Coefficienten al tegengesteld

Los het stelsel op: $$\begin{cases} x + 2y = 7 \\ x - 2y = 1 \end{cases}$$

Identificeer tegengestelde coefficienten: De $y$-coefficienten zijn $+2$ en $-2$ - ze zijn tegengesteld! = Klaar om op te tellen

Tel de vergelijkingen op: $(x + 2y) + (x - 2y) = 7 + 1$ $2x + 0y = 8$ = $2x = 8$

Los op voor $x$: $2x = 8$ $x = 4$ = $x = 4$

Substitueer terug om $y$ te vinden: $4 + 2y = 7$ $2y = 3$ $y = 1,5$ = $y = 1,5$

Controleer de oplossing: Vergelijking 1: $4 + 2(1,5) = 4 + 3 = 7$ ✓ Vergelijking 2: $4 - 2(1,5) = 4 - 3 = 1$ ✓ = Beide vergelijkingen voldaan

Answer: De oplossing is $(4; 1,5)$

Vermenigvuldigen om tegengestelden te maken

Los het stelsel op: $$\begin{cases} 3x + 2y = 16 \\ x + y = 6 \end{cases}$$

Kies een variabele om te elimineren: Laten we $y$ elimineren. De $y$-coefficienten moeten tegengesteld worden. = Doel: $y$ elimineren

Vermenigvuldig vergelijking 2 met $-2$: $-2(x + y) = -2(6)$ $-2x - 2y = -12$ = Nieuwe vergelijking 2: $-2x - 2y = -12$

Tel de vergelijkingen op: $(3x + 2y) + (-2x - 2y) = 16 + (-12)$ $x + 0y = 4$ = $x = 4$

Substitueer terug om $y$ te vinden: $4 + y = 6$ $y = 2$ = $y = 2$

Controleer de oplossing: Vergelijking 1: $3(4) + 2(2) = 12 + 4 = 16$ ✓ Vergelijking 2: $4 + 2 = 6$ ✓ = Beide vergelijkingen voldaan

Answer: De oplossing is $(4; 2)$

Beide vergelijkingen vermenigvuldigen

Los het stelsel op: $$\begin{cases} 2x + 3y = 13 \\ 3x + 2y = 12 \end{cases}$$

Kies een variabele om te elimineren: Laten we $x$ elimineren. Huidige coefficienten: $2$ en $3$. Het kgv is $6$. = Coefficienten $6$ en $-6$ nodig

Vermenigvuldig vergelijking 1 met $3$: $3(2x + 3y) = 3(13)$ $6x + 9y = 39$ = $6x + 9y = 39$

Vermenigvuldig vergelijking 2 met $-2$: $-2(3x + 2y) = -2(12)$ $-6x - 4y = -24$ = $-6x - 4y = -24$

Tel de vergelijkingen op: $(6x + 9y) + (-6x - 4y) = 39 + (-24)$ $5y = 15$ = $y = 3$

Substitueer terug om $x$ te vinden: $2x + 3(3) = 13$ $2x + 9 = 13$ $2x = 4$ $x = 2$ = $x = 2$

Controleer de oplossing: Vergelijking 1: $2(2) + 3(3) = 4 + 9 = 13$ ✓ Vergelijking 2: $3(2) + 2(3) = 6 + 6 = 12$ ✓ = Beide vergelijkingen voldaan

Answer: De oplossing is $(2; 3)$

Mistake: Vergeten de hele vergelijking te vermenigvuldigen

Why: Bij het vermenigvuldigen om tegengestelde coefficienten te maken, moet elke term vermenigvuldigd worden, inclusief de constante aan de rechterkant.

Correct: Als je $x + 2y = 5$ met $3$ vermenigvuldigt, krijg je $3x + 6y = 15$, niet $3x + 6y = 5$.

Mistake: Optellen terwijl je moet aftrekken (of andersom)

Why: Voor eliminatie moeten de coefficienten echt tegengesteld zijn (zoals $+3$ en $-3$). Als ze gelijk zijn, moet je aftrekken.

Correct: Dezelfde tekens: vergelijkingen aftrekken. Tegengestelde tekens: vergelijkingen optellen.

Mistake: De oplossing niet in beide vergelijkingen controleren

Why: Een oplossing moet aan beide oorspronkelijke vergelijkingen voldoen. Slechts één vergelijking controleren kan fouten missen.

Correct: Substitueer je antwoord altijd in BEIDE oorspronkelijke vergelijkingen om te controleren.

Concertkaartverkoop

Evenementenorganisatoren gebruiken stelsels van vergelijkingen om kaartverkoop te analyseren wanneer verschillende types verschillende prijzen hebben.

Een concert verkocht in totaal 500 kaarten. VIP-kaarten kosten 80 euro en gewone kaarten 40 euro. De totale opbrengst was 28.000 euro. Hoeveel van elk type werden verkocht?

Scheikunde: mengsels in evenwicht brengen

Scheikundigen gebruiken eliminatie om te bepalen hoeveel van elke oplossing te mengen voor een gewenste concentratie.

Een scheikundige heeft 100 mL van een 30% zuuroplossing nodig. Ze heeft 20% en 50% zuuroplossingen beschikbaar. Hoeveel van elk moet ze mengen?

Q: Wanneer moet ik eliminatie gebruiken in plaats van substitutie?

A: Gebruik eliminatie wanneer: (1) de coefficienten al tegengesteld of gelijk zijn, (2) geen vergelijking al is opgelost voor een variabele, of (3) substitutie rommelige breuken zou maken. Gebruik substitutie wanneer een vergelijking al is opgelost voor een variabele (zoals $y = 3x + 2$).

Q: Wat als beide variabelen worden geëlimineerd?

A: Als je een ware uitspraak krijgt zoals $0 = 0$, heeft het stelsel oneindig veel oplossingen (de lijnen zijn dezelfde). Als je een onware uitspraak krijgt zoals $0 = 5$, heeft het stelsel geen oplossing (de lijnen zijn parallel).

Q: Maakt het uit welke variabele ik eerst elimineer?

A: Nee! Je krijgt hoe dan ook hetzelfde antwoord. Kies de variabele die de eenvoudigste vermenigvuldiging vereist om tegengestelde coefficienten te maken.