ZHZ stap voor stap controleren

In $\triangle ABC$: $AB = 6$ cm, $\angle B = 50°$, $BC = 8$ cm. In $\triangle DEF$: $DE = 6$ cm, $\angle E = 50°$, $EF = 8$ cm. Zijn de driehoeken congruent? Als $AC \approx 6{,}2$ cm, hoe lang is $DF$ dan?

Zet de gelijke delen op een rij: $AB = DE = 6$ cm, $BC = EF = 8$ cm, $\angle B = \angle E = 50°$ = Twee paren zijden en één paar hoeken

Controleer of de hoek ingesloten is: De zijden $AB$ en $BC$ komen samen in $B$; de zijden $DE$ en $EF$ komen samen in $E$ = $\angle B$ en $\angle E$ zijn de ingesloten hoeken

Pas ZHZ toe: Twee zijden en de ingesloten hoek zijn gelijk = $\triangle ABC \cong \triangle DEF$

Gebruik de overeenkomstige delen: $AC$ hoort bij $DF$ (eerste en derde letter) = $DF = AC \approx 6{,}2$ cm

Answer: Ja, $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ volgens ZHZ, dus $DF \approx 6{,}2$ cm.

Is de hoek echt ingesloten?

In $\triangle PQR$: $PQ = 5$, $QR = 7$, $\angle R = 40°$. In $\triangle XYZ$: $XY = 5$, $YZ = 7$, $\angle Z = 40°$. Kun je ZHZ gebruiken?

Zoek het gemeenschappelijke punt van de twee zijden: $PQ$ en $QR$ hebben het punt $Q$ gemeen = De ingesloten hoek zou $\angle Q$ zijn

Vergelijk met de gegeven hoek: De gegeven hoek is $\angle R$, en die ligt niet tussen $PQ$ en $QR$ = De hoek is niet ingesloten

Benoem het patroon: Zijde, zijde en dan een hoek die er niet tussen ligt = Dit is ZZH

Trek de conclusie: ZZH is geen congruentiekenmerk = Geen conclusie mogelijk

Answer: Nee. De gegeven hoek ligt niet tussen de twee zijden (ZZH), dus ZHZ geldt niet en de driehoeken zijn misschien niet congruent.

Verborgen hoek: overstaande hoeken

De lijnstukken $AE$ en $BD$ snijden elkaar in $C$. $C$ is het midden van beide lijnstukken: $AC = CE = 4$ cm en $BC = CD = 5$ cm. Als $AB = 7$ cm, hoe lang is $DE$ dan?

Gebruik de middens: $AC = CE = 4$ cm en $BC = CD = 5$ cm = Twee paren gelijke zijden

Zoek de verborgen hoek: $\angle ACB$ en $\angle ECD$ zijn overstaande hoeken = $\angle ACB = \angle ECD$

Controleer of hij ingesloten is: $\angle ACB$ ligt tussen $AC$ en $BC$; $\angle ECD$ ligt tussen $EC$ en $DC$ = $\triangle ACB \cong \triangle ECD$ volgens ZHZ

Gebruik de overeenkomstige delen: $AB$ hoort bij $ED$ = $DE = AB = 7$ cm

Answer: $DE = 7$ cm, omdat $\triangle ACB \cong \triangle ECD$ volgens ZHZ.

Verborgen zijde: een gemeenschappelijke zijde

In vierhoek $ABCD$ geldt $AB = CB$, en de diagonaal $BD$ is de bissectrice van $\angle ABC$, dus $\angle ABD = \angle CBD = 35°$. Als $\angle BAD = 80°$, bepaal dan $\angle BCD$ en $\angle ADB$.

Schrijf de gegeven delen op: $AB = CB$ en $\angle ABD = \angle CBD$ = Eén paar zijden, één paar hoeken

Zoek de verborgen zijde: Beide driehoeken bevatten $BD$, en $BD = BD$ = Gemeenschappelijke zijde

Pas ZHZ toe: De hoek bij $B$ ligt tussen $AB$ en $BD$ (en tussen $CB$ en $BD$) = $\triangle ABD \cong \triangle CBD$

Gebruik overeenkomstige delen en de hoekensom: $\angle BCD = \angle BAD = 80°$; $\angle ADB = 180° - 35° - 80°$ = $\angle BCD = 80°$, $\angle ADB = 65°$

Answer: $\angle BCD = 80°$ en $\angle ADB = 65°$.

Waarom ZZH faalt: twee driehoeken uit dezelfde gegevens

Teken een driehoek met $\angle A = 30°$, $AB = 10$ en $BC = 6$. Hoeveel verschillende driehoeken passen bij deze beschrijving?

Bepaal de hoogte van $B$ boven de lijn $AC$: In een rechthoekige driehoek is de zijde tegenover een hoek van $30°$ de helft van de schuine zijde: $h = 10 : 2$ = $h = 5$

Vergelijk $BC$ met de hoogte: $5 < 6 < 10$: zijde $BC$ is langer dan de hoogte maar korter dan $AB$ = $BC$ kan de lijn $AC$ in twee punten bereiken

Bepaal hoe ver elk punt van het voetpunt van de hoogte ligt: $\sqrt{6^2 - 5^2} = \sqrt{11} \approx 3{,}32$ = Aan elke kant van het voetpunt één punt

Bepaal beide mogelijke lengtes van $AC$: Het voetpunt ligt $\approx 8{,}66$ van $A$: $8{,}66 - 3{,}32$ en $8{,}66 + 3{,}32$ = $AC \approx 5{,}34$ of $AC \approx 11{,}98$

Answer: Twee verschillende driehoeken, met $AC \approx 5{,}34$ of $AC \approx 11{,}98$. Dezelfde gegevens zijde, zijde, hoek geven twee vormen, dus ZZH kan geen congruentie bewijzen.

Mistake: ZHZ gebruiken terwijl de hoek niet tussen de twee zijden ligt

Why: Twee zijden en een niet-ingesloten hoek (ZZH) kunnen twee verschillende driehoeken beschrijven, zoals het voorbeeld met $30°$, $10$ en $6$ laat zien.

Correct: Zoek het punt dat beide zijden gemeen hebben. Alleen de hoek in dat hoekpunt mag je voor ZHZ gebruiken.

Mistake: De hoekpunten in de verkeerde volgorde koppelen

Why: Wie $\triangle ABC \cong \triangle FED$ schrijft terwijl $B$ bij $E$ en $A$ bij $D$ hoort, koppelt de verkeerde delen en komt tot foute conclusies.

Correct: Schrijf de hoekpunten in de volgorde van de koppeling. Als $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow E$, $C \leftrightarrow F$, schrijf dan $\triangle ABC \cong \triangle DEF$.

Mistake: Denken dat er gegevens ontbreken omdat een deel niet in de opgave staat

Why: Overstaande hoeken en gemeenschappelijke zijden zijn gelijk, ook als niemand dat zegt. Leerlingen zien ze over het hoofd en geven een bewijs op dat wel werkt.

Correct: Zoek voordat je beslist naar lijnstukken die elkaar snijden (overstaande hoeken) en naar een zijde die bij beide driehoeken hoort (gemeenschappelijke zijde).

Mistake: Overeenkomstige delen gebruiken voordat de congruentie bewezen is

Why: Overeenkomstige delen zijn alleen gelijk omdat de driehoeken congruent zijn. Zonder dat bewijs neem je aan wat je wilt bewijzen.

Correct: Bewijs eerst $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ (bijvoorbeeld met ZHZ) en leid daarna de andere gelijke delen af.

Opvouwbare schragen

Schragen, trapladders en schildersezels bestaan uit twee poten die met een scharnier verbonden zijn. De lengte van de poten en de openingshoek bepalen de hele vorm.

Twee ezels hebben elk poten van 150 cm die bij het scharnier $25°$ open staan. Volgens ZHZ zijn de driehoeken die ze vormen congruent, dus hun voeten staan even ver uit elkaar.

Over een vijver meten

Landmeters gebruiken ZHZ om een afstand te vinden die ze niet kunnen aflopen, door een congruente kopie van de driehoek op het droge te maken.

Om $AB$ over een vijver te meten, kies je een punt $C$ op het land. Verleng $AC$ voorbij $C$ tot $D$ met $CD = AC$, en $BC$ voorbij $C$ tot $E$ met $CE = BC$. De hoeken bij $C$ zijn overstaande hoeken, dus $\triangle ACB \cong \triangle DCE$ volgens ZHZ en $DE = AB$.

Wijzers van een klok

De twee wijzers van een klok zijn twee zijden met een vaste lengte, en de tijd bepaalt de hoek ertussen.

Om 2:00 uur en om 10:00 uur is de hoek tussen de wijzers allebei de keren $60°$, dus volgens ZHZ liggen de punten op beide tijden even ver uit elkaar.

Q: Waarom is ZZH geen congruentiekenmerk?

A: Omdat de zijde tegenover de gegeven hoek als een passer kan draaien en de derde zijde in twee punten kan snijden. Met $\angle A = 30°$, $AB = 10$ en $BC = 6$ krijg je twee driehoeken, één met $AC \approx 5{,}34$ en één met $AC \approx 11{,}98$.

Q: Werkt ZZH soms toch?

A: Ja, in één bijzonder geval: als de gegeven hoek tegenover de **langere** van de twee gegeven zijden ligt, is er maar één driehoek mogelijk. Het bekendste voorbeeld is een rechte hoek tegenover de schuine zijde (het kenmerk ZZR). In het algemeen gebruik je ZZH niet.

Q: Is ZHZ een axioma of een stelling?

A: Veel schoolboeken nemen ZHZ aan als axioma (een basisregel zonder bewijs) en bewijzen daarmee HZH en ZZZ. Euclides bewees het als zijn propositie 4 door de ene driehoek op de andere te leggen. Hoe dan ook mag je het in bewijzen gebruiken.

Q: Hoe kies ik tussen ZZZ, ZHZ, HZH en HHZ?

A: Tel wat je weet. Drie zijden: ZZZ. Twee zijden: controleer of de bekende hoek ertussen ligt (ZHZ) of niet (ZZH, geen conclusie). Twee hoeken: controleer of de bekende zijde ertussen ligt (HZH) of niet (HHZ).