Machten van hetzelfde getal delen

Vereenvoudig $\frac{5^6}{5^2}$ en bereken de waarde.

Controleer de grondtallen: Beide machten hebben grondtal $5$ = Hetzelfde grondtal, de regel geldt

Trek de exponenten af (boven min onder): $6 - 2 = 4$ = $5^4$

Bereken de macht: $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$ = $625$

Controleer door beide machten uit te rekenen: $5^6 : 5^2 = 15625 : 25$ = $625$, dezelfde uitkomst

Answer: $\frac{5^6}{5^2} = 5^4 = 625$

Machten van een variabele delen

Vereenvoudig $\frac{x^9}{x^4}$ (met $x \neq 0$).

Denk aan de factoren: $9$ factoren $x$ boven, $4$ factoren $x$ onder = $4$ gemeenschappelijke factoren

Deel de gemeenschappelijke factoren weg: Elke $x$ onder deelt een $x$ boven weg = Er blijven $9 - 4 = 5$ factoren boven

Schrijf de uitkomst als macht: $x^{9-4}$ = $x^5$

Answer: $\frac{x^9}{x^4} = x^5$

Delen met coëfficiënten

Vereenvoudig $\frac{12x^7}{4x^3}$.

Splits in een getallendeel en een machtdeel: $\frac{12x^7}{4x^3} = \frac{12}{4} \cdot \frac{x^7}{x^3}$ = Twee aparte delingen

Deel de coëfficiënten: $12 : 4$ = $3$

Trek de exponenten af: $7 - 3 = 4$ = $x^4$

Zet de delen weer samen: $3 \cdot x^4$ = $3x^4$

Answer: $\frac{12x^7}{4x^3} = 3x^4$

Twee verschillende variabelen

Vereenvoudig $\frac{18a^6b^5}{6a^2b}$.

Deel de coëfficiënten: $18 : 6$ = $3$

Pas de regel toe op grondtal $a$: $a^{6-2}$ = $a^4$

Pas de regel toe op grondtal $b$ (denk eraan: $b = b^1$): $b^{5-1}$ = $b^4$

Zet alle delen samen: $3 \cdot a^4 \cdot b^4$ = $3a^4b^4$

Answer: $\frac{18a^6b^5}{6a^2b} = 3a^4b^4$

Eerst vermenigvuldigen, dan delen

Vereenvoudig $\frac{6x^5 \cdot 2x^3}{4x^6}$.

Vermenigvuldig de coëfficiënten in de teller: $6 \cdot 2$ = $12$

Pas in de teller de regel voor het product toe (exponenten optellen): $x^5 \cdot x^3 = x^{5+3}$ = Teller: $12x^8$

Deel de coëfficiënten: $12 : 4$ = $3$

Pas de regel voor het quotiënt toe (exponenten aftrekken): $x^{8-6}$ = $x^2$

Answer: $\frac{6x^5 \cdot 2x^3}{4x^6} = 3x^2$

Mistake: De exponenten delen: $\frac{x^8}{x^2} = x^4$

Why: Machten delen betekent niet exponenten delen. De $2$ factoren onder delen $2$ van de $8$ factoren boven weg, dus er blijven $8 - 2$ factoren over, niet $8 : 2$.

Correct: $\frac{x^8}{x^2} = x^{8-2} = x^6$

Mistake: In de verkeerde volgorde aftrekken: $\frac{3^7}{3^2} = 3^{2-7}$

Why: De exponent van de teller komt altijd eerst. Hier heeft de teller meer factoren, dus na het wegdelen blijven de factoren boven en is de exponent positief.

Correct: $\frac{3^7}{3^2} = 3^{7-2} = 3^5 = 243$

Mistake: De grondtallen delen: $\frac{6^5}{6^2} = 1^3$

Why: Het grondtal vertelt welk getal wordt vermenigvuldigd, en dat verandert niet. Alleen het aantal factoren verandert.

Correct: $\frac{6^5}{6^2} = 6^{5-2} = 6^3 = 216$

Mistake: Ook de coëfficiënten aftrekken: $\frac{12x^7}{4x^3} = 8x^4$

Why: Coëfficiënten zijn gewone getallen, en een breukstreep betekent delen: $12 : 4$. Alleen de exponenten van hetzelfde grondtal worden afgetrokken.

Correct: $\frac{12x^7}{4x^3} = \frac{12}{4} \cdot x^{7-3} = 3x^4$

Foto's op een geheugenkaart

Computergeheugen wordt geteld in machten van 2, dus opslaggroottes delen is een klus voor de rekenregel voor het quotiënt.

1 MB is $2^{20}$ bytes en 1 KB is $2^{10}$ bytes, dus in 1 MB passen $\frac{2^{20}}{2^{10}} = 2^{10} = 1024$ KB.

Hoe lang zonlicht nodig heeft om de aarde te bereiken

Sterrenkundigen delen enorme afstanden door snelheden in wetenschappelijke notatie: deel de getallen vooraan en trek de exponenten van 10 af.

Een afstand van $6 \cdot 10^8$ km met $3 \cdot 10^5$ km per seconde duurt $\frac{6}{3} \cdot 10^{8-5} = 2 \cdot 10^3 = 2000$ seconden.

Budget per inwoner

Economen delen grote geldbedragen door het aantal inwoners om landen van verschillende grootte te vergelijken.

Als $8 \cdot 10^9$ € wordt verdeeld over $4 \cdot 10^6$ mensen, krijgt ieder $2 \cdot 10^3 = 2000$ €.

Q: Waarom staat er bij de regel $a \neq 0$?

A: Omdat je niet door nul kunt delen. Met $a = 0$ zou de noemer $0^n$ gelijk zijn aan $0$, en dan heeft de breuk helemaal geen waarde.

Q: Wat gebeurt er als beide exponenten gelijk zijn?

A: Dan valt elke factor weg, bijvoorbeeld $\frac{4^3}{4^3} = 1$. De regel geeft $4^{3-3} = 4^0$, en waarom $4^0$ gelijk is aan $1$ legt de les Exponent nul uit.

Q: En als de exponent onder groter is, zoals bij $\frac{2^3}{2^5}$?

A: Deel weg zoals altijd: $3$ factoren vallen weg en $2$ factoren $2$ blijven onder staan, dus $\frac{2^3}{2^5} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$. Hoe je dit met één exponent schrijft, zie je in de les Negatieve exponenten.

Q: Mag ik de regel gebruiken bij verschillende grondtallen, zoals $\frac{6^4}{2^3}$?

A: Nee. De regel telt alleen factoren van één en hetzelfde grondtal. Reken de machten dan uit: $\frac{6^4}{2^3} = \frac{1296}{8} = 162$.