ZZZ-gelijkvormigheid controleren

$\triangle ABC$ heeft zijden $AB = 4$, $BC = 6$, $CA = 8$. $\triangle DEF$ heeft zijden $DE = 6$, $EF = 9$, $FD = 12$. Zijn de driehoeken gelijkvormig?

Zet de zijden van elke driehoek op volgorde van kortste naar langste: $\triangle ABC$: $4, 6, 8$. $\triangle DEF$: $6, 9, 12$ = Paren: $4 \leftrightarrow 6$, $6 \leftrightarrow 9$, $8 \leftrightarrow 12$

Deel elke zijde van $\triangle DEF$ door de overeenkomstige zijde van $\triangle ABC$: $\frac{6}{4} = 1{,}5$, $\frac{9}{6} = 1{,}5$, $\frac{12}{8} = 1{,}5$ = Alle drie verhoudingen zijn $1{,}5$

Pas ZZZ-gelijkvormigheid toe: Drie gelijke verhoudingen, dus de zijden zijn evenredig = $\triangle ABC \sim \triangle DEF$, $k = 1{,}5$

Answer: Ja, $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ volgens ZZZ-gelijkvormigheid met vergrotingsfactor $k = 1{,}5$.

Wanneer ZZZ-gelijkvormigheid niet geldt

Een driehoek heeft zijden $5$, $7$, $9$. Een andere heeft zijden $10$, $14$, $17$. Zijn ze gelijkvormig?

Koppel de zijden op volgorde: $5 \leftrightarrow 10$, $7 \leftrightarrow 14$, $9 \leftrightarrow 17$ = Zijden op volgorde van kortste naar langste

Bereken de drie verhoudingen: $\frac{10}{5} = 2$, $\frac{14}{7} = 2$, $\frac{17}{9} \approx 1{,}89$ = De derde verhouding is anders

Beslis: ZZZ vraagt dat ALLE drie verhoudingen gelijk zijn. Twee van de drie is niet genoeg. = Niet gelijkvormig

Answer: Nee. De verhoudingen zijn $2$, $2$ en ongeveer $1{,}89$, dus de driehoeken zijn niet gelijkvormig. Bij een gelijkvormige driehoek zou de langste zijde $9 \times 2 = 18$ moeten zijn.

ZHZ-gelijkvormigheid en een ontbrekende zijde

In $\triangle PQR$: $PQ = 5$, $QR = 8$, $\angle Q = 60°$, $PR = 7$. In $\triangle XYZ$: $XY = 10$, $YZ = 16$, $\angle Y = 60°$. Zijn de driehoeken gelijkvormig? Zo ja, bereken $XZ$.

Vergelijk de twee paren zijden: $\frac{XY}{PQ} = \frac{10}{5} = 2$, $\frac{YZ}{QR} = \frac{16}{8} = 2$ = Dezelfde verhouding $k = 2$

Controleer dat de hoek de ingesloten hoek is: $\angle Q$ ligt tussen $PQ$ en $QR$, $\angle Y$ ligt tussen $XY$ en $YZ$, en $\angle Q = \angle Y = 60°$ = De ingesloten hoeken zijn gelijk

Pas ZHZ-gelijkvormigheid toe: Twee evenredige zijden en de ingesloten hoek = $\triangle PQR \sim \triangle XYZ$, $k = 2$

Gebruik de vergrotingsfactor voor de ontbrekende zijde: $XZ = k \cdot PR = 2 \cdot 7$ = $XZ = 14$

Answer: Ja, $\triangle PQR \sim \triangle XYZ$ volgens ZHZ-gelijkvormigheid met $k = 2$, en $XZ = 14$.

Geneste driehoeken met een gemeenschappelijke hoek

In $\triangle ABC$ ligt punt $D$ op $AB$ en punt $E$ op $AC$. $AD = 4$, $AB = 12$, $AE = 5$, $AC = 15$ en $DE = 6$. Laat zien dat $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ en bereken $BC$.

Zoek de gemeenschappelijke hoek: Beide driehoeken bevatten de hoek bij $A$ = $\angle DAE = \angle BAC$

Vergelijk de zijden die hoek $A$ vormen: $\frac{AB}{AD} = \frac{12}{4} = 3$, $\frac{AC}{AE} = \frac{15}{5} = 3$ = Dezelfde verhouding $k = 3$

Pas ZHZ-gelijkvormigheid toe: De gemeenschappelijke hoek is bij beide paren zijden de ingesloten hoek = $\triangle ADE \sim \triangle ABC$

Bereken de derde zijde: $BC = k \cdot DE = 3 \cdot 6$ = $BC = 18$

Answer: $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ volgens ZHZ-gelijkvormigheid (gemeenschappelijke hoek $A$, $k = 3$), dus $BC = 18$. Gebruik de hele zijden $AB$ en $AC$, niet de stukken $DB$ en $EC$.

Omtrekverhouding en oppervlakteverhouding

Een rechthoekige driehoek heeft zijden $3$, $4$, $5$. Een tweede driehoek heeft zijden $9$, $12$, $15$. Vergelijk hun omtrekken en oppervlaktes.

Controleer ZZZ-gelijkvormigheid: $\frac{9}{3} = \frac{12}{4} = \frac{15}{5} = 3$ = Gelijkvormig, $k = 3$

Vergelijk de omtrekken: $3 + 4 + 5 = 12$ en $9 + 12 + 15 = 36$, $\frac{36}{12} = 3$ = Omtrekverhouding $= k = 3$

Vergelijk de oppervlaktes (de rechthoekszijden zijn basis en hoogte): $\frac{3 \cdot 4}{2} = 6$ en $\frac{9 \cdot 12}{2} = 54$, $\frac{54}{6} = 9$ = Oppervlakteverhouding $= 9$

Verbind de oppervlakteverhouding met $k$: $k^2 = 3^2 = 9$ = Oppervlakteverhouding $= k^2$

Answer: De omtrekken zijn $12$ en $36$ (verhouding $3 = k$), de oppervlaktes zijn $6$ en $54$ (verhouding $9 = k^2$).

Mistake: De zijden koppelen in de volgorde waarin ze staan, bijvoorbeeld $4, 6, 8$ met $12, 9, 6$, en de verhoudingen $3$, $1{,}5$, $0{,}75$ krijgen

Why: De volgorde waarin de lengtes zijn opgeschreven zegt niets over welke zijden overeenkomen. Verkeerde paren geven verschillende verhoudingen, zelfs bij gelijkvormige driehoeken.

Correct: Zet eerst beide driehoeken op volgorde van kortste naar langste zijde: $4, 6, 8$ en $6, 9, 12$. Dan zijn alle verhoudingen $1{,}5$.

Mistake: ZHZ gebruiken met een hoek die niet tussen de twee zijden ligt

Why: Twee evenredige zijden en een niet-ingesloten hoek (ZZH) leggen de vorm niet vast: twee verschillende driehoeken kunnen dezelfde twee zijden en dezelfde hoek tegenover een van die zijden hebben.

Correct: Controleer dat de gelijke hoek precies gevormd wordt door de twee zijden die je hebt vergeleken. Anders geldt ZHZ-gelijkvormigheid niet.

Mistake: Denken dat de oppervlakteverhouding ook $k$ is

Why: Oppervlakte is lengte keer lengte, dus beide factoren worden $k$ keer zo groot: de oppervlakte wordt $k \cdot k = k^2$ keer zo groot.

Correct: Omtrekverhouding $= k$, oppervlakteverhouding $= k^2$. Bij $k = 3$ is de oppervlakte $9$ keer zo groot, niet $3$ keer.

Mistake: Bij het ene paar groot door klein delen en bij het andere klein door groot, bijvoorbeeld $\frac{6}{4} = 1{,}5$ maar $\frac{6}{9} \approx 0{,}67$

Why: Dan lijken de verhoudingen verschillend, terwijl de zijden toch evenredig zijn.

Correct: Deel altijd in dezelfde richting: zijde van het beeld gedeeld door zijde van het origineel (of bij elk paar andersom).

Een logo vergroten

Ontwerpers vergroten logo's zo dat elke lengte met dezelfde vergrotingsfactor groeit. De vergrote driehoek is volgens ZZZ-gelijkvormigheid gelijkvormig met het origineel, dus hij houdt precies dezelfde vorm.

Een driehoekig logo met zijden van $2$ cm, $3$ cm en $4$ cm wordt met $k = 5$ op een poster gedrukt: de zijden worden $10$ cm, $15$ cm en $20$ cm.

De breedte van een meer meten

Landmeters kunnen geen meetlint over het water spannen. Ze markeren twee punten op lijnen die vanuit een hoekpunt vertrekken en gebruiken de kleine driehoek die de hoek bij dat hoekpunt deelt met de grote.

Vanuit punt $A$ lopen twee rechte paden langs het meer. Een kleine driehoek waarvan de zijden langs beide paden $\frac{1}{4}$ zo lang zijn als bij de grote deelt de hoek bij $A$, dus het meer is $4$ keer zo breed als de korte afstand die op het land wordt gemeten.

Zeildoek voor een groter zeil

Zeilmakers maken beproefde zeilontwerpen groter of kleiner. Het nieuwe zeil is gelijkvormig met het oude, maar het benodigde zeildoek groeit met de oppervlakteverhouding $k^2$, niet met $k$.

Een zeil dat aan elke zijde $1{,}5$ keer zo lang is, heeft $1{,}5^2 = 2{,}25$ keer zoveel zeildoek nodig.

Q: Wat is het verschil tussen ZZZ-gelijkvormigheid en ZZZ-congruentie?

A: ZZZ-congruentie vraagt drie paren **gelijke** zijden. ZZZ-gelijkvormigheid vraagt alleen drie paren zijden in **dezelfde verhouding**. Congruentie is het speciale geval $k = 1$.

Q: Waarom moet de hoek bij ZHZ de ingesloten hoek zijn?

A: De twee zijden en de hoek ertussen leggen de vorm helemaal vast. Ligt de hoek ergens anders (ZZH), dan passen twee verschillende driehoeken bij dezelfde gegevens, en kun je niet concluderen dat de driehoeken gelijkvormig zijn.

Q: Wanneer gebruik ik AA, ZZZ of ZHZ?

A: Kijk wat er gegeven is. Twee paren gelijke hoeken: AA. Drie paren zijdelengtes: ZZZ. Twee paren zijdelengtes en de hoek ertussen: ZHZ. Bij geneste driehoeken krijg je door een gemeenschappelijke hoek vaak gratis de hoek voor AA of ZHZ.

Q: Maakt het uit door welke driehoek ik deel?

A: Alleen voor de waarde van $k$. Groot gedeeld door klein geeft $k > 1$ (vergroting), klein gedeeld door groot geeft $k < 1$ (verkleining). Allebei werken, zolang je bij elk paar in dezelfde richting deelt.