Wanneer een variabele al geïsoleerd is

Los het stelsel op: $$\begin{cases} y = 3x - 2 \\ 2x + y = 8 \end{cases}$$

Identificeer de geïsoleerde variabele: De eerste vergelijking heeft $y$ al geïsoleerd: $y = 3x - 2$ = $y = 3x - 2$

Substitueer in de andere vergelijking: Vervang $y$ door $(3x - 2)$ in de tweede vergelijking: $2x + (3x - 2) = 8$ = $2x + 3x - 2 = 8$

Los op naar $x$: $5x - 2 = 8$ $5x = 10$ $x = 2$ = $x = 2$

Substitueer terug om $y$ te vinden: $y = 3(2) - 2 = 6 - 2 = 4$ = $y = 4$

Controleer de oplossing: Controleer in de tweede vergelijking: $2(2) + 4 = 4 + 4 = 8$ ✓ = Oplossing geverifieerd!

Answer: De oplossing is $(2, 4)$

Eerst een variabele isoleren

Los het stelsel op: $$\begin{cases} x + y = 7 \\ 2x - 3y = -6 \end{cases}$$

Kies welke variabele te isoleren: Uit de eerste vergelijking, isoleer $x$: $x = 7 - y$ = $x = 7 - y$

Substitueer in de andere vergelijking: Vervang $x$ door $(7 - y)$ in de tweede vergelijking: $2(7 - y) - 3y = -6$ = $2(7 - y) - 3y = -6$

Werk uit en vereenvoudig: $14 - 2y - 3y = -6$ $14 - 5y = -6$ = $14 - 5y = -6$

Los op naar $y$: $-5y = -6 - 14$ $-5y = -20$ $y = 4$ = $y = 4$

Substitueer terug om $x$ te vinden: $x = 7 - 4 = 3$ = $x = 3$

Controleer in beide vergelijkingen: Vergelijking 1: $3 + 4 = 7$ ✓ Vergelijking 2: $2(3) - 3(4) = 6 - 12 = -6$ ✓ = Beide vergelijkingen voldaan!

Answer: De oplossing is $(3, 4)$

Stelsel met gehele oplossing

Los het stelsel op: $$\begin{cases} y = 2x + 1 \\ 4x - y = 5 \end{cases}$$

Identificeer de geïsoleerde variabele: $y$ is al geïsoleerd in de eerste vergelijking = $y = 2x + 1$

Substitueer in de tweede vergelijking: $4x - (2x + 1) = 5$ = $4x - 2x - 1 = 5$

Los op naar $x$: $2x - 1 = 5$ $2x = 6$ $x = 3$ = $x = 3$

Vind $y$: $y = 2(3) + 1 = 7$ = $y = 7$

Controleer: Controle: $4(3) - 7 = 12 - 7 = 5$ ✓ = Geverifieerd!

Answer: De oplossing is $(3, 7)$

De beste variabele kiezen om te isoleren

Los het stelsel op: $$\begin{cases} 3x + y = 10 \\ 5x - 2y = -4 \end{cases}$$

Kies de makkelijkste variabele om te isoleren: In de eerste vergelijking heeft $y$ coëfficiënt 1, dus isoleer $y$: $y = 10 - 3x$ = $y = 10 - 3x$

Substitueer in de tweede vergelijking: $5x - 2(10 - 3x) = -4$ = $5x - 2(10 - 3x) = -4$

Werk uit en combineer: $5x - 20 + 6x = -4$ $11x - 20 = -4$ = $11x - 20 = -4$

Los op naar $x$: $11x = 16$ $x = \frac{16}{11}$ = $x = \frac{16}{11}$

Vind $y$: $y = 10 - 3 \cdot \frac{16}{11} = 10 - \frac{48}{11} = \frac{110 - 48}{11} = \frac{62}{11}$ = $y = \frac{62}{11}$

Controleer: Controleer de eerste vergelijking: $3 \cdot \frac{16}{11} + \frac{62}{11} = \frac{48 + 62}{11} = \frac{110}{11} = 10$ ✓ = Oplossing geverifieerd!

Answer: De oplossing is $\left(\frac{16}{11}, \frac{62}{11}\right)$

Mistake: Vergeten te distribueren bij het substitueren

Why: Wanneer je een uitdrukking zoals $(3x - 2)$ substitueert en er staat een coëfficiënt voor, moet je distribueren.

Correct: Als je $2(3x - 2)$ hebt, distribueer naar $6x - 4$, niet $6x - 2$.

Mistake: Substitueren in dezelfde vergelijking

Why: Als je vergelijking 1 oplost naar $y$ en substitueert in vergelijking 1, krijg je alleen $0 = 0$ (altijd waar) en leer je niets.

Correct: Substitueer altijd in de ANDERE vergelijking om een nieuwe vergelijking met een variabele te maken.

Mistake: Tekenfouten bij het distribueren van negatieven

Why: Een uitdrukking aftrekken zoals $-(2x + 3)$ betekent elke term vermenigvuldigen met $-1$.

Correct: $-(2x + 3) = -2x - 3$, niet $-2x + 3$.

Mistake: De oplossing niet controleren in BEIDE vergelijkingen

Why: Een oplossing moet aan beide vergelijkingen voldoen. Alleen een vergelijking controleren garandeert geen correctheid.

Correct: Substitueer je antwoord altijd in beide oorspronkelijke vergelijkingen om te controleren.

Telefoonabonnementen vergelijken

Telefoonmaatschappijen bieden verschillende abonnementen aan. De substitutiemethode helpt om te vinden wanneer twee abonnementen evenveel kosten.

Abonnement A kost 20 euro per maand plus 0,10 euro per minuut. Abonnement B kost 30 euro per maand plus 0,05 euro per minuut. Wanneer zijn ze gelijk?

Oplossingen mengen in scheikunde

Wetenschappers moeten vaak oplossingen van verschillende concentraties mengen om een gewenst resultaat te krijgen.

Een scheikundige heeft 100 mL nodig van een 30% zuuroplossing. Hij heeft 20% en 50% oplossingen beschikbaar.

Budgetplanning

Bedrijven gebruiken stelsels vergelijkingen om kosten en inkomsten in balans te brengen.

Een bedrijf verkoopt basis- en premiumproducten. Als ze 50 artikelen verkopen en 2000 euro verdienen, met basis voor 30 euro en premium voor 50 euro, hoeveel van elk hebben ze verkocht?

Q: Wanneer moet ik substitutie gebruiken in plaats van eliminatie?

A: Gebruik substitutie wanneer een variabele al geïsoleerd is of coëfficiënt 1 heeft. Gebruik eliminatie wanneer beide vergelijkingen vergelijkbare coëfficiënten hebben die makkelijk geëlimineerd kunnen worden.

Q: Wat betekent het als ik $0 = 0$ of een tegenspraak zoals $0 = 5$ krijg?

A: Als je $0 = 0$ krijgt, heeft het stelsel oneindig veel oplossingen (de lijnen zijn dezelfde). Als je iets onmogelijks krijgt zoals $0 = 5$, is er geen oplossing (parallelle lijnen).

Q: Maakt het uit welke variabele ik eerst isoleer?

A: Wiskundig gezien niet - je krijgt hetzelfde antwoord. Praktisch gezien, kies de variabele die het makkelijkst te isoleren is (kleinste coëfficiënt, al gedeeltelijk geïsoleerd).