Hetzelfde grondtal, exponenten optellen

Vereenvoudig $3^2 \cdot 3^5$ en controleer de uitkomst.

Controleer de grondtallen: Beide machten hebben grondtal $3$ = Hetzelfde grondtal, dus de regel geldt

Tel de exponenten op: $3^2 \cdot 3^5 = 3^{2+5}$ = $3^7$

Controleer door de factoren te tellen: $(3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3)$ heeft $2 + 5 = 7$ factoren $3$ = $3^7$ ✓

Controleer met getallen: $3^2 = 9$, $3^5 = 243$, $9 \cdot 243 = 2187$ = $3^7 = 2187$ ✓

Answer: $3^2 \cdot 3^5 = 3^7 = 2187$

Machten van een letter

Vereenvoudig $x^2 \cdot x^5$.

Schrijf de factoren uit: $x^2 = x \cdot x$ en $x^5 = x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ = 2 factoren en 5 factoren

Tel alle factoren $x$: $2 + 5 = 7$ = 7 factoren $x$

Schrijf de uitkomst als één macht: $x^2 \cdot x^5 = x^{2+5}$ = $x^7$

Answer: $x^2 \cdot x^5 = x^7$

De verborgen exponent 1

Vereenvoudig $5 \cdot 5^3 \cdot 5^2$.

Geef elke factor een exponent: $5 = 5^1$ = $5^1 \cdot 5^3 \cdot 5^2$

Tel alle drie de exponenten op: $1 + 3 + 2 = 6$ = $5^6$

Bereken de waarde: $5^6 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$ = $15\,625$

Answer: $5 \cdot 5^3 \cdot 5^2 = 5^6 = 15\,625$

Coëfficiënten en machten

Vereenvoudig $3x^2 \cdot 4x^3$.

Zet de factoren in een andere volgorde (vermenigvuldigen mag in elke volgorde): $3x^2 \cdot 4x^3 = (3 \cdot 4) \cdot (x^2 \cdot x^3)$ = Getallen bij elkaar, machten bij elkaar

Vermenigvuldig de coëfficiënten: $3 \cdot 4 = 12$ = $12$

Tel de exponenten van $x$ op: $x^2 \cdot x^3 = x^{2+3}$ = $x^5$

Zet de delen samen: $12 \cdot x^5$ = $12x^5$

Answer: $3x^2 \cdot 4x^3 = 12x^5$

Twee verschillende letters

Vereenvoudig $2a^3b \cdot 5a^4b^2$.

Groepeer de getallen en elke letter: $(2 \cdot 5) \cdot (a^3 \cdot a^4) \cdot (b \cdot b^2)$ = Drie groepen

Vermenigvuldig de coëfficiënten: $2 \cdot 5 = 10$ = $10$

Grondtal $a$: tel de exponenten op: $a^3 \cdot a^4 = a^{3+4}$ = $a^7$

Grondtal $b$: onthoud dat $b = b^1$: $b^1 \cdot b^2 = b^{1+2}$ = $b^3$

Schrijf de uitkomst op: $a$ en $b$ zijn verschillende grondtallen, dus ze blijven apart = $10a^7b^3$

Answer: $2a^3b \cdot 5a^4b^2 = 10a^7b^3$

Mistake: De exponenten vermenigvuldigen: $2^3 \cdot 2^4 = 2^{12}$

Why: De exponenten tellen factoren. Drie factoren en vier factoren zijn $3 + 4 = 7$ factoren, niet $3 \cdot 4 = 12$. Controle: $8 \cdot 16 = 128$, maar $2^{12} = 4096$. Exponenten vermenigvuldig je bij een macht van een macht, zoals $(2^3)^4$.

Correct: $2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$

Mistake: De grondtallen vermenigvuldigen: $2^3 \cdot 2^4 = 4^7$

Why: Elke factor in de rij is nog steeds een $2$. Er wordt niets een $4$. En $4^7 = 16\,384$, veel meer dan het echte product $128$.

Correct: Houd het grondtal: $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$

Mistake: Exponenten van verschillende grondtallen optellen: $2^3 \cdot 3^2 = 6^5$ of $5^5$

Why: De regel werkt alleen bij hetzelfde grondtal, want alleen dan zijn alle factoren gelijk. $2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$, terwijl $6^5 = 7776$.

Correct: Laat het staan als $2^3 \cdot 3^2$ of reken het uit: $8 \cdot 9 = 72$

Mistake: De coëfficiënten optellen: $3x^2 \cdot 4x^3 = 7x^5$

Why: De coëfficiënten $3$ en $4$ zijn gewone factoren, dus die vermenigvuldig je. Alleen de exponenten van hetzelfde grondtal tel je op.

Correct: $3x^2 \cdot 4x^3 = (3 \cdot 4)\,x^{2+3} = 12x^5$

Computergeheugen

Computers tellen geheugen in machten van 2, dus geheugengroottes vermenigvuldig je met deze regel.

Een kilobyte is $2^{10}$ bytes en een megabyte is $2^{10}$ kilobytes, dus een megabyte is $2^{10} \cdot 2^{10} = 2^{20}$ bytes.

Tellen met machten van tien

Grote aantallen in winkels en magazijnen zijn makkelijk te hanteren als machten van 10.

$10^2$ kisten met elk $10^3$ schroeven bevatten $10^2 \cdot 10^3 = 10^5 = 100\,000$ schroeven.

Papier vouwen

Elke vouw verdubbelt het aantal lagen van een vel papier, dus het aantal lagen groeit in machten van 2.

Na 2 keer vouwen zijn er $2^2 = 4$ lagen, na 3 keer vouwen $2^3 = 8$ lagen.

Q: Waarom tel je de exponenten op en vermenigvuldig je ze niet?

A: Elke exponent telt factoren. $2^3$ zijn 3 factoren 2 en $2^4$ zijn nog 4 factoren 2, dus samen zijn er $3 + 4 = 7$ factoren: $2^7$. Exponenten vermenigvuldig je in een andere situatie, bij een macht van een macht zoals $(2^3)^4$, die een eigen les heeft.

Q: Werkt de regel ook met meer dan twee machten?

A: Ja. Tel alle exponenten op: $2 \cdot 2^2 \cdot 2^3 = 2^{1+2+3} = 2^6 = 64$.

Q: Mag ik de regel gebruiken bij $2^3 \cdot 3^3$?

A: Nee, de grondtallen zijn verschillend, dus je mag de exponenten niet optellen. Hier zijn de exponenten toevallig gelijk, en dan helpt een andere regel: $2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3 = 6^3 = 216$. Controle: $8 \cdot 27 = 216$. Bij verschillende grondtallen en verschillende exponenten, zoals $2^3 \cdot 3^2$, reken je het gewoon uit: $8 \cdot 9 = 72$.

Q: Is $2^3 + 2^4$ gelijk aan $2^7$?

A: Nee. Deze regel geldt alleen voor vermenigvuldigen. $2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24$, terwijl $2^7 = 128$.