Synthetische deling

Leer een snellere methode om veeltermen te delen door lineaire factoren met behulp van synthetische deling.

Gevorderd25 minLes
Werkblad om te printen

Definitie

Synthetische deling is een verkorte methode om een veelterm te delen door een lineair binomiaal van de vorm (x−c)(x - c).
In plaats van lange deling te gebruiken, werken we alleen met de coëfficiënten en voeren we eenvoudige rekenkundige bewerkingen uit.
Wanneer synthetische deling te gebruiken:
  • De deler moet lineair zijn: (x−c)(x - c) of (x+c)(x + c)
  • De coëfficiënt van xx in de deler moet 11 zijn
De opzet: Om P(x)P(x) te delen door (x−c)(x - c):
  1. 1.Schrijf de waarde van cc (de wortel) links
  2. 2.Schrijf de coëfficiënten van P(x)P(x) op volgorde
  3. 3.Neem 00 op voor ontbrekende termen
canan−1⋯a0\begin{array}{c|cccc} c & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_0 \\ \end{array}

Probeer het meteen

Welke waarde van cc gebruik je bij synthetische deling door (x−5)(x - 5)?

Uitgewerkte voorbeelden

Deel (x3−6x2+11x−6)(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) door (x−2)(x - 2)
1

Identificeer de waarde van de deler

(x−2)(x - 2) betekent c=2c = 2
2

Schrijf de coefficienten op volgorde

x3−6x2+11x−6x^3 - 6x^2 + 11x - 6 heeft coefficienten: 1,−6,11,−61, -6, 11, -6 → 1−611−61 \quad -6 \quad 11 \quad -6
3

Zet de synthetische deling op

21−611−6\begin{array}{c|cccc} 2 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & & & \\ \hline & & & & \end{array}
→ Klaar om te berekenen
4

Haal de eerste coefficient naar beneden

21−611−61\begin{array}{c|cccc} 2 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & & & \\ \hline & 1 & & & \end{array}
→ Eerste coefficient: 11
5

Vermenigvuldig en tel op voor elke kolom

2×1=22 \times 1 = 2, dan −6+2=−4-6 + 2 = -4 2×(−4)=−82 \times (-4) = -8, dan 11+(−8)=311 + (-8) = 3 2×3=62 \times 3 = 6, dan −6+6=0-6 + 6 = 0 →
21−611−62−861−430\begin{array}{c|cccc} 2 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & 2 & -8 & 6 \\ \hline & 1 & -4 & 3 & 0 \end{array}
6

Schrijf het quotient en de rest

Onderste rij: 1,−4,31, -4, 3 zijn quotientcoefficienten; 00 is de rest → Quotient: x2−4x+3x^2 - 4x + 3, Rest: 00

Veelgemaakte fouten

Vergeten nullen op te nemen voor ontbrekende termen

Waarom het fout is: Elke macht van xx van de hoogste tot de constante moet een coefficient hebben. Ontbrekende termen hebben coefficient 00.

Correct: Voor x4−16x^4 - 16, schrijf: 1,0,0,0,−161, 0, 0, 0, -16 (nullen voor x3x^3, x2x^2 en xx)

Het verkeerde teken gebruiken voor c bij deling door (x+c)(x + c)

Waarom het fout is: Synthetische deling gebruikt de wortelvorm (x−c)(x - c). Bij deling door (x+2)(x + 2) heb je c=−2c = -2 nodig.

Correct: (x+2)=(x−(−2))(x + 2) = (x - (-2)), dus gebruik c=−2c = -2 in de opzet van de synthetische deling

Optellen wanneer je moet vermenigvuldigen, of andersom

Waarom het fout is: Het patroon is: vermenigvuldigen met cc, dan optellen bij de volgende coefficient.

Correct: Altijd: eerste coefficient naar beneden halen, dan herhalen (vermenigvuldigen met cc, optellen bij volgende coefficient)

Het quotient schrijven met de verkeerde graad

Waarom het fout is: Het quotient heeft een graad minder dan de oorspronkelijke veelterm.

Correct: Als je een derdegraads (x3x^3) deelt door een eerstegraads, is het quotient tweedegraads (x2x^2)

Interactieve visualisatie

Staartdeling van veeltermen

(x3−6x2+11x−6)÷(x−2)\left(x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6\right) \div \left(x - 2\right)
2211−6-61111−6-6
x−2x - 2 = 0 geeft 22. Schrijf 22 links en de coëfficiënten van het deeltal op een rij.

Grafiek van de functie

-1012345-6-4-20246xy(1; 0)(2; 0)(3; 0)P(2) = 0

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

P(x) = x³ - 6x² + 11x - 6
  • Nulpunt: (1; 0)
  • Nulpunt: (2; 0)
  • Nulpunt: (3; 0)

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

18 opgaven
Opgave 1 van 18
Makkelijk
Welke waarde van cc gebruik je bij synthetische deling door (x−5)(x - 5)?

Waarom het belangrijk is

Synthetische deling is een krachtig hulpmiddel dat tijd bespaart en fouten vermindert:
  • Snelheid: Veel sneller dan lange deling van veeltermen
  • Eenvoud: Gebruikt alleen basisrekenen (optellen en vermenigvuldigen)
  • Ontbinden: Helpt om snel wortels van veeltermen te vinden
  • Reststelling: Als je P(x)P(x) deelt door (x−c)(x - c), is de rest gelijk aan P(c)P(c)
Toepassingen in de praktijk:
  • Techniek: Analyse van overdrachtsfuncties in regelsystemen
  • Computergraphics: Berekeningen van polynoomkrommen
  • Financiën: Modelleren van groeipatronen met polynoomfuncties

Toepassingen in de echte wereld

Techniek: Overdrachtsfuncties

Ingenieurs gebruiken polynoomdeling bij het analyseren van regelsystemen. De overdrachtsfunctie van een systeem is vaak een verhouding van veeltermen.

Voorbeeld:

Als een systeem overdrachtsfunctie x3−6x2+11x−6x−2\frac{x^3 - 6x^2 + 11x - 6}{x - 2} heeft, vereenvoudigt synthetische deling dit tot x2−4x+3x^2 - 4x + 3.

1Probeer het zelf

Een filtercircuit heeft polynoomrespons P(x)=x3+2x2−5x−6P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6. Je moet het ontbinden door te testen of x=2x = 2 een wortel is.

Gebruik synthetische deling om te testen of (x−2)(x - 2) een factor is.

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Opzet: de coefficienten zijn 1,2,−5,−61, 2, -5, -6 met c=2c = 2

Informatica: Algoritme-optimalisatie

Efficiente evaluatie van veeltermen gebruikt ideeen uit synthetische deling. De methode van Horner is in wezen synthetische deling voor functie-evaluatie.

Voorbeeld:

Om P(5)P(5) te vinden voor P(x)=2x3−x2+3x−7P(x) = 2x^3 - x^2 + 3x - 7, gebruik synthetische deling met c=5c = 5. De rest is gelijk aan P(5)=213P(5) = 213.

2Probeer het zelf

Je moet P(x)=x3−4x+2P(x) = x^3 - 4x + 2 evalueren bij x=3x = 3 voor een grafische berekening.

Gebruik synthetische deling om P(3)P(3) te vinden.

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Coefficienten: 1,0,−4,21, 0, -4, 2 (vergeet de ontbrekende x2x^2 term niet!)

Belangrijke punten

  • 1Synthetische deling is een snelkoppeling voor het delen van veeltermen door (x−c)(x - c)
  • 2Gebruik alleen de coefficienten, inclusief 00 voor ontbrekende termen
  • 3Patroon: naar beneden halen, vermenigvuldigen met cc, optellen, herhalen
  • 4Het laatste getal is de rest; de andere getallen zijn quotientcoefficienten
  • 5Voor (x+c)(x + c), gebruik c=−cc = -c in de opzet
  • 6Reststelling: de rest is gelijk aan P(c)P(c)

Veelgestelde vragen

Nee, synthetische deling werkt alleen bij deling door een lineair binomiaal (x−c)(x - c) waarbij de coefficient van xx gelijk is aan 11. Voor andere delers zoals (2x−3)(2x - 3) of (x2+1)(x^2 + 1), gebruik lange deling van veeltermen.
Nee, synthetische deling werkt alleen bij deling door een lineair binomiaal (x−c)(x - c) waarbij de coefficient van xx gelijk is aan 11. Voor andere delers zoals (2x−3)(2x - 3) of (x2+1)(x^2 + 1), gebruik lange deling van veeltermen.
Synthetische deling is gebaseerd op de wortelvorm (x−c)(x - c). Aangezien (x+2)=(x−(−2))(x + 2) = (x - (-2)), is de waarde van cc gelijk aan −2-2. Denk eraan wat de deler nul maakt: x+2=0x + 2 = 0 betekent x=−2x = -2.
Wanneer je P(x)P(x) deelt door (x−c)(x - c), is de rest die je krijgt gelijk aan P(c)P(c) - de waarde van de veelterm bij x=cx = c. Dit betekent dat je synthetische deling kunt gebruiken om veeltermen snel te evalueren!

Woordenlijst

Synthetische deling
Een verkorte methode om een veelterm te delen door een lineair binomiaal (x−c)(x - c) met alleen de coefficienten
Deler
De veelterm waardoor je deelt; bij synthetische deling moet het van de vorm (x−c)(x - c) zijn
Quotient
Het resultaat van de deling (exclusief de rest)
Rest
Het bedrag dat overblijft na de deling; is gelijk aan P(c)P(c) volgens de reststelling
Reststelling
Stelt dat wanneer P(x)P(x) wordt gedeeld door (x−c)(x - c), de rest gelijk is aan P(c)P(c)
Factorstelling
Stelt dat (x−c)(x - c) een factor is van P(x)P(x) dan en slechts dan als P(c)=0P(c) = 0

Formulekaart

Opzet van synthetische deling

canan−1⋯a0\begin{array}{c|ccc} c & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_0 \end{array}

Schrijf $c$ links, coefficienten in aflopende volgorde rechts

Het algoritme

Naar beneden halen →\to Vermenigvuldigen met cc →\to Optellen →\to Herhalen

Doorgaan totdat alle coefficienten zijn verwerkt

Interpretatie van het resultaat

P(x)=(x−c)⋅Q(x)+RP(x) = (x-c) \cdot Q(x) + R

Laatste getal is rest $R$; andere vormen quotient $Q(x)$

Reststelling

P(c)=RP(c) = R

De rest is gelijk aan de veelterm geevalueerd bij $c$

Uitdaging van vandaagEén opgave, drie pogingen

Meer over dit onderwerp

Introductie tot polynomen

Gemiddeld25 min

FOIL-methode

Gemiddeld25 min

Polynomen optellen en aftrekken

Gevorderd25 min

Polynomen classificeren

Gemiddeld20 min