuore)

Dopo aver estratto 1 cuore: restano 12 cuori, 51 carte in totale → P(C2∣C1)=1251P(C_2 | C_1) = \frac{12}{51}
3

Moltiplica le probabilità

P(C1 e C2)=1352×1251P(C_1 \text{ e } C_2) = \frac{13}{52} \times \frac{12}{51} → =1562652= \frac{156}{2652}
4

Semplifica

1562652=117\frac{156}{2652} = \frac{1}{17} → ≈0,059\approx 0{,}059 ovvero circa 5,9%5{,}9\%

Errori comuni

Usare lo stesso denominatore per entrambi gli eventi

Perché è sbagliato: Quando si estrae senza rimpiazzo, il numero totale di elementi diminuisce. Usare 52 per entrambe le estrazioni di carte ignora questo cambiamento.

Corretto: Dopo la prima estrazione, ridurre il denominatore. Seconda estrazione da 51 carte, terza estrazione da 50 carte, ecc.

Dimenticare di aggiustare il numeratore

Perché è sbagliato: Se estrai un cuore per primo, restano solo 12 cuori, non 13. Il primo evento cambia ciò che rimane.

Corretto: Quando si estrae dalla stessa categoria, ridurre sia il numeratore CHE il denominatore. Per categoria diversa, ridurre solo il denominatore.

Trattare eventi dipendenti come indipendenti

Perché è sbagliato: Usare P(A)×P(B)P(A) \times P(B) invece di P(A)×P(B∣A)P(A) \times P(B|A) dà risposte sbagliate per eventi dipendenti.

Corretto: Chiediti sempre: Il primo evento cambia ciò che è disponibile per il secondo? Se sì, gli eventi sono dipendenti.

Visuale interattivo

6 rosse, 4 blu: due estrazioni senza rimpiazzo

1ª estrazione2ª estrazione6/105/94/94/106/93/9RossaRossaBluBluRossaBlu(Rossa, Rossa)30/90(Rossa, Blu)24/90(Blu, Rossa)24/90(Blu, Blu)12/90

Moltiplica le possibilità di ogni passo: 2 × 2 = 4 (4 esiti)

Le probabilità di tutti gli esiti sommate danno 1.

Tocca un esito a destra per seguirne il percorso.

Pesca carta

Clicca sul pulsante per effettuare tentativi e vedere la probabilità in azione!

Sandbox interattivo

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

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Esercizi pratici

16 esercizi
Problema 1 di 16
Facile
Quale scenario descrive eventi dipendenti?

Perché è importante

Gli eventi dipendenti appaiono costantemente in scenari del mondo reale:
  • Giochi di carte: Estrarre carte senza rimpiazzo cambia la composizione del mazzo
  • Controllo qualità: Testare articoli da un lotto influenza ciò che rimane
  • Previsioni meteo: Il tempo di oggi influenza la probabilità di domani
  • Test medici: I risultati dei test precedenti influenzano le diagnosi successive
  • Sport: La stanchezza di un giocatore influenza la probabilità di prestazione nelle partite successive
Capire gli eventi dipendenti previene errori costosi nei calcoli di probabilità!

Applicazioni nel mondo reale

Controllo qualità

Le fabbriche testano campioni di prodotti. Ogni articolo testato viene rimosso dal lotto, rendendo le selezioni successive dipendenti.

Esempio:

Una scatola ha 100 lampadine, 5 difettose. Test di 3 senza rimpiazzo: P(tutte buone)=95100×9499×9398P(\text{tutte buone}) = \frac{95}{100} \times \frac{94}{99} \times \frac{93}{98}

1Provaci tu stesso

Un lotto di 20 telefoni ha 2 difettosi. Testi 2 telefoni senza rimpiazzo.

Qual è la probabilità che entrambi i telefoni testati NON siano difettosi?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola: 1820×??\frac{18}{20} \times \frac{?}{?}

Strategie dei giochi di carte

I giocatori di carte professionisti tengono traccia di quali carte sono state giocate per calcolare le probabilità rimanenti.

Esempio:

Nel blackjack, se 3 assi sono stati distribuiti da un singolo mazzo, la probabilità che la prossima carta sia un asso è 149\frac{1}{49}, non 452\frac{4}{52}.

2Provaci tu stesso

Da un mazzo standard, sono state distribuite 10 carte. Hai visto 3 picche tra di esse.

Qual è la probabilità che la prossima carta sia una picca?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Picche rimanenti / Carte rimanenti = ?

Selezione di membri del comitato

Quando si scelgono persone per i comitati, ogni selezione riduce il gruppo per le scelte successive.

Esempio:

Da 8 uomini e 6 donne, selezionare 2 persone: P(entrambe donne)=614×513P(\text{entrambe donne}) = \frac{6}{14} \times \frac{5}{13}

3Provaci tu stesso

Un club ha 10 membri: 4 senior e 6 junior. Due funzionari vengono scelti a caso.

Qual è la probabilità che entrambi i funzionari siano senior?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola la probabilità dipendente:

Punti chiave

  • 1Gli eventi dipendenti si verificano quando un evento influenza la probabilità di un altro
  • 2Usa la formula: P(A e B)=P(A)×P(B∣A)P(A \text{ e } B) = P(A) \times P(B | A)
  • 3Senza rimpiazzo significa che lo spazio campionario si riduce dopo ogni evento
  • 4Aggiusta sempre sia il numeratore (elementi di interesse) che il denominatore (elementi totali) dopo ogni evento
  • 5Chiediti: Il primo risultato cambia ciò che è possibile per il secondo? Se sì, gli eventi sono dipendenti

Domande frequenti

Chiediti: Il primo evento cambia ciò che è possibile per il secondo? Estrarre carte senza rimpiazzo è dipendente (il mazzo si riduce). Lanciare due dadi è indipendente (il primo lancio non influenza il secondo).
Chiediti: Il primo evento cambia ciò che è possibile per il secondo? Estrarre carte senza rimpiazzo è dipendente (il mazzo si riduce). Lanciare due dadi è indipendente (il primo lancio non influenza il secondo).
Significa che non rimetti l'elemento dopo averlo selezionato. Questo cambia le probabilità per le selezioni successive perché sia il conteggio totale che possibilmente il conteggio degli elementi desiderati diminuiscono.
Sì! Se il risultato di un evento ti dà informazioni che cambiano la probabilità di un altro, sono dipendenti. Per esempio, sapere che oggi ha piovuto influenza la probabilità che piova domani.

Glossario

Eventi dipendenti
Eventi in cui il risultato di uno influenza la probabilità di un altro
Eventi indipendenti
Eventi in cui il risultato di uno non ha effetto sulla probabilità di un altro
Probabilità condizionata
La probabilità di un evento dato che un altro evento si è verificato, scritta come P(B∣A)P(B|A)
Senza rimpiazzo
Selezionare elementi senza rimetterli nell'insieme originale
Spazio campionario
L'insieme di tutti i possibili risultati
Sfida di oggiUn problema, tre tentativi

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