Traslazione verticale

Se aggiungi una costante $D$ a una funzione seno o coseno, tutta l'onda si sposta **verso l'alto o verso il basso**. Si chiama **traslazione verticale**: $$y = A\sin(x) + D \qquad y = A\cos(x) + D$$ - Se $D > 0$, il grafico si sposta di $D$ unità **verso l'alto**. - Se $D < 0$, il grafico si sposta di $|D|$ unità **verso il basso**. - La forma, l'ampiezza e il periodo **non** cambiano. ## La linea mediana La **linea mediana** (o retta media) è la retta orizzontale attorno a cui oscilla l'onda. Per $y = \sin(x)$ è l'asse x ($y = 0$). Dopo la traslazione è $$\text{linea mediana: } y = D$$ ## Massimo, minimo e insieme immagine L'onda arriva $|A|$ unità sopra e sotto la linea mediana: | Elemento | Formula | |---------|---------| | Linea mediana | $y = D$ | | Valore massimo | $D + |A|$ | | Valore minimo | $D - |A|$ | | Insieme immagine | $[D - |A|,\ D + |A|]$ | ## Al contrario: A e D dai dati Se conosci il valore più alto e quello più basso, la linea mediana si trova esattamente a metà e l'ampiezza è metà della differenza: $$D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2} \qquad |A| = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}$$ Nella forma generale $y = A\sin(B(x - C)) + D$, la traslazione verticale è sempre l'ultima lettera, $D$. In questa lezione $B = 1$ e $C = 0$, a meno che una situazione reale non richieda un altro periodo.

Leggere linea mediana, massimo e minimo

Per $y = 3\sin(x) + 2$, trova la linea mediana, il massimo, il minimo e l'insieme immagine.

Individuare A e D: Confronta con $y = A\sin(x) + D$ = $A = 3$, $D = 2$

Scrivere la linea mediana: La linea mediana è $y = D$ = $y = 2$

Trovare massimo e minimo: $D + |A| = 2 + 3$ e $D - |A| = 2 - 3$ = Massimo $5$, minimo $-1$

Scrivere l'insieme immagine: Tutti i valori di y dal minimo al massimo = $[-1, 5]$

Answer: Linea mediana $y = 2$, massimo $5$, minimo $-1$, insieme immagine $[-1, 5]$.

Una traslazione verso il basso

Descrivi il grafico di $y = \cos(x) - 4$ rispetto a quello di $y = \cos(x)$.

Individuare D: $y = \cos(x) + (-4)$ = $D = -4$

Stabilire il verso: $D < 0$, quindi il grafico scende = Verso il basso di $4$ unità

Trovare la nuova linea mediana: L'asse x $y = 0$ diventa $y = -4$ = Linea mediana $y = -4$

Trovare il nuovo massimo e il nuovo minimo: $-4 + 1 = -3$ e $-4 - 1 = -5$ = Massimo $-3$, minimo $-5$

Answer: L'onda del coseno scende di 4 unità. Mantiene la sua forma e oscilla tra $-5$ e $-3$ attorno alla linea mediana $y = -4$.

Una A negativa con traslazione

Per $y = -2\cos(x) + 1$, trova il massimo e il minimo e dove vengono raggiunti in $[0, 2\pi]$.

Individuare A e D: Confronta con $y = A\cos(x) + D$ = $A = -2$, $D = 1$

Usare l'ampiezza, non A direttamente: $|A| = |-2| = 2$ = Ampiezza $2$

Trovare i valori massimo e minimo: $1 + 2 = 3$ e $1 - 2 = -1$ = Massimo $3$, minimo $-1$

Trovare dove vengono raggiunti: In $x = 0$: $-2\cos(0) + 1 = -1$. In $x = \pi$: $-2\cos(\pi) + 1 = 3$ = Minimo in $x = 0$ e $x = 2\pi$, massimo in $x = \pi$

Answer: Massimo $3$ in $x = \pi$, minimo $-1$ in $x = 0$ e $x = 2\pi$. La $A$ negativa ribalta l'onda, ma la linea mediana $y = 1$ e l'insieme immagine $[-1, 3]$ restano uguali.

Trovare A e D da massimo e minimo

Un'onda seno parte dalla sua linea mediana, prima sale e oscilla tra $9$ e $3$. Scrivi la sua equazione nella forma $y = A\sin(x) + D$.

Trovare la linea mediana: $D = \frac{9 + 3}{2} = \frac{12}{2}$ = $D = 6$

Trovare l'ampiezza: $|A| = \frac{9 - 3}{2} = \frac{6}{2}$ = $|A| = 3$

Scegliere il segno di A: L'onda parte dalla linea mediana e sale, come $\sin(x)$ = $A = 3$

Scrivere l'equazione: Sostituisci $A = 3$ e $D = 6$ = $y = 3\sin(x) + 6$

Answer: $y = 3\sin(x) + 6$. Verifica: $6 + 3 = 9$ e $6 - 3 = 3$.

Modellare la marea in un porto

L'acqua di un porto è profonda $11$ m con l'alta marea e $3$ m con la bassa marea. Un ciclo completo dura $12$ ore, e per $t = 0$ l'acqua è alla profondità media e sta salendo. Scrivi un modello $d(t) = A\sin(Bt) + D$ e trova la profondità per $t = 3$ ore.

Trovare la linea mediana (profondità media): $D = \frac{11 + 3}{2}$ = $D = 7$

Trovare l'ampiezza: $A = \frac{11 - 3}{2}$ (all'inizio sale, quindi positiva) = $A = 4$

Trovare B dal periodo: $B = \frac{2\pi}{12}$ = $B = \frac{\pi}{6}$

Scrivere il modello: Sostituisci $A$, $B$ e $D$ = $d(t) = 4\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 7$

Calcolare per t = 3: $4\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 7 = 4 \cdot 1 + 7$ = $d(3) = 11$

Answer: $d(t) = 4\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 7$. Dopo 3 ore l'acqua è profonda $11$ m: è alta marea.

Quasi tutte le onde reali non oscillano attorno a zero. Oscillano attorno a un livello tipico, e quel livello è la traslazione verticale: - **Maree**: l'acqua di un porto sale e scende attorno a una profondità media, per esempio tra 1 m e 5 m attorno a una linea mediana di 3 m. - **Ruote panoramiche**: una cabina sale e scende attorno all'altezza del centro della ruota, senza mai andare sotto la piattaforma di salita. - **Temperatura del giorno**: la temperatura oscilla attorno alla media del giorno, per esempio tra 12°C e 24°C attorno a 18°C. - **Pressione sanguigna e battito cardiaco**: la pressione pulsa tra circa 80 e 120 attorno a una linea mediana di 100. - **Ore di luce**: la durata del giorno varia durante l'anno attorno a circa 12 ore. Con la formula $D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}$ trasformi due misure in un modello utilizzabile, e con l'insieme immagine controlli a colpo d'occhio se il modello ha senso.

Mistake: Scrivere che il massimo di $y = -3\sin(x) + 1$ è $1 + (-3) = -2$

Why: L'onda arriva un'ampiezza sopra e sotto la linea mediana, e l'ampiezza è sempre positiva. Il segno di $A$ ribalta soltanto l'onda.

Correct: Massimo $= D + |A| = 1 + 3 = 4$, minimo $= D - |A| = 1 - 3 = -2$.

Mistake: Leggere $y = \sin(x) - 2$ come una traslazione di 2 verso l'alto

Why: In $y = A\sin(x) + D$ la traslazione è $D$ con il suo segno. Qui $D = -2$.

Correct: $y = \sin(x) - 2$ sposta l'onda di 2 unità **verso il basso**, la linea mediana è $y = -2$.

Mistake: Scambiare il massimo per l'ampiezza: in $y = 2\sin(x) + 5$ l'ampiezza sarebbe 7

Why: L'ampiezza si misura dalla linea mediana, non dall'asse x. La traslazione alza l'onda ma non la rende più alta.

Correct: L'ampiezza è $|A| = 2$. Il massimo è $5 + 2 = 7$.

Mistake: Dimenticare di dividere per 2: ampiezza $= \text{max} - \text{min}$

Why: $\text{max} - \text{min}$ è l'altezza totale dal punto più basso al più alto, cioè due ampiezze.

Correct: $|A| = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}$ e $D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}$. Con massimo 9 e minimo 3: $|A| = 3$, $D = 6$.

Ruote panoramiche

L'altezza di una cabina della ruota panoramica sale e scende come un'onda coseno. La linea mediana è l'altezza del centro della ruota.

Una ruota di 40 m di diametro con la cabina più bassa a 2 m da terra si modella con $h(t) = -20\cos\left(\frac{\pi}{10}t\right) + 22$ (t in minuti): ampiezza 20, linea mediana 22, insieme immagine $[2, 42]$.

Maree

Le capitanerie di porto e i navigatori modellano il livello dell'acqua con un'onda seno o coseno la cui linea mediana è il livello medio del mare.

Se l'alta marea è 5{,}2 m e la bassa marea 0{,}8 m, il livello medio è $\frac{5{,}2 + 0{,}8}{2} = 3$ m, quindi il modello ha $D = 3$.

La temperatura durante il giorno

I meteorologi modellano la temperatura nelle 24 ore con un'onda coseno attorno alla temperatura media del giorno.

Il modello $T(t) = -6\cos\left(\frac{\pi}{12}t\right) + 18$, con t in ore dopo le 3:00, è minimo alle 3:00 e massimo 12 ore dopo.

In $y = A\sin(x) + D$ e $y = A\cos(x) + D$, la costante $D$ sposta l'onda verso l'alto ($D > 0$) o verso il basso ($D < 0$)

La linea mediana è la retta orizzontale $y = D$, esattamente a metà tra il massimo e il minimo

Massimo $= D + |A|$ e minimo $= D - |A|$, sempre con il valore assoluto di $A$

L'insieme immagine è $[D - |A|,\ D + |A|]$

Dai dati: $D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}$ e $|A| = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}$

Una traslazione verticale non cambia né l'ampiezza né il periodo, solo la posizione di tutta l'onda

Q: La traslazione verticale cambia il periodo o l'ampiezza?

A: No. $D$ sposta ogni punto del grafico della stessa quantità verso l'alto o verso il basso, quindi l'onda mantiene la sua altezza e la sua larghezza. Cambiano solo la linea mediana, il massimo, il minimo e l'insieme immagine.

Q: La traslazione verticale è la stessa cosa della linea mediana?

A: Vengono dallo stesso numero. La traslazione è lo spostamento (per esempio 3 unità verso l'alto), e la linea mediana è la retta dove finisce il centro dell'onda ($y = 3$).

Q: Perché $\sin(x) + 2$ sale, ma $\sin(x + 2)$ no?

A: Un numero aggiunto fuori dalla funzione cambia l'uscita, quindi il grafico si sposta in verticale. Un numero aggiunto dentro, a $x$, cambia l'ingresso, quindi il grafico si sposta di lato. Quello spostamento laterale è lo sfasamento, trattato nella lezione Sfasamento.

Q: Un'onda seno traslata può restare tutta sopra l'asse x?

A: Sì, quando $D > |A|$. Allora il minimo $D - |A|$ è positivo. Per esempio $y = 2\sin(x) + 5$ non scende mai sotto $3$. Le altezze di una ruota panoramica e le profondità delle maree si comportano così.

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Traslazione verticale

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Trigonometria / Grafici trigonometrici

Traslazione verticale

Scopri come la costante D in y = A sen(x) + D sposta un'onda seno o coseno verso l'alto o verso il basso, fissa la sua linea mediana e ne determina massimo, minimo e insieme immagine.

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