Da r a R²

In un gruppo di studenti, la correlazione tra il tempo giornaliero davanti allo schermo ($x$, ore) e le ore di sonno ($y$) è $r = -0{,}7$. Trova $R^2$ e interpretalo.

Eleva al quadrato il coefficiente di correlazione: $R^2 = r^2 = (-0{,}7)^2 = 0{,}49$ = $R^2 = 0{,}49$

Scrivilo in percentuale: $0{,}49 = 49\%$ = 49%

Interpreta nel contesto: Il 49% della variabilità delle ore di sonno è spiegato dalla relazione lineare con il tempo davanti allo schermo. Il restante 51% dipende da altri fattori. = 49% spiegato, 51% non spiegato

Answer: $R^2 = 0{,}49$: il 49% della variabilità del sonno è spiegato dalla relazione lineare con il tempo davanti allo schermo. Elevando al quadrato il segno meno sparisce, perciò $R^2$ non è mai negativo.

R² dalle somme dei quadrati

Una gelateria descrive le vendite giornaliere con una retta di regressione in funzione della temperatura. La variabilità totale delle vendite è $SS_{\text{tot}} = 80$ e la somma dei quadrati dei residui è $SS_{\text{res}} = 12$. Trova $R^2$.

Trova la parte non spiegata: $\frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}} = \frac{12}{80} = 0{,}15$ = Rimane il 15%

Sottrai da 1: $R^2 = 1 - 0{,}15 = 0{,}85$ = $R^2 = 0{,}85$

Interpreta: L'85% della variabilità delle vendite giornaliere è spiegato dalla relazione lineare con la temperatura = 85% spiegato

Answer: $R^2 = 1 - \frac{12}{80} = 0{,}85$, quindi la retta spiega l'85% della variabilità delle vendite di gelato.

Da R² di nuovo a r

Una regressione del prezzo di un'auto usata ($y$, in migliaia di euro) sulla sua età ($x$, in anni) dà $\hat{y} = -1{,}5x + 20$ e $R^2 = 0{,}64$. Trova il coefficiente di correlazione $r$.

Calcola la radice quadrata di $R^2$: $\sqrt{0{,}64} = 0{,}8$ = $|r| = 0{,}8$

Scegli il segno in base alla pendenza: La pendenza $-1{,}5$ è negativa: le auto più vecchie costano meno, quindi la correlazione è negativa = $r$ è negativo

Scrivi $r$: $r = -\sqrt{0{,}64} = -0{,}8$ = $r = -0{,}8$

Answer: $r = -0{,}8$. La radice quadrata dà $0{,}8$ e la pendenza negativa indica il segno. $r$ ha sempre lo stesso segno della pendenza.

Calcolare R² dai dati

Cinque studenti hanno annotato le ore di studio ($x$) e il voto della verifica ($y$): $(1, 50)$, $(2, 60)$, $(3, 80)$, $(4, 70)$, $(5, 90)$. La retta di regressione è $\hat{y} = 9x + 43$. Calcola $R^2$.

Trova la media di $y$ e $SS_{\text{tot}}$: $\bar{y} = \frac{50+60+80+70+90}{5} = 70$ $SS_{\text{tot}} = (-20)^2 + (-10)^2 + 10^2 + 0^2 + 20^2 = 400 + 100 + 100 + 0 + 400$ = $SS_{\text{tot}} = 1000$

Trova i valori previsti e i residui: $\hat{y} = 52, 61, 70, 79, 88$ Residui $y - \hat{y}$: $-2, -1, 10, -9, 2$ = Residui: $-2, -1, 10, -9, 2$

Trova $SS_{\text{res}}$: $4 + 1 + 100 + 81 + 4$ = $SS_{\text{res}} = 190$

Calcola $R^2$: $R^2 = 1 - \frac{190}{1000} = 1 - 0{,}19 = 0{,}81$ = $R^2 = 0{,}81$

Answer: $R^2 = 0{,}81$: l'81% della variabilità dei voti è spiegato dalla relazione lineare con le ore di studio. Verifica: $r = \sqrt{0{,}81} = 0{,}9$, come nel primo diagramma di dispersione di questa lezione.

R² alto, modello sbagliato

I dati $(1, 1)$, $(2, 4)$, $(3, 9)$, $(4, 16)$, $(5, 25)$ hanno la retta di regressione $\hat{y} = 6x - 7$. Calcola $R^2$ e decidi se una retta è un buon modello.

Trova $SS_{\text{tot}}$: $\bar{y} = 11$, quindi $SS_{\text{tot}} = 100 + 49 + 4 + 25 + 196$ = $SS_{\text{tot}} = 374$

Trova i residui e $SS_{\text{res}}$: $\hat{y} = -1, 5, 11, 17, 23$, residui $2, -1, -2, -1, 2$ $SS_{\text{res}} = 4 + 1 + 4 + 1 + 4$ = $SS_{\text{res}} = 14$

Calcola $R^2$: $R^2 = 1 - \frac{14}{374} \approx 0{,}96$ = $R^2 \approx 0{,}96$

Osserva l'andamento dei residui: Segni: $+, -, -, -, +$. I residui formano una U invece di essere sparsi a caso = I dati sono curvi

Answer: $R^2 \approx 0{,}96$ è molto alto, ma i residui a forma di U mostrano che i dati seguono una curva ($y = x^2$). Un $R^2$ alto da solo non dimostra che il modello lineare sia corretto: controlla sempre i residui.

Mistake: Usare $r$ come percentuale: "$r = 0{,}5$, quindi è spiegato il 50% della variabilità"

Why: La percentuale di variabilità spiegata viene da $R^2$, non da $r$. Prima devi elevare al quadrato.

Correct: $R^2 = 0{,}5^2 = 0{,}25$, quindi è spiegato solo il 25% della variabilità.

Mistake: Dimenticare il segno quando si passa da $R^2$ a $r$

Why: $\sqrt{0{,}49} = 0{,}7$ è sempre positivo, ma $r$ può essere negativo. $R^2$ nasconde il verso della relazione.

Correct: Prendi il segno della pendenza: se la pendenza è negativa, $r = -\sqrt{R^2}$, per esempio $r = -0{,}7$.

Mistake: Pensare che un $R^2$ alto dimostri che $x$ causa $y$

Why: $R^2$ misura solo quanto bene una retta si adatta ai dati. Una variabile confondente può influenzare sia $x$ sia $y$.

Correct: Di' "l'81% della variabilità di $y$ è spiegato dalla relazione lineare con $x$", mai "$x$ causa l'81% di $y$". Per la causalità serve un esperimento controllato.

Mistake: Pensare che un $R^2$ alto significhi che una retta è il modello giusto

Why: Anche dati curvi possono dare $R^2 = 0{,}96$. $R^2$ non mostra gli andamenti nei residui.

Correct: Guarda sempre il grafico dei residui. Una dispersione casuale sostiene la retta; una U o un altro andamento significa che un altro modello si adatta meglio.

Analisi sportiva

Gli allenatori confrontano i dati di allenamento con i risultati in gara per vedere quanta parte della differenza di prestazione è legata all'allenamento.

Se la correlazione tra le ore di allenamento settimanali e il tempo sui 100 m è $r = -0{,}85$, allora $R^2 = 0{,}7225$: circa il 72% della variabilità dei tempi è spiegato dalla relazione lineare con le ore di allenamento.

Prezzi degli immobili

Gli analisti immobiliari costruiscono modelli di regressione per i prezzi delle case e usano $R^2$ per giudicare se un modello è abbastanza buono per fare stime.

Un modello del prezzo in funzione della superficie con $R^2 = 0{,}70$ spiega il 70% della variabilità dei prezzi; il restante 30% dipende da posizione, stato dell'immobile e altri fattori.

Medicina e dosaggio

Negli studi clinici i ricercatori verificano quanto la dose di un farmaco è legata alla variazione di una misura come la pressione sanguigna.

Se una dose più alta va con una pressione più bassa (pendenza negativa) e $R^2 = 0{,}36$, allora $r = -0{,}6$: una relazione lineare negativa moderata.

Q: R² può essere negativo?

A: Non per una retta di regressione ottenuta con il metodo dei minimi quadrati come quelle di questa lezione: $SS_{\text{res}}$ non è mai più grande di $SS_{\text{tot}}$, quindi $R^2$ resta tra $0$ e $1$. Anche elevare $r$ al quadrato dà sempre un numero uguale a $0$ o maggiore.

Q: Che cosa si considera un buon R²?

A: Dipende dal campo. Negli esperimenti di fisica sono comuni valori sopra $0{,}95$. Quando si studiano le persone (comportamento, salute, economia), un $R^2$ di $0{,}30$ può già essere utile, perché le persone sono influenzate da molti fattori.

Q: R² è sempre uguale a r²?

A: Sì nella regressione lineare semplice con una sola variabile esplicativa, che è l'argomento di questa lezione. Con più variabili esplicative non c'è un unico $r$, ma $R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}$ funziona ancora.

Q: Perché R² non dice nulla sul verso della relazione?

A: Perché elevando al quadrato si perde il segno: $r = 0{,}8$ e $r = -0{,}8$ danno entrambi $R^2 = 0{,}64$. Per conoscere il verso, guarda la pendenza della retta di regressione oppure $r$ stesso.