Een deling die precies uitkomt

Bereken $(8 \times 10^9) \div (2 \times 10^3)$.

Deel de coëfficiënten: $8 \div 2 = 4$ = $4$

Trek de exponenten af (rekenregel voor machten): $10^9 \div 10^3 = 10^{9-3} = 10^6$ = $10^6$

Zet alles samen en controleer de coëfficiënt: $4 \times 10^6$, en $1 \le 4 < 10$ = Al genormaliseerd

Answer: $(8 \times 10^9) \div (2 \times 10^3) = 4 \times 10^6$

De coëfficiënt zakt onder 1

Bereken $(1{,}2 \times 10^5) \div (3 \times 10^2)$ en schrijf de uitkomst in wetenschappelijke notatie.

Deel de coëfficiënten: $1{,}2 \div 3 = 0{,}4$ = $0{,}4$

Trek de exponenten af: $10^{5-2} = 10^3$ = $0{,}4 \times 10^3$

Controleer de coëfficiënt: $0{,}4 < 1$, dus dit is nog geen wetenschappelijke notatie = Normaliseren

Schuif de komma één plaats naar rechts, maak de exponent 1 kleiner: $0{,}4 \times 10^3 = (4 \times 10^{-1}) \times 10^3 = 4 \times 10^2$ = $4 \times 10^2$

Answer: $(1{,}2 \times 10^5) \div (3 \times 10^2) = 4 \times 10^2 = 400$

Delen met negatieve exponenten

Bereken $(6 \times 10^{-4}) \div (2 \times 10^{-7})$.

Deel de coëfficiënten: $6 \div 2 = 3$ = $3$

Schrijf het aftrekken van de exponenten helemaal uit: $-4 - (-7)$ = Een negatief getal aftrekken

Een negatief getal aftrekken is optellen: $-4 - (-7) = -4 + 7 = 3$ = $10^3$

Zet alles samen en controleer: $3 \times 10^3$, en $1 \le 3 < 10$ = $3 \times 10^3$

Answer: $(6 \times 10^{-4}) \div (2 \times 10^{-7}) = 3 \times 10^3 = 3000$

Een quotiënt dat nooit ophoudt

Bereken $(7 \times 10^8) \div (3 \times 10^3)$. Rond de coëfficiënt af op 3 significante cijfers.

Deel de coëfficiënten: $7 \div 3 = 2{,}333\ldots$ (de 3 herhaalt zich eindeloos) = $2{,}333\ldots$

Rond af op 3 significante cijfers: Cijfers $2$, $3$, $3$; het volgende cijfer is $3$, dus naar beneden afronden = $2{,}33$

Trek de exponenten af: $10^{8-3} = 10^5$ = $10^5$

Zet alles samen met het teken voor ongeveer gelijk: $2{,}33 \times 10^5$, en $1 \le 2{,}33 < 10$ = $\approx 2{,}33 \times 10^5$

Answer: $(7 \times 10^8) \div (3 \times 10^3) \approx 2{,}33 \times 10^5$

Hoe oud is zonlicht?

De zon staat ongeveer $1{,}5 \times 10^{11}$ m van de aarde. Licht legt $3 \times 10^8$ m per seconde af. Hoeveel seconden doet zonlicht erover om ons te bereiken?

Kies de bewerking: tijd = afstand ÷ snelheid: $(1{,}5 \times 10^{11}) \div (3 \times 10^8)$ = Delen

Deel de coëfficiënten: $1{,}5 \div 3 = 0{,}5$ = $0{,}5$

Trek de exponenten af: $10^{11-8} = 10^3$ = $0{,}5 \times 10^3$

Normaliseer: $0{,}5 \times 10^3 = 5 \times 10^2$ = $5 \times 10^2$ s

Maak het makkelijk voor te stellen: $500 \div 60 \approx 8{,}3$ = Ongeveer 8,3 minuten

Answer: $5 \times 10^2 = 500$ seconden, iets meer dan 8 minuten

Mistake: De exponenten delen: $10^8 \div 10^2 = 10^4$

Why: De exponent telt hoeveel factoren 10 met elkaar vermenigvuldigd worden. Bij delen vallen factoren 10 tegen elkaar weg, dus je trekt de exponent af, je deelt hem niet.

Correct: Aftrekken: $10^8 \div 10^2 = 10^{8-2} = 10^6$ (acht factoren 10 gedeeld door twee factoren 10 laat er zes over).

Mistake: In de verkeerde volgorde aftrekken: $10^3 \div 10^7 = 10^4$

Why: Bij delen doet de volgorde ertoe. De exponent van het getal waar je DOOR deelt, gaat van de bovenste exponent af.

Correct: Altijd boven min onder: $10^3 \div 10^7 = 10^{3-7} = 10^{-4}$, een klein getal, zoals je verwacht als je door iets groters deelt.

Mistake: In de verkeerde richting normaliseren: $0{,}4 \times 10^3 = 4 \times 10^4$

Why: Als de coëfficiënt 10 keer zo groot wordt, moet de macht van tien 10 keer zo klein worden, anders verandert de waarde van $400$ in $40\,000$.

Correct: Coëfficiënt één plaats omhoog, exponent één omlaag: $0{,}4 \times 10^3 = 4 \times 10^2$. Controle: allebei $400$.

Mistake: Een teken kwijtraken bij negatieve exponenten: $10^5 \div 10^{-3} = 10^2$

Why: Het tweede minteken is weggevallen. $-3$ aftrekken is hetzelfde als $3$ optellen.

Correct: $10^5 \div 10^{-3} = 10^{5-(-3)} = 10^{5+3} = 10^8$. Delen door een piepklein getal geeft een grote uitkomst.

Sterrenkunde: reistijd van licht

Sterrenkundigen delen een afstand door de lichtsnelheid om te weten hoe lang het licht al onderweg is. Daarom zien we de zon zoals hij een paar minuten geleden was en verre sterren zoals ze jaren geleden waren.

De maan staat ongeveer $3{,}84 \times 10^8$ m van ons af. Licht doet er $(3{,}84 \times 10^8) \div (3 \times 10^8) = 1{,}28 \times 10^0 = 1{,}28$ seconden over om er te komen.

Aardrijkskunde: bevolkingsdichtheid

Bevolkingsdichtheid is het aantal inwoners gedeeld door de oppervlakte. Het laat zien hoe vol een land of stad is, en zo vergelijken planologen plaatsen van heel verschillende grootte.

Duitsland heeft ongeveer $8{,}4 \times 10^7$ inwoners op ongeveer $3{,}5 \times 10^5$ km². Dichtheid: $(8{,}4 \div 3{,}5) \times 10^{7-5} = 2{,}4 \times 10^2$, ongeveer $240$ inwoners per km².

Economie: bedrag per inwoner

In het nieuws staan landelijke cijfers (begrotingen, schulden, totale uitgaven) in miljarden of biljoenen. Als je ze deelt door het aantal inwoners, krijg je een bedrag per persoon dat je je goed kunt voorstellen.

Een land met $4 \times 10^7$ inwoners geeft per jaar $1{,}2 \times 10^{11}$ € uit aan voedsel: $(1{,}2 \div 4) \times 10^{11-7} = 0{,}3 \times 10^4 = 3 \times 10^3$, dus ongeveer 3000 € per persoon.

Q: Kan de coëfficiënt bij delen groter dan 10 worden?

A: Nee. Beide coëfficiënten liggen tussen 1 en 10, dus hun quotiënt is altijd groter dan $0{,}1$ en kleiner dan $10$. Daarom hoef je bij delen maar in één richting te normaliseren: een coëfficiënt onder 1 schuift één plaats naar rechts en de exponent gaat 1 omlaag.

Q: Waarom trekken we de exponenten af?

A: Omdat $10^m$ betekent dat $m$ factoren 10 vermenigvuldigd worden. Delen door $10^n$ laat $n$ van die factoren wegvallen: $\frac{10^5}{10^2} = \frac{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}{10 \cdot 10} = 10^3$. Dat is de rekenregel $10^m \div 10^n = 10^{m-n}$.

Q: Wat als beide getallen dezelfde exponent hebben?

A: Dan vallen de machten weg tot $10^0 = 1$ en tellen alleen de coëfficiënten: $(9 \times 10^4) \div (3 \times 10^4) = 3 \times 10^0 = 3$.

Q: Hoeveel significante cijfers moet ik houden?

A: Meestal evenveel als het minst nauwkeurige getal in de opgave. Hebben de gegevens 2 of 3 significante cijfers, rond de coëfficiënt dan ook af op 2 of 3. Meer cijfers dan de gegevens hebben, suggereert een nauwkeurigheid die er niet is.