Lancio di un dado equo

Qual è il valore atteso lanciando un dado a sei facce equo?

Elenca tutti i risultati e le loro probabilità: Risultati: $1, 2, 3, 4, 5, 6$. Ognuno ha probabilità $\frac{1}{6}$ = 6 risultati equiprobabili

Applica la formula del valore atteso: $E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6}$ = Somma dei risultati ponderati

Semplifica il calcolo: $E(X) = \frac{1}{6}(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = \frac{21}{6}$ = $\frac{21}{6} = 3{,}5$

Answer: $E(X) = 3{,}5$. In media, ti aspetti di ottenere 3,5 (anche se non puoi mai effettivamente ottenere 3,5)!

Biglietto della lotteria

Un biglietto della lotteria costa 2 euro. Hai l'1% di probabilità di vincere 100 euro e il 99% di probabilità di non vincere nulla. Qual è il valore atteso dell'acquisto di un biglietto?

Identifica i risultati e le probabilità: Vincita: 100 euro con $P = 0{,}01$. Perdita: 0 euro con $P = 0{,}99$ = Due risultati possibili

Calcola le vincite attese: $E(\text{vincite}) = 100 \cdot 0{,}01 + 0 \cdot 0{,}99 = 1$ euro = Vincita attesa: 1 euro

Sottrai il costo del biglietto: $E(\text{profitto}) = 1 - 2 = -1$ euro = Perdita attesa di 1 euro

Answer: $E(\text{profitto}) = -1$ euro. In media, perdi 1 euro per biglietto. Ecco perché le lotterie sono redditizie per gli organizzatori!

Gioco con moneta truccata

Una moneta truccata cade su testa il 70% delle volte. Vinci 5 euro per testa e perdi 8 euro per croce. Qual è il valore atteso di un lancio?

Assegna valori e probabilità: Testa: +5 euro, $P = 0{,}70$. Croce: $-8$ euro, $P = 0{,}30$ = Un risultato positivo, uno negativo

Applica la formula del valore atteso: $E(X) = 5 \cdot 0{,}70 + (-8) \cdot 0{,}30$ = $E(X) = 3{,}5 + (-2{,}4)$

Calcola il risultato finale: $E(X) = 3{,}5 - 2{,}4 = 1{,}1$ = $E(X) = 1{,}1$ euro

Answer: $E(X) = 1{,}1$ euro. In media, vinci 1,10 euro per lancio. È un gioco favorevole!

Costo atteso dell'assicurazione

Una compagnia di assicurazioni sa che il 2% dei clienti farà un reclamo di 5000 euro in media. Il premio annuale è di 150 euro. Qual è il profitto atteso per cliente?

Calcola il pagamento atteso: $E(\text{pagamento}) = 5000 \cdot 0{,}02 + 0 \cdot 0{,}98 = 100$ euro = Pagamento atteso: 100 euro per cliente

Calcola il profitto atteso: $E(\text{profitto}) = \text{premio} - E(\text{pagamento})$ = $E(\text{profitto}) = 150 - 100$

Trova la risposta: $E(\text{profitto}) = 50$ euro per cliente = 50 euro di profitto in media

Answer: La compagnia di assicurazioni si aspetta di guadagnare 50 euro di profitto per cliente in media. Ecco come le compagnie di assicurazioni restano in affari!

Mistake: Dimenticare che il valore atteso può essere un numero non intero (come 3,5 per un dado)

Why: Il valore atteso è una media teorica, non un risultato reale. Non puoi ottenere 3,5, ma su molti lanci, la tua media si avvicinerà a 3,5.

Correct: Comprendi che il valore atteso rappresenta la media a lungo termine, non un risultato specifico che otterrai.

Mistake: Usare probabilità uguali quando i risultati non sono equiprobabili

Why: Una moneta truccata o un dado truccato ha probabilità diverse per ogni risultato.

Correct: Verifica sempre se i risultati sono equiprobabili. Usa la probabilità reale per ogni risultato.

Mistake: Dimenticare di sottrarre i costi quando si calcola il profitto atteso

Why: Vincere 10 euro non è profitto se hai pagato 15 euro per giocare!

Correct: $E(\text{profitto}) = E(\text{vincite}) - \text{costo}$

Mistake: Sommare le probabilità invece di moltiplicare il risultato per la probabilità

Why: La formula è $x \cdot P(x)$, non $x + P(x)$.

Correct: Ogni risultato deve essere moltiplicato per la sua probabilità, poi somma tutti i prodotti.

Giochi da casinò e vantaggio del banco

I casinò progettano i giochi in modo che il valore atteso favorisca sempre il banco. Alla roulette, il vantaggio del banco significa che i giocatori perdono circa il 2,7% (europea) o il 5,3% (americana) delle loro scommesse in media.

Alla roulette europea, scommettere 10 euro sul rosso dà: $E = 10 \cdot \frac{18}{37} + (-10) \cdot \frac{19}{37} \approx -0{,}27$ euro. Perdi 27 centesimi in media per scommessa di 10 euro.

Decisioni di investimento

Gli investitori usano il valore atteso per confrontare diverse opzioni di investimento ponderando i rendimenti potenziali contro le loro probabilità.

L'azione A ha il 60% di probabilità di guadagnare il 20% e il 40% di probabilità di perdere il 10%. $E(\text{rendimento}) = 0{,}20 \cdot 0{,}60 + (-0{,}10) \cdot 0{,}40 = 0{,}08 = 8\%$ di rendimento atteso.

Strategia del gioco a premi

I concorrenti dei giochi a premi usano il valore atteso per decidere se tenere un premio garantito o rischiarlo per una possibilità di ottenere di più.

Hai vinto 1000 euro. Puoi tenerli o lanciare una moneta: testa vince 2500 euro, croce non vince nulla. $E(\text{lancio}) = 2500 \cdot 0{,}5 + 0 \cdot 0{,}5 = 1250$ euro. Matematicamente, dovresti lanciare!

Q: Perché il valore atteso di un dado è 3,5 se non posso mai ottenere 3,5?

A: Il valore atteso è la media su molte prove, non un singolo risultato. Se lanci un dado 1000 volte e calcoli la media, otterrai molto vicino a 3,5. È il centro teorico della distribuzione.

Q: Qual è la differenza tra il valore atteso e la moda o la mediana?

A: Il valore atteso (media) pondera i risultati per la loro probabilità. La moda è il risultato più probabile, e la mediana è il valore centrale. Per un dado equo: media = 3,5, moda = nessuna (tutti equiprobabili), mediana = 3,5.

Q: Il valore atteso può essere negativo?

A: Sì! Se le perdite superano le vincite in media, il valore atteso è negativo. La maggior parte dei giochi d'azzardo ha un valore atteso negativo per i giocatori, ecco perché i casinò sono redditizi.

Q: Dovrei sempre scegliere l'opzione con il valore atteso più alto?

A: Non necessariamente. Il valore atteso ignora la tolleranza al rischio. Scommetteresti tutti i tuoi risparmi su un lancio di moneta che li raddoppia o li perde? Il valore atteso è positivo, ma la maggior parte delle persone non prenderebbe quel rischio.