Verschil van kwadraten

Leer uitdrukkingen van de vorm a kwadraat min b kwadraat te herkennen en te ontbinden.

Gemiddeld25 minLes
Werkblad om te printen

Definitie

Het verschil van kwadraten is een speciaal ontbindingspatroon:
a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
Dit patroon werkt omdat bij het uitwerken van (a+b)(a−b)(a + b)(a - b) de middelste termen wegvallen:
(a+b)(a−b)=a2−ab+ab−b2=a2−b2(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2
De twee factoren (a+b)(a + b) en (a−b)(a - b) worden toegevoegde tweetermen genoemd - ze hebben dezelfde termen maar tegengestelde tekens in het midden.

Probeer het meteen

Welke uitdrukking is een verschil van kwadraten?

Uitgewerkte voorbeelden

Ontbind x2−16x^2 - 16
1

Controleer of het een verschil van kwadraten is

x2x^2 is een volkomen kwadraat, 16=4216 = 4^2 is een volkomen kwadraat, en er staat een minteken tussen → Ja, het is een verschil van kwadraten
2

Identificeer aa en bb

a2=x2⇒a=xa^2 = x^2 \Rightarrow a = x, en b2=16⇒b=4b^2 = 16 \Rightarrow b = 4 → a=xa = x, b=4b = 4
3

Pas de formule toe

a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) → (x+4)(x−4)(x + 4)(x - 4)
4

Controleer door uit te werken

(x+4)(x−4)=x2−4x+4x−16=x2−16(x + 4)(x - 4) = x^2 - 4x + 4x - 16 = x^2 - 16 \checkmark → Correct!

Veelgemaakte fouten

Proberen a2+b2a^2 + b^2 te ontbinden als (a+b)(a−b)(a + b)(a - b)

Waarom het fout is: Het patroon werkt alleen bij AFTREKKEN. Als je (a+b)(a−b)(a + b)(a - b) uitwerkt, krijg je a2−b2a^2 - b^2, niet a2+b2a^2 + b^2.

Correct: De som van kwadraten a2+b2a^2 + b^2 kan niet worden ontbonden over de reële getallen. Alleen het VERSCHIL van kwadraten kan worden ontbonden.

Vergeten te controleren of elke factor verder ontbonden kan worden

Waarom het fout is: Sommige uitdrukkingen zoals x4−16x^4 - 16 kunnen meerdere keren worden ontbonden: eerst naar (x2+4)(x2−4)(x^2 + 4)(x^2 - 4), dan (x2−4)(x^2 - 4) opnieuw ontbinden.

Correct: Controleer altijd: is het resultaat nog steeds een verschil van kwadraten? Zo ja, ontbind opnieuw totdat geen verdere ontbinding mogelijk is.

Volkomen kwadraten zoals 4949, 121121 of 4x24x^2 niet herkennen

Waarom het fout is: Om dit patroon te gebruiken, moet je identificeren dat beide termen volkomen kwadraten zijn.

Correct: Onthoud de volkomen kwadraten: 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,1441, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144. Voor variabelen: (2x)2=4x2(2x)^2 = 4x^2, (3y)2=9y2(3y)^2 = 9y^2.

Interactieve visualisatie

Oppervlaktemodel: verschil van kwadraten

Knip een hoek a × a uit x²: de rest vormt opnieuw een rechthoek (x + a) × (x − a).

(x−4)2(x - 4)^2
4(x−4)4(x - 4)
4(x−4)4(x - 4)
−16-16
x−4x - 4
44
x−4x - 4
44

Lengte × breedte = oppervlakte

(x+4)(x−4)=x2−16(x + 4)(x - 4) = x^2 - 16

Haal de hoek 4 × 4 (16) van x² af: x² − 16 = (x + 4)(x − 4).

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

18 opgaven
Opgave 1 van 18
Makkelijk
Welke uitdrukking is een verschil van kwadraten?

Waarom het belangrijk is

Het patroon van het verschil van kwadraten is een van de handigste afkortingen in algebra:
  • Hoofdrekenen: Bereken 47×5347 \times 53 direct als 502−32=2500−9=249150^2 - 3^2 = 2500 - 9 = 2491
  • Vereenvoudigen: Ontbind snel complexe uitdrukkingen zonder trial and error
  • Probleemoplossing: Veel meetkunde- en natuurkundeproblemen gebruiken dit patroon
  • Basis: Dit patroon verschijnt in calculus en hogere wiskunde
Dit patroon herkennen bespaart tijd en vermindert fouten bij talloze algebraopgaven!

Toepassingen in de echte wereld

Hoofdrekenen bij vermenigvuldiging

Bereken producten van getallen die even ver van een rond getal liggen met behulp van het verschil van kwadraten patroon.

Voorbeeld:

Om 23×2723 \times 27 te berekenen: Beide getallen liggen 2 van 25, dus 23×27=(25−2)(25+2)=252−22=625−4=62123 \times 27 = (25-2)(25+2) = 25^2 - 2^2 = 625 - 4 = 621

1Probeer het zelf

Een winkel verkoopt artikelen voor 48 euro en 52 euro. Een klant koopt er van elk een.

Gebruik het verschil van kwadraten om het totaal uit je hoofd te berekenen.

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf als (50−2)(50+2)(50-2)(50+2) en vereenvoudig:

Oppervlakte en meetkunde

Het verschil van kwadraten verschijnt bij het berekenen van de oppervlakte tussen twee vierkanten.

Voorbeeld:

Een groot vierkant heeft zijde x+3x + 3 en een klein vierkant erin heeft zijde x−3x - 3. De oppervlakte van de rand is (x+3)2−(x−3)2(x+3)^2 - (x-3)^2. Met ons patroon (met a=x+3a = x+3 en b=x−3b = x-3): =[(x+3)+(x−3)][(x+3)−(x−3)]=(2x)(6)=12x= [(x+3)+(x-3)][(x+3)-(x-3)] = (2x)(6) = 12x

2Probeer het zelf

Een fotolijst wordt gemaakt door een vierkant gat (zijde 10 cm) uit een groter vierkant (zijde 14 cm) te snijden.

Vind de oppervlakte van de lijst met het verschil van kwadraten.

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken 142−10214^2 - 10^2 met het patroon:

Belangrijke punten

  • 1De formule voor het verschil van kwadraten is a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
  • 2Beide termen moeten volkomen kwadraten zijn met een minteken ertussen
  • 3De factoren (a+b)(a + b) en (a−b)(a - b) worden toegevoegde tweetermen genoemd
  • 4Controleer altijd of het resultaat verder ontbonden kan worden (zoals x4−16x^4 - 16)
  • 5De som van kwadraten a2+b2a^2 + b^2 kan niet worden ontbonden over de reële getallen

Veelgestelde vragen

Nee, de som van kwadraten kan niet worden ontbonden met reële getallen. Het patroon van het verschil van kwadraten werkt ALLEEN als er een minteken is: a2−b2a^2 - b^2.
Nee, de som van kwadraten kan niet worden ontbonden met reële getallen. Het patroon van het verschil van kwadraten werkt ALLEEN als er een minteken is: a2−b2a^2 - b^2.
Als je (a+b)(a−b)(a+b)(a-b) uitwerkt, krijg je a2−ab+ab−b2a^2 - ab + ab - b^2. De termen −ab-ab en +ab+ab heffen elkaar op, en er blijft alleen a2−b2a^2 - b^2 over.
Voor getallen: controleer of het in de lijst 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, enz. staat. Voor variabelen: de exponent moet even zijn (zoals x2x^2, x4x^4, y6y^6), en elke coëfficiënt moet zelf een volkomen kwadraat zijn (zoals 4x2=(2x)24x^2 = (2x)^2).

Woordenlijst

Verschil van kwadraten
Een uitdrukking van de vorm a2−b2a^2 - b^2 die ontbindt als (a+b)(a−b)(a+b)(a-b)
Volkomen kwadraat
Een getal of uitdrukking die het kwadraat is van een geheel getal of eenterm (bijv. 16, x2x^2, 9y49y^4)
Toegevoegde tweetermen
Een paar tweetermen die alleen verschillen in het teken tussen hun termen: (a+b)(a+b) en (a−b)(a-b)
Volledig ontbinden
Een uitdrukking opsplitsen in factoren die niet verder ontbonden kunnen worden

Formulekaart

Verschil van kwadraten

a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)

Ontbind het verschil van twee volkomen kwadraten in toegevoegde tweetermen

Kwadraat van een som

a2+2ab+b2=(a+b)2a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2

Ontbind een drieterm als het kwadraat van een som

Kwadraat van een verschil

a2−2ab+b2=(a−b)2a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2

Ontbind een drieterm als het kwadraat van een verschil

Uitdaging van vandaagEén opgave, drie pogingen

Meer over dit onderwerp

Introductie tot ontbinden in factoren

Gemiddeld25 min

Ontbinden met de GGD

Gemiddeld25 min

Ontbinden door groeperen

Gemiddeld25 min

Ontbinden van trinomen (a=1)

Gemiddeld25 min