Area a sinistra: più basse di 174 cm

In un paese l'altezza delle donne segue una distribuzione normale con $\mu = 165$ cm e $\sigma = 6$ cm. Quale proporzione delle donne è più bassa di 174 cm?

Disegna e colora: Colora l'area a sinistra di 174 cm, che si trova a destra della media 165 cm = Il risultato deve essere maggiore di 0,5

Standardizza: $z = \frac{174 - 165}{6} = \frac{9}{6}$ = $z = 1{,}5$

Leggi la tavola: Riga 1,5, colonna 0,00 = $P(Z < 1{,}5) = 0{,}9332$

Interpreta: Un'area a sinistra non richiede aggiustamenti = $P(X < 174) = 0{,}9332$

Answer: $P(X < 174) = 0{,}9332$: circa il 93,32% delle donne misura meno di 174 cm.

Area a destra: batterie oltre le 14 ore

La batteria di un telefono dura in media $\mu = 12$ ore con $\sigma = 1{,}6$ ore, secondo una distribuzione normale. Qual è la probabilità che una batteria duri più di 14 ore?

Disegna e colora: Colora la coda destra oltre le 14 ore = Un'area piccola, minore di 0,5

Standardizza: $z = \frac{14 - 12}{1{,}6} = \frac{2}{1{,}6}$ = $z = 1{,}25$

Leggi la tavola: Riga 1,2, colonna 0,05 = $P(Z < 1{,}25) = 0{,}8944$

Usa il complementare: La tavola dà l'area a sinistra, quindi sottrai da 1: $1 - 0{,}8944$ = $P(X > 14) = 0{,}1056$

Answer: $P(X > 14) = 0{,}1056$: circa il 10,56% delle batterie dura più di 14 ore.

Area tra due valori: punteggi d'esame

I punteggi di un esame seguono una distribuzione normale con $\mu = 70$ e $\sigma = 8$. Che percentuale di studenti ottiene tra 62 e 86 punti?

Standardizza il valore inferiore: $z_1 = \frac{62 - 70}{8} = \frac{-8}{8}$ = $z_1 = -1$

Standardizza il valore superiore: $z_2 = \frac{86 - 70}{8} = \frac{16}{8}$ = $z_2 = 2$

Leggi le due aree a sinistra: $P(Z < 2) = 0{,}9772$ e $P(Z < -1) = 0{,}1587$ = Due valori della tavola

Sottrai: area grande a sinistra meno area piccola a sinistra: $0{,}9772 - 0{,}1587$ = $0{,}8185$

Answer: $P(62 < X < 86) = 0{,}8185$, quindi circa l'81,85% degli studenti ottiene tra 62 e 86 punti.

Problema inverso: il punteggio del 10% migliore

Nello stesso esame ($\mu = 70$, $\sigma = 8$) il 10% migliore riceve un attestato. Qual è il punteggio più basso che dà diritto all'attestato?

Trasforma il 10% migliore in un'area a sinistra: Il 10% a destra significa $1 - 0{,}10 = 0{,}90$ a sinistra = Cerca 0,90 all'interno della tavola

Trova z nella tavola: Il valore più vicino è $0{,}8997$, nella riga 1,2 e nella colonna 0,08 = $z \approx 1{,}28$

Torna alle unità reali: $x = \mu + z\sigma = 70 + 1{,}28 \times 8 = 70 + 10{,}24$ = $x = 80{,}24$

Answer: Con circa 80,24 punti o più si è nel 10% migliore. Con punti interi servono 81 punti.

Dalla probabilità a un conteggio: bottiglie poco riempite

Una macchina riempie bottiglie con $\mu = 500$ mL e $\sigma = 4$ mL. Riempie 2000 bottiglie al giorno. Circa quante bottiglie contengono meno di 494 mL?

Standardizza: $z = \frac{494 - 500}{4} = \frac{-6}{4}$ = $z = -1{,}5$

Leggi la tavola: Riga -1,5, colonna 0,00 = $P(Z < -1{,}5) = 0{,}0668$

Moltiplica per il numero di bottiglie: $0{,}0668 \times 2000$ = $133{,}6$

Answer: Circa 134 bottiglie al giorno (il 6,68% di 2000) contengono meno di 494 mL.

Mistake: Usare direttamente il valore della tavola in una domanda "maggiore di", per esempio $P(X > 14) = 0{,}8944$

Why: La tavola dà sempre l'area a SINISTRA di $z$. La coda destra è tutto il resto.

Correct: Sottrai da 1: $P(X > 14) = 1 - 0{,}8944 = 0{,}1056$. Un disegno veloce mostra che la coda destra è piccola, quindi 0,8944 non può essere giusto.

Mistake: Sottrarre prima i punteggi z: $P(-1 < Z < 2) = P(Z < 2 - (-1)) = P(Z < 3)$

Why: Le aree sotto una curva non funzionano così. Ti serve l'area fino a ciascun limite e poi la differenza tra queste aree.

Correct: Leggi le due aree a sinistra e sottraile: $0{,}9772 - 0{,}1587 = 0{,}8185$.

Mistake: Standardizzare nell'ordine sbagliato o dividere per il numero sbagliato: $z = \frac{\mu - x}{\sigma}$ oppure $z = \frac{x - \mu}{\sigma^2}$

Why: Invertendo la sottrazione il segno cambia e finisci dal lato sbagliato della media. Dividendo per la varianza la distanza è sbagliata.

Correct: Sempre $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$: i valori sopra la media hanno $z$ positivo, quelli sotto hanno $z$ negativo.

Mistake: Nei problemi inversi, usare la percentuale come punteggio z (z = 0,90) o scegliere la coda sbagliata (z = -1,28 per il 10% migliore)

Why: La percentuale è un'AREA, che si cerca all'interno della tavola. Il punteggio z si legge sui bordi di righe e colonne.

Correct: Il 10% migliore significa 0,90 a sinistra, che dà $z \approx 1{,}28$ (positivo, sopra la media). Il 10% più basso dà $z \approx -1{,}28$.

Controllo qualità: lattine poco riempite

Le aziende di bevande controllano quale parte delle lattine è sotto la quantità indicata in etichetta e regolano le macchine di riempimento.

Una linea riempie lattine con $\mu = 330$ mL e $\sigma = 2$ mL. Ogni lattina sotto i 327 mL viene segnalata come poco riempita.

Curve di crescita dal pediatra

I pediatri confrontano i neonati con le curve di crescita. Ogni curva del grafico è un percentile di una distribuzione normale.

In uno studio il peso dei bambini di 6 mesi è circa normale con $\mu = 8$ kg e $\sigma = 0{,}5$ kg. Un bambino sotto il 10° percentile riceve un controllo in più.

Organizzare una maratona cittadina

Gli organizzatori stimano quanti corridori saranno sul percorso in certi momenti, per pianificare ristori e volontari.

I tempi d'arrivo sono circa normali con $\mu = 240$ minuti e $\sigma = 30$ minuti. Gli organizzatori vogliono sapere quale parte dei corridori arriva tra 225 e 285 minuti.

Q: $P(X < 174)$ è diverso da $P(X \le 174)$?

A: No. Per una variabile continua un singolo valore ha probabilità 0, quindi $<$ e $\le$ danno la stessa area. Con la distribuzione binomiale è diverso, lì conta.

Q: Il mio punteggio z ha tre decimali, come 1,645. Che cosa faccio?

A: Arrotonda a due decimali per la tavola, oppure prendi un valore tra le due voci vicine. Per $z = 1{,}645$ le aree 0,9495 e 0,9505 sono ugualmente vicine, quindi 0,95 è una buona risposta.

Q: E se il punteggio z è fuori dalla tavola, per esempio $z = 4$?

A: Le tavole di solito arrivano a circa 3,49. Oltre, l'area a sinistra è praticamente 1 (per z grande e positivo) o praticamente 0 (per z grande e negativo). Valori così sono rarissimi.

Q: Perché un percentile corrisponde all'area a sinistra?

A: Il 90° percentile è il valore sotto cui si trova il 90% della popolazione. "Sotto" è il lato sinistro della curva, proprio ciò che misura la tavola.