Un seno traslato verso destra

Descrivi il grafico di $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ rispetto a $y = \sin(x)$. Dove inizia il primo periodo e dove si trova il suo massimo?

Confronta con $y = \sin(B(x - C))$: $x - \frac{\pi}{4}$ ha già la forma $1 \cdot (x - C)$ = $B = 1$, $C = \frac{\pi}{4}$

Leggi il verso: $C$ è positivo = Traslazione di $\frac{\pi}{4}$ verso destra

Trova l'inizio del periodo: L'argomento vale $0$ quando $x - \frac{\pi}{4} = 0$ = Il periodo inizia in $x = \frac{\pi}{4}$

Sposta il massimo: $\sin(x)$ ha il massimo in $\frac{\pi}{2}$, quindi aggiungi $\frac{\pi}{4}$: $\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}$ = Massimo in $x = \frac{3\pi}{4}$

Answer: Il grafico è $y = \sin(x)$ traslato di $\frac{\pi}{4}$ verso destra. Il primo periodo inizia in $x = \frac{\pi}{4}$ e il massimo $1$ si trova in $x = \frac{3\pi}{4}$.

Un segno più significa sinistra

Trova lo sfasamento di $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$ e la nuova posizione del massimo che $\cos(x)$ ha in $x = 0$.

Scrivi il più come un meno: $x + \frac{\pi}{3} = x - \left(-\frac{\pi}{3}\right)$ = $C = -\frac{\pi}{3}$

Leggi il verso: $C$ è negativo = Traslazione di $\frac{\pi}{3}$ verso sinistra

Sposta il massimo: $0 + \left(-\frac{\pi}{3}\right)$ = Massimo in $x = -\frac{\pi}{3}$

Answer: Lo sfasamento è $-\frac{\pi}{3}$: il coseno si sposta di $\frac{\pi}{3}$ verso sinistra e il suo massimo ora è in $x = -\frac{\pi}{3}$.

Raccogli B prima di leggere la traslazione

Trova lo sfasamento e il periodo di $y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right)$. Dove inizia e dove finisce il primo periodo?

Raccogli $B = 2$: $2x - \frac{\pi}{2} = 2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ = $y = \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right)$

Leggi la traslazione: $C = \frac{\pi}{4}$, positivo = $\frac{\pi}{4}$ verso destra (non $\frac{\pi}{2}$)

Trova il periodo: $\frac{2\pi}{|B|} = \frac{2\pi}{2}$ = Periodo $= \pi$

Inizio e fine di un periodo: Inizio in $C = \frac{\pi}{4}$, fine in $\frac{\pi}{4} + \pi$ = Da $x = \frac{\pi}{4}$ a $x = \frac{5\pi}{4}$

Answer: Sfasamento di $\frac{\pi}{4}$ verso destra, periodo $\pi$. Un periodo va da $x = \frac{\pi}{4}$ a $x = \frac{5\pi}{4}$.

Un coseno con B e un segno più

Trova lo sfasamento e il periodo di $y = \cos\left(3x + \frac{\pi}{2}\right)$.

Raccogli $B = 3$: $3x + \frac{\pi}{2} = 3\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$, perché $\frac{\pi}{2} \div 3 = \frac{\pi}{6}$ = $y = \cos\left(3\left(x + \frac{\pi}{6}\right)\right)$

Scrivilo con un meno: $x + \frac{\pi}{6} = x - \left(-\frac{\pi}{6}\right)$ = $C = -\frac{\pi}{6}$

Leggi il verso: $C$ è negativo = $\frac{\pi}{6}$ verso sinistra

Trova il periodo: $\frac{2\pi}{3}$ = Periodo $= \frac{2\pi}{3}$

Answer: Il grafico è $y = \cos(3x)$ traslato di $\frac{\pi}{6}$ verso sinistra, con periodo $\frac{2\pi}{3}$.

Il coseno come seno traslato

Trova un valore di $C$ con $-\pi \le C \le \pi$ tale che $\sin(x - C) = \cos(x)$ per ogni $x$.

Confronta i massimi: $\cos(x)$ ha il massimo in $x = 0$, $\sin(x)$ in $x = \frac{\pi}{2}$ = Il picco del seno deve andare da $\frac{\pi}{2}$ a $0$

Trova quanto e in che verso: Da $\frac{\pi}{2}$ a $0$ ci sono $\frac{\pi}{2}$ verso sinistra = $C = -\frac{\pi}{2}$

Scrivi l'equazione: $\sin\left(x - \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)$ = $\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$

Verifica un punto: In $x = 0$: $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 = \cos(0)$ = Coincide

Answer: $C = -\frac{\pi}{2}$, quindi $\cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$. Anche spostare il seno di $\frac{3\pi}{2}$ verso destra funziona, perché la differenza è esattamente un periodo $2\pi$.

Mistake: Leggere $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ come una traslazione verso sinistra

Why: Il segno meno sembra indicare la sinistra, come sulla retta numerica. Ma la curva raggiunge ogni valore più tardi, quando $x - \frac{\pi}{3}$ vale quello che prima valeva $x$.

Correct: Un meno nella parentesi significa destra: $\sin(x - C)$ si sposta di $C$ verso destra, $\sin(x + C)$ di $C$ verso sinistra.

Mistake: Dire che la traslazione di $y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right)$ è $\frac{\pi}{2}$

Why: Il numero $\frac{\pi}{2}$ viene sottratto a $2x$, non a $x$. La traslazione riguarda solo $x$.

Correct: Raccogli $B$: $\sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right)$. La traslazione è $\frac{c}{B} = \frac{\pi}{4}$ verso destra.

Mistake: Pensare che uno sfasamento cambi il periodo o l'altezza

Why: Spostare un grafico di lato non lo allunga. Solo $B$ cambia il periodo e solo $A$ cambia l'ampiezza.

Correct: Dopo uno sfasamento la curva ha la stessa forma, lo stesso periodo e la stessa ampiezza. Cambia solo il punto in cui inizia ogni periodo.

Mistake: Pensare che $y = \sin(x - 2\pi)$ sia un grafico diverso da $y = \sin(x)$

Why: Il seno si ripete ogni $2\pi$, quindi spostarlo di un periodo intero mette ogni onda esattamente sulla successiva.

Correct: Traslazioni che differiscono di un periodo intero danno lo stesso grafico: $\sin(x - 2\pi) = \sin(x)$ e $\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(x - \frac{3\pi}{2}\right)$.

Prevedere l'alta marea

Nei porti il livello dell'acqua si modella con un seno traslato. Lo sfasamento dice quando l'acqua passa per il livello medio, e da lì si trova l'alta marea.

Se il livello dell'acqua è $h(t) = 1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{6}(t - 2)\right)$ metri sopra il livello medio, con $t$ in ore dopo mezzanotte, l'acqua sale passando per il livello medio in $t = 2$, alle 2:00.

Corrente alternata

Le reti elettriche in Europa funzionano a 50 Hz. Due tensioni con la stessa frequenza possono essere sfasate, e gli ingegneri misurano questa differenza come uno sfasamento in secondi.

La tensione $V_1 = \sin(100\pi t)$ ha periodo $\frac{2\pi}{100\pi} = \frac{1}{50}$ di secondo. Una seconda tensione $V_2 = \sin\left(100\pi t - \frac{\pi}{2}\right)$ raggiunge ogni massimo un po' più tardi.

Cuffie con cancellazione del rumore

Un microfono capta il rumore e le cuffie riproducono la stessa onda spostata di mezzo periodo. Dove il rumore sale, la copia scende, e le due si annullano.

Per il rumore $y = \sin(x)$ la copia è $y = \sin(x - \pi)$, che è uguale a $-\sin(x)$. La loro somma è $0$ ovunque.

Q: Perché si chiama sfasamento?

A: La fase è la posizione all'interno di un periodo (inizio, picco, zero, minimo). Uno sfasamento sposta ogni punto del periodo della stessa quantità, quindi tutta l'onda inizia prima o dopo.

Q: Lo sfasamento di $\sin(2x - \pi)$ è $\pi$ o $\frac{\pi}{2}$?

A: È $\frac{\pi}{2}$ verso destra. Raccogli $2$: $\sin(2x - \pi) = \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{2}\right)\right)$. Alcuni libri chiamano $\pi$ la fase iniziale, ma il grafico si sposta di $\frac{\pi}{2}$ sull'asse $x$.

Q: Un grafico può avere più di uno sfasamento corretto?

A: Sì. Aggiungere o togliere un periodo intero dà lo stesso grafico, quindi $\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ e $\sin\left(x + \frac{5\pi}{3}\right)$ sono identici. Di solito si indica la traslazione più piccola in valore assoluto.

Q: Conta l'ordine tra dilatare e traslare?

A: Sì. $\sin(2(x - 1))$ e $\sin(2x - 1)$ sono diversi: il primo è traslato di $1$ verso destra, il secondo solo di $\frac{1}{2}$. Scrivere la funzione come $\sin(B(x - C))$ evita la confusione.