Het achtvlak tellen zonder model

Een achtvlak heeft 8 vlakken, elk een gelijkzijdige driehoek, en in elk hoekpunt komen 4 vlakken samen. Bepaal het aantal ribben en hoekpunten.

Tel alle zijden van de driehoeken: $8 \text{ vlakken} \times 3 \text{ zijden} = 24$ = 24 zijden in totaal

Elke ribbe hoort bij 2 vlakken: $R = 24 \div 2$ = $R = 12$

Tel alle hoeken van de driehoeken: elk hoekpunt verzamelt er 4: $8 \times 3 = 24$ hoeken, $H = 24 \div 4$ = $H = 6$

Controleer met de formule van Euler: $H - R + V = 6 - 12 + 8$ = $2$, klopt

Answer: Het achtvlak heeft $12$ ribben en $6$ hoekpunten.

Hoeveel driehoeken passen in een hoekpunt?

Gelijkzijdige driehoeken hebben hoeken van $60°$. Hoeveel ervan kunnen in een hoekpunt van een ruimtefiguur samenkomen?

Voor een hoekpunt zijn minstens 3 vlakken nodig: $3 \times 60° = 180° < 360°$ = Lukt: viervlak

Probeer 4 driehoeken: $4 \times 60° = 240° < 360°$ = Lukt: achtvlak

Probeer 5 driehoeken: $5 \times 60° = 300° < 360°$ = Lukt: twintigvlak

Probeer 6 driehoeken: $6 \times 60° = 360°$ = Plat, geen hoekpunt

Answer: Er kunnen 3, 4 of 5 driehoeken in een hoekpunt samenkomen, wat het viervlak, het achtvlak en het twintigvlak oplevert. Zes driehoeken liggen plat.

Vierkanten, vijfhoeken en zeshoeken

Hoeveel vierkanten, regelmatige vijfhoeken of regelmatige zeshoeken kunnen in een hoekpunt van een ruimtefiguur samenkomen?

Vierkanten hebben hoeken van $90°$: $3 \times 90° = 270° < 360°$, maar $4 \times 90° = 360°$ = Alleen 3: de kubus

Bepaal de hoek van een regelmatige vijfhoek: $\frac{(5 - 2) \times 180°}{5} = \frac{540°}{5}$ = $108°$

Vijfhoeken in een hoekpunt: $3 \times 108° = 324° < 360°$, maar $4 \times 108° = 432°$ = Alleen 3: het twaalfvlak

Zeshoeken hebben hoeken van $120°$: $3 \times 120° = 360°$ = Plat (een honingraat), geen ruimtefiguur

Answer: Alleen 3 vierkanten (kubus) of 3 vijfhoeken (twaalfvlak). Zeshoeken en veelhoeken met nog meer zijden kunnen nooit een hoekpunt vormen, dus de lijst stopt bij vijf lichamen.

Duale lichamen: vlakken en hoekpunten ruilen

Zet een punt in het midden van elk vlak van een kubus en verbind de punten van aangrenzende vlakken. Welk lichaam krijg je, en wat zijn $H$, $R$ en $V$?

Schrijf de getallen van de kubus op: Kubus: $H = 8$, $R = 12$, $V = 6$ = 8, 12, 6

Elk vlak van de kubus levert een nieuw hoekpunt: $H_{\text{nieuw}} = V_{\text{kubus}} = 6$ = $H = 6$

Elk hoekpunt van de kubus levert een nieuw vlak (de 3 punten eromheen vormen een driehoek): $V_{\text{nieuw}} = H_{\text{kubus}} = 8$ = $V = 8$ driehoeken

Elke ribbe van de kubus kruist precies één nieuwe ribbe: $R_{\text{nieuw}} = R_{\text{kubus}} = 12$ = Achtvlak: $H = 6$, $R = 12$, $V = 8$

Answer: Je krijgt een achtvlak. De kubus en het achtvlak zijn **duaal**: $H$ en $V$ ruilen, $R$ blijft gelijk. Op dezelfde manier zijn het twaalfvlak en het twintigvlak duaal, en het viervlak is duaal met zichzelf.

Oppervlakte van een twintigvlak (verdieping)

Bereken de oppervlakte van een twintigvlak met ribbe $a = 4$ cm.

Oppervlakte van één gelijkzijdige driehoek: $A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 16$ = $4\sqrt{3}$ cm²

Vermenigvuldig met de 20 vlakken: $20 \times 4\sqrt{3}$ = $80\sqrt{3}$ cm²

Controleer met de formule $O = 5\sqrt{3}\,a^2$: $5\sqrt{3} \times 16 = 80\sqrt{3}$ = Zelfde uitkomst

Schrijf als kommagetal: $80 \times 1{,}732...$ = $\approx 138{,}6$ cm²

Answer: $O = 80\sqrt{3} \approx 138{,}6$ cm²

Mistake: Elk lichaam met gelijke vlakken een regelmatig veelvlak noemen

Why: De driezijdige dubbelpiramide (twee aan elkaar geplakte viervlakken) heeft 6 gelijke gelijkzijdige driehoeken, maar in twee hoekpunten komen 3 vlakken samen en in de drie andere 4.

Correct: Controleer beide voorwaarden: dezelfde regelmatige veelhoek voor elk vlak EN evenveel vlakken in elk hoekpunt.

Mistake: De ribben van een kubus tellen als $6 \times 4 = 24$

Why: Elke ribbe hoort bij twee vlakken, dus als je de zijden van alle vlakken telt, tel je elke ribbe twee keer.

Correct: Deel door 2: $R = \frac{6 \times 4}{2} = 12$. Algemeen geldt $R = \frac{V \times n}{2}$, waarbij $n$ het aantal zijden van één vlak is.

Mistake: Denken dat 6 driehoeken of 4 vierkanten in een hoekpunt een nieuw lichaam geven

Why: $6 \times 60° = 360°$ en $4 \times 90° = 360°$: de vlakken vullen de hele draai rond het punt en liggen plat, zoals tegels.

Correct: De hoekensom in een hoekpunt moet echt kleiner zijn dan $360°$.

Mistake: Denken dat elke dobbelsteen een regelmatig veelvlak is

Why: De tienzijdige dobbelsteen (d10) heeft vliegervormige vlakken, en dat zijn geen regelmatige veelhoeken. Ook zien niet al zijn hoekpunten er hetzelfde uit.

Correct: Alleen d4, d6, d8, d12 en d20 zijn platonische lichamen. De d10 is toch eerlijk, omdat al zijn vlakken dezelfde vorm en dezelfde ligging hebben.

Eerlijke dobbelstenen voor bordspellen

Rollenspellen gebruiken alle vijf platonische lichamen als dobbelsteen. Omdat elk vlak dezelfde regelmatige veelhoek is en elk hoekpunt er hetzelfde uitziet, komt geen enkel vlak vaker boven.

Bij een d20 (twintigvlak) heeft elk getal kans $\frac{1}{20} = 0{,}05$, dus 15 of hoger gooien (15 tot en met 20, zes getallen) heeft kans $\frac{6}{20} = 0{,}3$.

Virusmantels

Veel virussen verpakken hun erfelijk materiaal in een mantel (capside) in de vorm van een twintigvlak. De natuur gebruikt die vorm omdat 20 gelijke driehoeken zich sluiten tot een stevige mantel uit veel kopieën van hetzelfde kleine eiwit.

Een capside in de vorm van een twintigvlak heeft 12 hoekpunten waar 5 driehoeken samenkomen. Wetenschappers beschrijven de bouw met deze 12 punten van vijfvoudige symmetrie.

Papieren lampen en modellen

Ontwerpers vouwen lampen, cadeaudoosjes en versieringen uit uitslagen van platonische lichamen. De oppervlakte vertelt hun hoeveel papier of materiaal ze nodig hebben.

Een kubuslamp met ribben van 20 cm heeft $6 \times 20^2 = 2400$ cm² papier nodig (plus de plakrandjes).

Q: Waarom heten ze platonische lichamen?

A: De Griekse filosoof Plato beschreef ze rond 360 v.Chr. in zijn dialoog Timaeus. Hij koppelde het viervlak aan vuur, de kubus aan aarde, het achtvlak aan lucht, het twintigvlak aan water en het twaalfvlak aan het heelal. Ze waren al vóór hem bekend, en Euclides bewees later dat er precies vijf zijn.

Q: Is de tienzijdige dobbelsteen (d10) een platonisch lichaam?

A: Nee. Zijn vlakken zijn vliegers, geen regelmatige veelhoeken, en in sommige hoekpunten komen 3 vlakken samen, terwijl dat er in de twee punten 5 zijn. Toch is hij eerlijk, omdat al zijn vlakken gelijk zijn en op dezelfde manier liggen.

Q: Welk lichaam is duaal met het viervlak?

A: Het viervlak zelf. Het heeft $H = 4$ en $V = 4$, dus als je hoekpunten en vlakken ruilt, krijg je weer een viervlak (ondersteboven).

Q: Bestaan er regelmatige lichamen in hogere dimensies?

A: Ja. In vier dimensies zijn er zes regelmatige figuren (polytopen genoemd), en in vijf of meer dimensies zijn er nog maar drie. Onze 3D-wereld heeft er vijf.