Lanciare un dado equilibrato

Crea una distribuzione di probabilità per il lancio di un dado equilibrato.

Identifica tutti i risultati possibili: Un dado può mostrare 1, 2, 3, 4, 5 o 6 = 6 risultati

Determina la probabilità di ogni risultato: Dado equilibrato significa che ogni faccia è ugualmente probabile: $P = \frac{1}{6}$ = $P(x) = \frac{1}{6}$ per ciascuno

Verifica che le probabilità sommino a 1: $\frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1$ = Distribuzione valida

Scrivi la tabella di distribuzione: | $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | | $P(x)$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | = Distribuzione uniforme

Answer: Questa si chiama **distribuzione uniforme** perché tutti i risultati hanno la stessa probabilità di $\frac{1}{6} \approx 0,167$.

Somma di due dadi

Crea una distribuzione di probabilità per la somma quando si lanciano due dadi.

Trova tutte le somme possibili: Minimo: $1+1=2$, Massimo: $6+6=12$ = Le somme vanno da 2 a 12

Conta il totale dei risultati: Dado 1 ha 6 opzioni, Dado 2 ha 6 opzioni: $6 \times 6 = 36$ = 36 risultati totali

Conta i modi per ottenere ogni somma: Somma 2: (1,1) = 1 modo Somma 3: (1,2), (2,1) = 2 modi Somma 4: (1,3), (2,2), (3,1) = 3 modi Somma 7: 6 modi (la più comune) = Ogni somma ha frequenza diversa

Calcola le probabilità: $P(2) = \frac{1}{36}$, $P(3) = \frac{2}{36}$, $P(7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ = Non uniforme!

Answer: La distribuzione **non è uniforme** - la somma 7 è la più probabile ($P = \frac{1}{6}$), mentre 2 e 12 sono le meno probabili ($P = \frac{1}{36}$).

Calcolo del valore atteso

Un gioco costa 2 euro per giocare. Vinci 10 euro se ottieni un 6 con un dado equilibrato, altrimenti nulla. Qual è il valore atteso?

Identifica risultati e vincite: Ottenere 6: Vincere 10 euro, Profitto netto = 10 - 2 = 8 euro Ottenere 1-5: Vincere 0 euro, Profitto netto = 0 - 2 = -2 euro = Due possibili risultati netti: 8 o -2

Trova le probabilità: $P(\text{ottenere 6}) = \frac{1}{6}$ $P(\text{ottenere 1-5}) = \frac{5}{6}$ = Probabilità trovate

Applica la formula del valore atteso: $E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i)$ $E(X) = 8 \cdot \frac{1}{6} + (-2) \cdot \frac{5}{6}$ = $E(X) = \frac{8}{6} - \frac{10}{6}$

Calcola: $E(X) = \frac{8-10}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$ = $E(X) \approx -0,33$ euro

Answer: Il valore atteso è $-\frac{1}{3}$ euro (circa -33 centesimi). In media, perdi 33 centesimi per partita - il gioco favorisce il banco!

Mistake: Probabilità che non sommano a 1

Why: Una distribuzione di probabilità valida DEVE avere tutte le probabilità che sommano esattamente a 1. Altrimenti, hai dimenticato un risultato o commesso un errore di calcolo.

Correct: Verifica sempre: $\sum P(x_i) = 1$. Se la somma è minore di 1, mancano risultati. Se è maggiore, hai contato qualcosa due volte.

Mistake: Confondere probabilità con frequenza

Why: La frequenza è un conteggio (es. '6 modi per ottenere un 7'), mentre la probabilità è un rapporto (es. '$P(7) = 6/36$').

Correct: Probabilità = risultati favorevoli diviso risultati totali. Esprimila sempre come frazione, decimale o percentuale.

Mistake: Assumere che tutti i risultati siano ugualmente probabili

Why: Molte distribuzioni NON sono uniformi. Con due dadi, la somma 7 è più probabile della somma 2.

Correct: Conta attentamente i modi per ottenere ogni risultato. Solo esperimenti semplici (un solo dado, lancio di moneta) tendono a essere uniformi.

Controllo qualità nella produzione

Le fabbriche usano distribuzioni di probabilità per prevedere quanti articoli difettosi verranno prodotti.

Se una macchina produce 1000 articoli e ha un tasso di difetti del 2%, il numero atteso di difetti è $1000 \times 0,02 = 20$.

Valutazione del rischio nelle assicurazioni

Le compagnie assicurative usano distribuzioni di probabilità per calcolare premi equi basati sulla probabilità di sinistri.

Se il 5% degli automobilisti presenta sinistri con media di 5000 euro, il pagamento atteso per automobilista è $0,05 \times 5000 = 250$ euro.

Q: Qual è la differenza tra distribuzioni discrete e continue?

A: Le distribuzioni discrete hanno risultati numerabili (come i lanci di dadi: 1, 2, 3, 4, 5, 6). Le distribuzioni continue hanno risultati non numerabili (come l'altezza, che può essere qualsiasi valore in un intervallo). Questa lezione si concentra sulle distribuzioni discrete.

Q: Una probabilità può essere negativa?

A: No! Le probabilità sono sempre comprese tra 0 e 1 (inclusi). Una probabilità di 0 significa impossibile, e 1 significa certo.

Q: Cosa ci dice il valore atteso?

A: Il valore atteso è il risultato medio se ripetessi l'esperimento molte volte. Non significa che otterrai esattamente quel valore - è una media a lungo termine.