Scrivere con seno e coseno

Semplifica $\dfrac{\tan x}{\sec x}$.

Scrivere tangente e secante con seno e coseno: $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ e $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ = $\dfrac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{1}{\cos x}}$

Dividere per una frazione: moltiplicare per la sua reciproca: $\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\cos x}{1}$ = $\frac{\sin x \cos x}{\cos x}$

Semplificare il fattore comune $\cos x$: $\frac{\sin x \cancel{\cos x}}{\cancel{\cos x}}$ = $\sin x$

Answer: $\dfrac{\tan x}{\sec x} = \sin x$

Raccoglimento e un'identità pitagorica

Semplifica $\cos^2 x \tan^2 x + \cos^2 x$.

Entrambi i termini contengono $\cos^2 x$: raccoglilo: $\cos^2 x \tan^2 x + \cos^2 x = \cos^2 x(\tan^2 x + 1)$ = $\cos^2 x(\tan^2 x + 1)$

Usare l'identità pitagorica $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$: $\cos^2 x \cdot \sec^2 x$ = $\cos^2 x \sec^2 x$

Usare l'identità reciproca $\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$: $\cos^2 x \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$ = $1$

Answer: $\cos^2 x \tan^2 x + \cos^2 x = 1$ (per ogni $x$ in cui $\tan x$ è definita)

Differenza di quadrati

Semplifica $\dfrac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos x - \sin x}$.

Riconoscere al numeratore una differenza di quadrati $a^2 - b^2$: $a = \cos x$, $b = \sin x$ = $\cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)$

Scrivere il numeratore scomposto sopra il denominatore: $\dfrac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{\cos x - \sin x}$ = Il fattore $\cos x - \sin x$ compare sopra e sotto

Semplificare il fattore comune: Si può, perché è un fattore di tutto il numeratore = $\cos x + \sin x$

Answer: $\dfrac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos x - \sin x} = \cos x + \sin x$ (dove $\cos x \neq \sin x$)

Sommare frazioni con denominatore comune

Semplifica $\dfrac{1}{1 + \cos x} + \dfrac{1}{1 - \cos x}$.

Usare il denominatore comune $(1 + \cos x)(1 - \cos x)$: $\dfrac{(1 - \cos x) + (1 + \cos x)}{(1 + \cos x)(1 - \cos x)}$ = Una sola frazione

Semplificare il numeratore: $1 - \cos x + 1 + \cos x = 2$ = $\dfrac{2}{(1 + \cos x)(1 - \cos x)}$

Svolgere il prodotto al denominatore (differenza di quadrati): $(1 + \cos x)(1 - \cos x) = 1 - \cos^2 x$ = $\dfrac{2}{1 - \cos^2 x}$

Usare l'identità pitagorica $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$: $\dfrac{2}{\sin^2 x}$ = $\dfrac{2}{\sin^2 x}$

Usare l'identità reciproca $\frac{1}{\sin^2 x} = \csc^2 x$: $2 \cdot \frac{1}{\sin^2 x}$ = $2\csc^2 x$

Answer: $\dfrac{1}{1 + \cos x} + \dfrac{1}{1 - \cos x} = 2\csc^2 x$

Verificare una semplificazione con un angolo

Una compagna sostiene che $\dfrac{\sin x + \tan x}{\tan x} = \cos x + 1$. Verificalo per $x = 60°$, poi confermalo con l'algebra.

Calcolare il primo membro per $x = 60°$: $\dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2} + 1$ = $1{,}5$

Calcolare il secondo membro per $x = 60°$: $\cos 60° + 1 = 0{,}5 + 1$ = $1{,}5$

Stesso valore, quindi supera la prova. Un solo angolo non dimostra nulla, quindi serve l'algebra: separare la frazione: $\dfrac{\sin x}{\tan x} + \dfrac{\tan x}{\tan x} = \sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} + 1$ = $\cos x + 1$

Answer: La semplificazione è corretta: $\dfrac{\sin x + \tan x}{\tan x} = \cos x + 1$. Se i due valori per $60°$ fossero stati diversi, sarebbe stata sicuramente sbagliata.

Mistake: Semplificare un termine invece di un fattore: $\dfrac{\sin x + \cos x}{\sin x} = \cos x$

Why: Si semplificano solo fattori di TUTTO il numeratore e di tutto il denominatore. Qui $\sin x$ è solo un termine della somma $\sin x + \cos x$. Per $x = 45°$ il primo membro vale $2$, mentre $\cos 45° \approx 0{,}71$.

Correct: Separa la frazione: $\dfrac{\sin x}{\sin x} + \dfrac{\cos x}{\sin x} = 1 + \cot x$.

Mistake: Dimenticare i quadrati: scrivere $1 - \sin x = \cos x$

Why: L'identità pitagorica riguarda i quadrati: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Senza quadrati è falsa: per $x = 30°$, $1 - \sin 30° = 0{,}5$ ma $\cos 30° \approx 0{,}87$.

Correct: È vera solo $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$. Se vedi $1 - \sin x$, pensa piuttosto alla differenza di quadrati o al coniugato.

Mistake: Sommare frazioni sommando i denominatori: $\dfrac{1}{\sin x} + \dfrac{1}{\cos x} = \dfrac{2}{\sin x + \cos x}$

Why: Le frazioni goniometriche seguono le stesse regole delle frazioni numeriche, e $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ non fa $\frac{2}{5}$.

Correct: Usa il denominatore comune $\sin x \cos x$: $\dfrac{\cos x + \sin x}{\sin x \cos x}$.

Mistake: Fidarsi di una verifica con un solo angolo particolare come $45°$

Why: Per $x = 45°$ vale $\sin x = \cos x$, quindi molte semplificazioni sbagliate (come $\sin x\tan x = \cos x$) lì danno per caso lo stesso numero.

Correct: Verifica con uno o due angoli "qualsiasi", per esempio $20°$ e $50°$. Una differenza prova un errore; valori uguali rendono il risultato solo probabile, a dimostrarlo è l'algebra.

Formule di ingegneria

Gli ingegneri ottengono spesso formule di forze e sollecitazioni come lunghe espressioni goniometriche dopo aver combinato più parti. Semplificare prima rende facili i conti e riduce gli errori.

La forza su una trave inclinata risulta $F = 50(1 - \cos^2\theta)\csc\theta$ newton. Poiché $(1 - \cos^2\theta)\csc\theta = \sin\theta$, è semplicemente $F = 50\sin\theta$.

Codice più veloce nei videogiochi e nella grafica

I motori dei videogiochi calcolano espressioni goniometriche milioni di volte al secondo. Ogni chiamata di funzione risparmiata semplificando rende il programma più veloce.

Una routine di rotazione calcola $\dfrac{\sin x}{\tan x}$ a ogni fotogramma. Poiché $\dfrac{\sin x}{\tan x} = \sin x \cdot \dfrac{\cos x}{\sin x} = \cos x$, due chiamate di funzione e una divisione diventano una sola chiamata.

Rampe e pendenze in cantiere

Muratori e geometri lavorano con l'altezza di una rampa su una distanza orizzontale. Le formule dei fogli di calcolo costruite in più passaggi nascondono spesso una semplice tangente.

Un foglio di calcolo trova l'altezza di una rampa con $h = d\sin x\sec x$, dove $d$ è la distanza orizzontale. Poiché $\sin x \sec x = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$, la formula è in realtà $h = d\tan x$.

Q: Come capisco che un'espressione è semplificata del tutto?

A: Di solito quando ha il minor numero possibile di termini e di funzioni diverse, senza frazioni dentro frazioni. Se il testo indica un obiettivo ("in funzione di $\sin x$", "come una sola funzione"), fermati quando raggiungi quella forma.

Q: Devo sempre scrivere tutto con seno e coseno?

A: È la strategia generale più sicura, perché restano solo due funzioni e si può applicare l'identità pitagorica $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. A volte una scorciatoia è più rapida, per esempio usare direttamente $\sec^2 x - 1 = \tan^2 x$.

Q: Basta una verifica con la calcolatrice?

A: È un ottimo modo per scovare errori: se le due forme danno valori diversi per lo stesso angolo, qualcosa non va. Ma valori uguali per uno o due angoli non dimostrano la semplificazione, lo fanno i passaggi algebrici.

Q: Perché alcuni risultati semplificati hanno condizioni come "dove $\cos x \neq \sin x$"?

A: Si può semplificare un fattore solo dove non vale zero. In quegli angoli l'espressione di partenza non è definita mentre quella semplificata può esserlo, quindi a rigore le due coincidono ovunque tranne in quegli angoli.