Som en Verschil van Kubussen

Leer uitdrukkingen van de vorm a³ + b³ en a³ - b³ te ontbinden met speciale formules.

Gevorderd25 minLes
Werkblad om te printen

Definitie

De som van kubussen en het verschil van kubussen zijn speciale ontbindingspatronen voor uitdrukkingen waarbij twee perfecte kubussen worden opgeteld of afgetrokken.

Formule voor de Som van Kubussen

a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

Formule voor het Verschil van Kubussen

a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
Geheugensteuntje: GTAP
  • Gelijk teken (als het origineel)
  • Tegengesteld
  • Altijd Positief
In (a±b)(a2∓ab+b2)(a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2):
  • Eerste factor: zelfde teken als het origineel
  • Middelste term van het trinoom: tegengesteld teken
  • Laatste term van het trinoom: altijd positief

Probeer het meteen

Welke van de volgende is een perfecte kubus?

Uitgewerkte voorbeelden

Ontbind x3+8x^3 + 8
1

Identificeer de perfecte kubussen

x3=(x)3x^3 = (x)^3 en 8=238 = 2^3 → a=xa = x, b=2b = 2
2

Pas de formule voor de som van kubussen toe

a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) → (x+2)(x2−2x+4)(x + 2)(x^2 - 2x + 4)
3

Controleer door uit te werken (optioneel)

(x+2)(x2−2x+4)=x3−2x2+4x+2x2−4x+8(x + 2)(x^2 - 2x + 4) = x^3 - 2x^2 + 4x + 2x^2 - 4x + 8 → x3+8x^3 + 8 \checkmark

Veelgemaakte fouten

Het tekenpatroon in het trinoom verwarren

Waarom het fout is: Leerlingen vergeten vaak of de middelste term positief of negatief is.

Correct: Gebruik GTAP: Gelijk, Tegengesteld, Altijd Positief. De middelste term heeft het TEGENGESTELDE teken van de binoomfactor.

Denken dat a2−ab+b2a^2 - ab + b^2 verder ontbonden kan worden

Waarom het fout is: Dit trinoom lijkt ontbonden te kunnen worden, maar kan niet worden ontbonden over de reele getallen.

Correct: De trinomen a2−ab+b2a^2 - ab + b^2 en a2+ab+b2a^2 + ab + b^2 zijn beide priemfactoren (kunnen niet verder worden ontbonden).

Kubussen niet correct identificeren

Waarom het fout is: Leerlingen herkennen getallen zoals 2727, 6464 of 125125 mogelijk niet als perfecte kubussen.

Correct: Leer de eerste tien kubussen uit het hoofd: 1,8,27,64,125,216,343,512,729,10001, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000.

De GGD niet eerst buiten haakjes halen

Waarom het fout is: Direct naar de kubusformules springen zonder te controleren op gemeenschappelijke factoren.

Correct: Controleer altijd op een GGD voordat je speciale ontbindingsformules toepast.

Interactieve visualisatie

Samengestelde ruimtefiguur

Volume

  • Kubus: V = s³ = 27 eenheden³
  • − Kubus (gat): V = s³ = 8 eenheden³

Totale inhoud: 19 eenheden³

De inhoud van een samengestelde figuur is de som van de inhouden van de delen. Een gat trek je eraf.

Oppervlakte

  • Kubus: 54 − 4 (openingen) = 50 eenheden²
  • + Kubus (binnenwand): 24 − 4 (openingen) = 20 eenheden²

Totale oppervlakte: 70 eenheden²

Bij de oppervlakte telt alleen de buitenkant: waar twee delen elkaar raken, is dat vlak verborgen en valt het bij allebei weg. Een gat haalt zijn openingen weg en voegt zijn binnenwand toe.

Grafiek van de functie

-4-3-2-10123-20-100102030xy(-2; 0)

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

x^3 + 8(x + 2)(x^2 - 2x + 4)
  • Nulpunt: (-2; 0)
  • Nulpunt: (-2; 0)

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

18 opgaven
Opgave 1 van 18
Makkelijk
Welke van de volgende is een perfecte kubus?

Waarom het belangrijk is

Som en verschil van kubussen komen overal in de hogere wiskunde voor:
  • Vereenvoudigen van algebraïsche uitdrukkingen: Veel complexe uitdrukkingen kunnen met deze formules worden ontbonden
  • Oplossen van derdegraads vergelijkingen: Het herkennen van kubuspatronen helpt bij vergelijkingen zoals x3=27x^3 = 27
  • Analyse: Deze patronen komen voor bij het vereenvoudigen van limieten en afgeleiden
  • Natuurkunde en techniek: Volumeberekeningen bevatten vaak kubische uitdrukkingen
Het beheersen van deze formules geeft je krachtige hulpmiddelen om uitdrukkingen te vereenvoudigen die anders zeer moeilijk te ontbinden zouden zijn.

Toepassingen in de echte wereld

Volumeberekeningen

Bij het berekenen van het verschil tussen twee kubische containers vereenvoudigen de som- en verschilformules van kubussen de algebra.

Voorbeeld:

Een grote kubus heeft zijde x+2x + 2 en een kleine kubus heeft zijde xx. Het volumeverschil is (x+2)3−x3(x+2)^3 - x^3.

1Probeer het zelf

Een beeldhouwer verwijdert een kubus met zijden van 3 cm uit een kubus met zijden van 5 cm.

Ontbind de uitdrukking voor het resterende volume: 53−335^3 - 3^3

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Gebruik de formule voor het verschil van kubussen met a=5a = 5 en b=3b = 3:

Techniek en Natuurkunde

Kubische relaties komen voor in formules voor vermogen, energie en vloeistofdynamica.

Voorbeeld:

De kinetische energie van wind is evenredig met de derde macht van de windsnelheid. Het vergelijken van twee windsnelheden omvat kubische uitdrukkingen.

2Probeer het zelf

Het windvermogen bij snelheid vv is evenredig met v3v^3. Hoeveel meer vermogen heeft een wind van 10 m/s vergeleken met 4 m/s?

Vereenvoudig 103−4310^3 - 4^3 door te ontbinden

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Pas het verschil van kubussen toe:

Belangrijke punten

  • 1Som van kubussen: a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
  • 2Verschil van kubussen: a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
  • 3Gebruik GTAP om de tekens te onthouden: Gelijk, Tegengesteld, Altijd Positief
  • 4Perfecte kubussen om te onthouden: 1,8,27,64,125,216,343,512,729,10001, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000
  • 5De trinoomfactor (a2±ab+b2a^2 \pm ab + b^2) kan niet verder worden ontbonden over de reele getallen
  • 6Haal altijd eerst de GGD buiten haakjes voordat je kubusformules toepast

Veelgestelde vragen

De discriminant van a2−ab+b2a^2 - ab + b^2 is b2−4(1)(b2)=−3b2<0b^2 - 4(1)(b^2) = -3b^2 < 0. Omdat deze negatief is, zijn er geen reele wortels, dus kan het niet worden ontbonden over de reele getallen.
De discriminant van a2−ab+b2a^2 - ab + b^2 is b2−4(1)(b2)=−3b2<0b^2 - 4(1)(b^2) = -3b^2 < 0. Omdat deze negatief is, zijn er geen reele wortels, dus kan het niet worden ontbonden over de reele getallen.
Controleer of je een geheel getal kunt vinden dat, tot de derde macht verheven, dat getal geeft. Bijvoorbeeld, 64=4364 = 4^3 omdat 4×4×4=644 \times 4 \times 4 = 64. Leer de veelvoorkomende kubussen: 1,8,27,64,125,216,343,512,729,10001, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000.
Verschil van kwadraten: a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) geeft twee binomen. Verschil van kubussen: a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) geeft een binoom en een trinoom.

Woordenlijst

Perfecte kubus
Een getal dat geschreven kan worden als n3n^3 waarbij nn een geheel getal is (bijv. 8=238 = 2^3, 27=3327 = 3^3)
Som van kubussen
Een uitdrukking van de vorm a3+b3a^3 + b^3, die ontbindt als (a+b)(a2−ab+b2)(a + b)(a^2 - ab + b^2)
Verschil van kubussen
Een uitdrukking van de vorm a3−b3a^3 - b^3, die ontbindt als (a−b)(a2+ab+b2)(a - b)(a^2 + ab + b^2)
GTAP
Geheugensteuntje: Gelijk, Tegengesteld, Altijd Positief - beschrijft de tekens in kubusontbindingsformules

Formulekaart

Som van Kubussen

a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

Ontbind de som van twee kubussen in binoom en trinoom

Verschil van Kubussen

a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

Ontbind het verschil van twee kubussen in binoom en trinoom

GTAP-Patroon

(a±b)(a2∓ab+b2)(a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)

Gelijk, Tegengesteld, Altijd Positief - tekenpatroon

Uitdaging van vandaagEén opgave, drie pogingen

Meer over dit onderwerp

Introductie tot ontbinden in factoren

Gemiddeld25 min

Ontbinden met de GGD

Gemiddeld25 min

Ontbinden door groeperen

Gemiddeld25 min

Ontbinden van trinomen (a=1)

Gemiddeld25 min